2024年南京市中考数学一轮模拟卷（一）

这是一份2024年南京市中考数学一轮模拟卷（一），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．9的平方根是（ ）
A．B．3C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x5＋x5＝x10B．x5÷x5＝xC．x5·x5＝x10D．（x5）5＝x10
3．若m＝，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4B．4＜m＜5C．5＜m＜6D．6＜m＜7
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．55°C．35°D．20°
5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③，④|a|＞|b|．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②③D．②④
6．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4B．5C．D．
二、填空题
7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会．用科学记数法表示6400是 ．
9．方程的解是 ．
10．设，是方程的两个根，则 ．
11．科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将一个细菌放在培养瓶中经过分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过 分钟就能分裂满一瓶．
12．为了解某校“双减”政策落实情况，一调查机构从该校随机抽取100名学生，了解他们每天完成作业的时间，得到的数据如图（A：不超过30分钟；B：大于30不超过60分钟；C：大于60不超过90分钟；D：大于90分钟），则该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有 人．
13．如图，的直径，、分别与相切于、两点，弦，，则 cm．
14．如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，交于点．若，，则四边形的面积为 ．
15．如图，点是函数图像上的任意一点，点、在反比例函数的图像上．若轴，轴，阴影部分的面积为，则 ．
16．如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 ．
三、解答题
17．甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次，小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）．
甲、乙两人射击成绩统计表
小明的作业
(1)请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．
(2)请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
18．南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．
(1)快递包装纸盒应投入 垃圾箱；
(2)小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 ；
(3)小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．
19．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．
(1)证明：四边形EHFG是平行四边形；
(2)当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．
20．哥哥弟弟进行100米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图1、图2均描述了两人2次赛跑的实际情形．假设两人2次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为y米，时间为x秒．
(1)请描述图1中两人赛跑的实际情形；
(2)求哥哥、弟弟的速度；
(3)求图2中直线AB对应的函数表达式．
21．如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走8m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为60°，亭子的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．求亭子的高AB（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．
(1)用直尺与圆规作∠ABC的角平分线BD；
(2)找出图中的相似三角形，并证明；
(3)直接写出的值．
23．已知二次函数y＝ax2﹣2mx+m（a、m是常数，a≠0）过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）．
(1)若y1＝m．
①该抛物线的对称轴为直线 ；
②求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
(2)若y2＝1，y1＜y3＜y2，求m的取值范围．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC＝12，，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
25．如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝6，点G，E分别在边AB，AD上，∠EGF＝90°，EG＝FG，GF，EF分别交BC于点N、M，连接EN．
(1)当GN平分∠ENB时，求证：EN＝AE+BN；
(2)当MF2＝MN•BM时，求AE的值．
(3)当点E是AD的中点，点Q是EN的中点，当点G从点A运动到点B时，直接写出点Q运动的路径长．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
