精品解析：广东省深圳市宝安区潜龙中学2021-2022学年九年级下学期第一次质检数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 为顺利完成第七次人口普查，切实保证数据质量，有条不紊地推进普查各项工作，陇西县统计局打算采购普查手持移动终端PAD设备，预算金额为419000元．将数据419000用科学记数法表示为（ ）
A. 41.9×104B. 4.19×104C. 4.19×105D. 0.419×105
【答案】C
【解析】
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
【详解】解：将数据419000用科学记数法表示为4.19×105，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
2. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A. B. 2a=3bC. D. 3a=2b
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3. 二次函数y=3（x﹣2）2+5的图象的顶点坐标是（ ）
A. （2，5）B. （2，﹣5）C. （﹣2，5）D. （﹣2，﹣5）
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵二次函数为y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴二次函数y=3（x﹣2）2+5的图象的顶点坐标是（2，5），
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式写出顶点坐标的方法是解题的关键
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：AC=，
∴sinB=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键．
5. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF的长为（ ）
A. 2B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出求出，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
详解：如图所示：连接BD、AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得：
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴
故选C.
点睛：主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
6. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，根据垂径定理可知=,根据圆周角定理可知， 即可求出的度数.
【详解】解：在中，，
∴
根据垂径定理可知=,
根据圆周角定理可知，

故选D.
【点睛】考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键.
7. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
8. 若点、都是反比例函数图象上的点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式，再把点代入可求的值．
【详解】解：点是反比例函数图象上的点，
，
反比例函数解析式：，
点是反比例函数的图象上的点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9. 九个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，则的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线和小正方形边的交点为，取在轴上小正方形的顶点为，易知，利用已知条件可得到夹在直线与轴间的的部分为九个正方形面积之和的一半，可求的面积两个小正方形的面积，利用三角形的面积公式可求线段的值，从而的正切值可求．
【详解】解：如图，直线与小正方形的边交于点，

经过原点的一条直线将这九个正方形分成面积相等的两部分，
直线与轴之间的面积为．
．
正方形的边长为，
．
三角形面积是，
．
．
的正切值．
故选：B．
【点睛】此题考查了面积相等问题，解直角三角形，坐标与图形，解题的关键是利用已知和三角形的面积公式求得线段的长．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（-2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，
∴b=-4a，∴4a+b=0，故（1）正确；
由图象知，当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故（2）错误；
∵图象过点（-1，0），
∴a-b+c=0，即c=-a+b=-a-4a=-5a，
∴5a+3c=5a-15a=-10a，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴5a+3c=-10a＞0，故（3）正确；
由图象知抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
综上（1）（3）正确．
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】运用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握用完全平方公式分解因式是解题关键．
12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
13. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m），AB在阳光下的影长BC＝3（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为________米．
【答案】8
【解析】
【分析】连接，，根据平行投影的性质得，根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长.
【详解】解：如图，连接AC ，DF，根据平行投影的性质得DF∥AC，
，
，
，
，
，
.
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键.
14. 如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图像交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC，则△ABC的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案．
【详解】设点P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a，），B点坐标为（a，﹣）
∴S△ABC=S△ABO =S△APO+S△OPB==，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）
①当E为线段AB中点时，AF∥CE；
②当E为线段AB中点时，AF=；
③当A、F、C三点共线时，AE=；
④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．
【答案】①②③
【解析】
【详解】分析：分两种情形分别求解即可解决问题；
详解：如图1中，当AE=EB时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正确，
作EM⊥AF，则AM=FM，
在Rt△ECB中，EC=，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴，
∴，
∴AM=，
∴AF=2AM=，故②正确，
如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．
则EB=EF=3-x，AF=-2，
在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，
∴x2=（-2）2+（3-x）2，
∴x=，
∴AE=，故③正确，
如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，
故答案为①②③．
点睛：本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而利用实数的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
17. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知二次函数图象顶点为，还过，求该抛物线的解析式．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据分式的混合运算法则化简，然后代入求值即可；
（2）根据题意设出二次函数的顶点式，然后将点代入求解即可．
【详解】解：（1）
．
当时，原式；
（2）设抛物线为，
代入得，
解得，
∴这个函数的解析式为：．
【点睛】主要考查了分式化简求值，用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18. 如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可证，从而可得，即可解答；
（2）在中，根据题意设，，从而求出，再在中，求出，然后根据，进行计算求出，，最后在中利用勾股定理求出，即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：在中，，
设，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19. 某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．若购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元；
（2）学校买来若干球分给九年级，若每个班分个球，则多余个球；若每班分个球．则最后一个班分不到个．该校九年级共有多少个班，学校买来多少个球；
（3）在（2）的基础上，学校购买的篮球数量不得低于足球数量的倍，且希望尽可能节约购买经费﹐请你提供最合适的购买方案．
【答案】（1）一个足球元，一个篮球元；（2）一共个班，学校买了个球；（3）购买个篮球，个足球．
【解析】
【分析】（1）由题意设一个足球元，一个篮球元，依据题干条件建立二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意设一共有个班，依据题干条件建立不等式并求解即可；
（3）根据题意设买了个篮球，则有个足球，购买经费为元，建立含x的不等式并求出，进而依据进行分析即可．
【详解】解：（1）设一个足球元，一个篮球元，
，
答：一个足球元，一个篮球元；
（2）设一共有个班，
，
解得：，
∵是整数，
∴只能是个班，
∴，学校买来26个球，
答：一共个班，学校买了个球；
（3）设买了个篮球，则有个足球，购买经费为元，
解得：，
，
随增大而增大，
所以，当时，
最小
答：购买个篮球，个足球．
【点睛】本题考查列二元一次方程组和不等式组的应用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键，注意取整数．
20. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：
①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．
②CE＋CG的值为 ．
【答案】（1）见解析 （2）①垂直，见解析；②2
【解析】
【分析】（1）作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN=EM，然后证得∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
（2）①根据正方形的性质得到DE=DG，AD=DC，根据余角的性质得到∠CDG=∠ADE，根据全等三角形的性质得到∠CDA=∠DCG，根据垂直的定义即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到AE=CG，根据线段的和差即可得的结论．
【小问1详解】
如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
又∠BCD=90°，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
小问2详解】
①CE⊥CG，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴CE⊥CG；
②由①知，△ADE≌△CDG，
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，
故答案为：2.
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
21. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【解析】
【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】（1）抛物线过点和点
抛物线解析式为：
（2）当时，
直线BC解析式为：
过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F
设
即
（3）
为等腰直角三角形
抛物线的对称轴为
点E的横坐标为3
又点E在直线BC上
点E的纵坐标为5
设
①当MN=EM，,时
解得或（舍去）
此时点M的坐标为
②当ME=EN，时
解得：或（舍去）
此时点M的坐标为
③当MN=EN，时
连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，
此时四边形CMNE为正方形
解得：（舍去）
此时点M的坐标为
在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒．
（1）点坐标是______，点坐标是______；当______秒或______秒时，；
（2）为线段上的点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，______；
（3）设的面积为，与的函数关系式：______；函数的最大值为：______．
【答案】（1）；；；
（2）或
（3），
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论，由三角形的中位线的性质可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质分别求出，的长，由菱形的性质，列出等式可求解；
（3）求得的函数解析式，的坐标是，则直线的解析式即可求得，则和的坐标即可求得，然后根据即可求得．
【小问1详解】
点坐标为，
点坐标是，点的坐标是，
当是的中位线时，，
是的中点，
，
，
当是的中位线时，，
如图，

，
，
又，
∽，
，
，
的坐标是，即平移了个单位长度，
，
故答案是：；；；；
【小问2详解】
当点在线段上时，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
，
，
∽，
，
，
以、、、为顶点的四边形为菱形，
，
，
，
当点在线段上时，如图，

∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
以、、、为顶点的四边形为菱形，
，
，
，
故答案为：或；
【小问3详解】
当时，，则，
则，
，
即当时，如图．

设直线的解析式是，根据题意得，
解得：，
则直线的解析式是．
设的解析式是，的坐标是，代入解析式得：，
则直线的解析式是
令，解得，即的坐标是．
令，解得：，则的坐标是．
则，
，
．
．
则，
即，
，
当时，
抛物线的开口向上，在对称轴的右边，随的增大而增大，
当时，可取到最大值；
当时，
抛物线的开口向下，它的顶点是，
，
综上，当时，有最大值．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．