4
7
解：＝×（9+4+7+4+6）＝6，
S甲2＝×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]
＝×（9+4+1+4+0）
＝3.6
参考答案：
1．D
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
∴9的平方根是，
故选：D．
本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂乘除法以及幂的乘方进行判断即可．
【详解】解：A．x5＋x5＝2x5，不符合题意；
B．x5÷x5＝1，不符合题意；
C．x5·x5＝x10，符合题意；
D．（x5）5＝x25，不符合题意；
故选：C．
本题考查整式的合并同类项，同底数幂乘法和除法法则以及幂的乘方的运算，熟练地掌握以上运算是解决问题的关键．
3．B
【分析】估算出的范围即可．
【详解】解：∵16<17<25
∴4<<5
∴4＜m＜5
故选:B
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
4．C
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得，再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】四边形ABCD内接于⊙O，
，
∠B＝70°，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：C．
本题考查了圆内接四边形的对角互补、三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．A
【分析】由a＜0，a2＞b2，可知|a|>|b|，得出a＜b，但b的符号不确定，当b<0时，，当b>0时，进行判断即可．
【详解】解：∵a2＞b2，
∴|a|>|b|，故④正确
∵a＜0，
∴|a|= -a，
∴-a>|b|，
当b＞0时，|b|=b，有-a>b，即a＜-b＜b；当b<0时，|b|=-b，有-a>-b，即a＜b，
∴a＜b，故①正确
当b<0时，，当b>0时，故②，③错误，
故选：A．
本题考查了实数大小的比较，涉及推理能力和分情况讨论的能力，难度不大．
6．D
【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解．
【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故选：D．
本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键．
7．
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
8．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】6400=，
故答案为：．
本题考查了科学记数法的表示形式，解题的关键是确定a和n的值．
9．
【分析】解分式方程的基本步骤是：去分母，将分式方程转化为整式方程再求解，注意分式方程要检验．
【详解】解：
解得：
检验：当时，，
是原方程的解．
故答案为：
本题主要考查了分式方程的解，解决问题的关键在于注意x在分母时，所求的解是否满足分母不为0．
10．1
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴＋＝2，＝﹣1，
∴
＝2-1
＝1
故答案为：1．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．a-3/-3+a
【分析】先计算出装满一瓶的细菌个，设将8个细菌放入同样的培养瓶中经过x分钟就能分裂满一瓶，则，求解即可．
【详解】设将8个细菌放入同样的培养瓶中经过x分钟就能分裂满一瓶，
则，
∴，
∴，
∴，
∴x=a-3．
故答案为：a-3．
本题考查了同底数幂的乘法运算，列出等式是解此题的关键．
12．1500
【分析】由图可求出A对应的百分比，根据不超过60分钟的学生即为A，B部分总的百分比，根据样本所占百分比估计总体2000不超过60分钟的学生即可．
【详解】解：A所占百分比为：
不超过60分钟的学生对应统计图中A，B两部分
则A，B所占总的比例为：
该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有：（人）．
本题主要考查了用样本估计总体，能够根据统计图求出关键信息是解决本题的关键．
13．
【分析】连接OC交AD于点H，连接OP，由、分别与相切于、两点，∠OBP＝∠OCP＝90°，由得到OH⊥AD，则，又，证得，则＝，得到∠BOD＝60°，在Rt△OPB中，求得PB的长．
【详解】解：连接OC交AD于点H，连接OP，
∵、分别与相切于、两点，
∴AB⊥PB，OC⊥PC
∴∠OBP＝∠OCP＝90°，
∵
∴∠OHD＝∠OCP＝90°
∴OH⊥AD
∴
∵
∴∠OAD＝∠ADC
∴
∴＝
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD
∵∠AOC＋∠COD＋∠BOD＝180°
∴∠BOD＝×180°＝60°
在Rt△OPB中，∠OBP＝90°，OB＝＝2cm，∠BOP＝60°，
∵
∴cm
故答案为：
此题考查了圆的切线的性质定理，圆心角及所对弧之间的关系，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，求得＝是解决问题的关键．
14．10
【分析】利用△AED和△DFC相似和30°所对的直角边等于斜边的一半即可以解决．
【详解】过点E做EG⊥BC于点G，
∵DE∥BC，DF∥AB，
∴∠AED=∠B=∠DFC=30°，∠FDC=∠A，
∴△AED∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
在△BEG中，
∴S=．
本题考查了平行四边形的面积的求法，相似三角形的判定和性质，30°所对直角边等于斜边的一半的性质，利用相似三角形的对应边成比例是解决本题的关键．
15．
【分析】延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图像上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图像上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答．
【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设
∵轴，轴，
又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直，
∴轴，轴，，
∴四边形、、都是矩形，
∴，，
∵点是函数图像上的任意一点，
∴，
∴，
∵点、在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，过图像上一点作坐标轴的垂线构建矩形是常用的解题方法．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．
16．或
【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】∵A，B关于直线对称，
∴设，则，
如图所示，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
∵在上，
∴，
即，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或；
故答案是或．
本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度．
17．(1)6（环），1.6（环2）；
(2)乙
【分析】（1）首先求出平均数，再利用方差公式求出即可；
（2）利用两组数据的方差比较，方差小的更加稳定，得出即可．
【详解】（1）×（7+5+7+4+7）＝6（环），
s2乙＝ [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6（环2）；
（2）选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，故推选乙．（答案不唯一）．
此题主要考查了方差以及平均数求法等知识，熟练记忆方差公式是解题关键．
18．(1)A；
(2)；
(3)
【分析】（1）快递包装纸盒属于可回收物；
（2）根据概率公式求解即可；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：快递包装纸盒应投入A垃圾箱，
故答案为：A；
（2）解：小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是，
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中她投放正确的只有1种结果，
∴她投放正确的概率为．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
19．(1)证明见解析；
(2)当▱ABCD是矩形时
【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，得AF∥CE．同理：DE∥BF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证△EBC≌△FCB（SAS），得CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，得BH＝CH，再证EH＝FH，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理：DE∥BF，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）当▱ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF＝AB，CF＝CD，
∴BE＝CF，
在△EBC与△FCB中，
，
∴△EBC≌△FCB（SAS），
∴CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，
∴BH＝CH，
∴CE﹣CH＝BF＝BH，
即EH＝FH，
∴平行四边形EHFG是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)图1中两人赛跑的实际情形是：弟弟先跑两秒，然后哥哥出发，两人同时到达终点，弟弟一共用了14秒，哥哥一共用了12秒；
(2)哥哥的速度为米/秒，弟弟的速度为米/秒；
(3)
【分析】（1）根据题意和图1中的数据，可以写出两人赛跑的实际情形；
（2）根据图1中的数据，可以分别计算出哥哥、弟弟的速度；
（3）根据题意可以写出点A和点B的坐标，然后根据待定系数法可以求得直线AB对应的函数表达式．
【详解】（1）由题意可得，
图1中两人赛跑的实际情形是：弟弟先跑两秒，然后哥哥出发，两人同时到达终点，弟弟一共用了14秒，哥哥一共用了12秒；
（2）由图1可得，
哥哥的速度为：100÷（14﹣2）
＝100÷12
＝（米/秒），
弟弟的速度为：100÷14＝（米/秒），
答：哥哥的速度为米/秒，弟弟的速度为米/秒；
（3）点A的纵坐标为：×2＝，
则点A的坐标为（0，），
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，
∵点A（0，），点B（12，100）在该直线上，
∴，
解得，
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x+．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．亭子的高AB约为
【分析】根据题意得到AG⊥EF，在Rt△AGE中，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，根据三角函数的定义求出AG，再过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，在Rt△EDH中，由三角函数的定义得到DH＝，在Rt△ECH中，由三角函数的定义得到CH＝，由CH﹣DH＝CD＝8，可求得x，即可求得AB．
【详解】∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，
∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，
∴AG≈6×0.7＝4.2（m），
过E作EH⊥CB于H，则可得四边形BGEH是矩形，
∴BG=EH．
设EH＝BG=x，
在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH＝，
∴CH＝，
∵CH﹣DH＝CD＝8m，
∴﹣＝8，
解得：x≈9.52，
∴AB＝AG+BG＝13.72≈13.7(m），
答：亭子的高AB约为13.7m．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．(1)作图见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D；
（2）由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得∠CBD＝∠A＝36°，可得结论；
（3）由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）△ABC∽△BDC，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠CBD＝∠A，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（3）∵∠ABD＝∠CBD＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC＝AD，
∵△ABC∽△BDC，
∴，
∴，即，
，
∴（负值已经舍去）．
本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似．
23．(1)①；②证明见解析；
(2)
【分析】（1）①把A点坐标代入抛物线的解析式得a与m的数量关系，再根据对称轴的求法求得结果；
②计算判别式，再说明判别式为正数便可；
（2）把B点坐标代入抛物线的解析式得a、m的数量关系，再把A、C点坐标代入抛物线的解析式用m表示其纵坐标，进而由已知不等式组列出m的不等式组便可求得结果．
【详解】（1）①∵y1＝m，
∴A（﹣1，m），
把A（﹣1，m）代入y＝ax2﹣2mx+m得a＝﹣2m，
①对称轴为：，
故答案为：；
②∵a＝﹣2m，a≠0，
∴m≠0，
∴∆＝（﹣2m）2﹣4am＝4m2+8m2＝12m2＞0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）∵y2＝1，
∴B（1，1），
把B（1，1）代入y＝ax2﹣2mx+m，得a＝m+1，
把A（﹣1，y1）代入y＝ax2﹣2mx+m，得y1＝a+2m+m＝m+1+2m+m＝4m+1，
把C（2，y3））代入y＝ax2﹣2mx+m，得y3＝4a﹣4m+m＝m+4，
∵y1＜y3＜y2，
∴，
解得m＜−3．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与不等式的关系，关键在于由已知条件得出a、m的数量关系．
24．(1)证明见解析；
(2)6，
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P＝90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP＝90°即可；
（2）由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，再根据△PCE∽△PBA，求出EC，AE，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝2∠P，
∴∠BAD＝∠P，
∵∠BAD+∠B＝90°，
∴∠P+∠B＝90°，
∴∠BAP＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，则CE∥AB，
由（1）可得BD＝CD＝BC＝6，
∵tan∠P＝＝tan∠BAD＝，
∴AD＝8，
∴AB＝＝10，
即⊙O的半径为5；
∵tan∠P＝＝，AB＝10，
∴PA＝，
∴PB＝＝，
∴PC＝PB﹣BC＝﹣12＝，
∵CE∥AB，
∴△PCE∽△PBA，
∴，即，
解得∶，
∴AE＝，
∴tan∠PAC＝＝．
本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．
25．(1)证明见解析
(2)
(3)Q的运动路径为
【分析】（1）延长NG，DA交于H，利用角平分线的定义和平行线的性质得HE＝EN，则HG＝GN，再利用AAS证明△AHG≌△BNG，得AH＝BN，可得结论；
（2）作FP⊥AB，交AB的延长线于P，首先可证明△AGE≌△PFG（AAS），得AE＝PG，AG＝PF，再利用MF2＝MN•BM，∠NMF＝∠BMF，得△MFN∽△MBF，可知△PBF是等腰直角三角形，得BP＝PF，即可得出AE的长；
（3）作ET⊥BC于T，QS⊥BC于S，QS＝ET＝3，当点G与A重合时，点Q为BE的中点，当点G与B重合时，点Q仍为BE的中点，则点Q运动路径是一条来回的线段，再利用△AEG∽∠BGN，求出BN的最大值，从而解决问题．
【详解】（1）证明：延长NG与DA交于H，
∵GN平分∠ENB，
∴∠BNG＝∠ENG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠H＝∠GNB，
∴∠H＝∠ENG，
∴HE＝EN，
∵EG⊥HN，
∴HG＝GN，
∵∠AGH＝∠BGN，
在和中，
∴△AHG≌△BNG（ASA），
∴AH＝BN，
∴HE＝BN+AE，
∴EN＝BN+AE．
（2）解：作FP⊥AB，交AB的延长线于P，
∵∠AGE+∠BGF＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，
∴∠PGF＝∠AEG，
在和中，
，
∴△AGE≌△PFG（AAS），
∴AE＝PG，AG＝PF，
∵MF2＝MN•BM，∠NMF＝∠BMF，
∴△MFN∽△MBF，
∴∠NBF＝∠MFN＝45°，
∴∠PBF＝45°，
∴△PBF是等腰直角三角形，
∴BP＝PF，
∴AE＝BG+BP＝AB＝6．
（3）解：作ET⊥BC于T，QS⊥BC于S，
∴QS＝ET＝3，
当点G与A重合时，点Q为BE的中点，
当点G与B重合时，点Q仍为BE的中点，
∴点Q运动路径是一条来回的线段，
∵∠AEG＝∠BGN，∠A＝∠B，
∴△AEG∽△BGN，
∴，
设AG＝x，
∴，
∴BN＝﹣，
当x＝3时，BN最大为，
∴Q'Q的最大值为，
∴点Q的运动路径为．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，确定点Q的运动路径是解题的关键．