安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知函数在处可导,若,则( )
A.1B.C.2D.8
2、下列结论中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
3、在等比数列中,,,则( )
A.B.C.D.3
4、若曲线在点处的切线方程为,则( )
A.,B.,C.,D.,
5、要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,若任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )
A.B.C.D.
6、若函数在区间内存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、一矩形地图被分割成了4块,小刚打算对该地图的4个区域涂色,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)涂不同颜色.现有5种颜色可供选择(5种颜色不一定用完),则不同的涂色方法种数有( )
A.180B.240C.80D.260
8、如图,方格蜘蛛网是由一簇正方形环绕而成的图形.除最外边的正方形外,每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上,且将边长分为两部分.现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网,若最外边正方形的边长为1米,并按由外到内的顺序制作,记由外到内第个正方形的边长为,则( )(参考数据:)
A.由外到内第二个正方形的周长为B.
C.完整的正方形最多有7个D.完整的正方形最多有8个
二、多项选择题
9、在数列中,,,则( )
A.B.C.D.
10、已知定义在R上的函数,其导函数的大致图象如图所示,则下列叙述错误的是( )
A.
B.函数在处取得极小值,在处取得极大值
C.函数在处取得极大值,在处取得极小值
D.函数的最小值为
11、下列等式正确的有( )
A.B.
C.D.
12、已知函数,函数,下列选项正确的是( )
A.点是函数的零点;
B.,,使
C.若关于x的方程有一个根,则实数a的取值范围是
D.函数的值域为
三、填空题
13、在等差数列中,若,,则数列的通项公式为________.
14、从四棱锥的5个顶点中任选4个,以这4个点为顶点,可以组成________个四面体.
15、若函数在上只有一个零点,则a的取值范围是________.
16、已知函数,,若存在,,使得成
立,则下列命题正确的有________.
①当时,
②当时,
③当时,
④当时,的最小值为
四、解答题
17、某传统文化学习小组有10名同学,其中男生5名,女生5名,现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生,女生各2人,有多少种选法?
（2）如果男生与女生至少有一人参加,有多少种选法?
18、某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中,a为常数.已知当销售价格为5元/千克时,
每日可售出该商品11千克.
（1）求a的值;
（2）若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19、已知函数.
（1）当时,求函数在区间上的最值;
（2）若在定义域内仅有一个零点,求a的取值范围.
20、已知数列的前n项和为,若对任意,都有.
（1）求证:数列为等比数列;
（2）记,数列的前n项和为,求证:.
21、已知函数(e为自然对数的底数).
（1）若是函数的极值点,求a的值;
（2）若,讨论的单调性.
22、设函数,为的导函数.
（1）当时,若存在实数,使得不等式成立,求实数a的取值范围;
（2）当时,设,若,其中,证明:.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：B
解析：对于A,是常数,所以,A不正确;对于B,,
B正确;对于C,,C不正确;对于D,,D不正确,故选B.
3、答案：C
解析：方法1:因为是等比数列,所以,又与,同号,所以,选C.
方法2:设数列的公比为q,则,即,,所以.故选C.
4、答案：D
解析：因为,切点为,所以切线的斜率为,则切线方程为,
即,又切线方程为,即,所以,,故选D.
5、答案：C
解析：三个舞蹈节目不排在一起,可先排独唱节目,有种排法,再将三舞蹈节目排在5个独唱节目之前或之后或之间,即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目,有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法,故选C.
6、答案：C
解析：,令,得或.由得或,由得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,经上单调递增,所以函数在处取得极小值,令,解得或,若函数在区间内存在最小值,则且,解得.故正确答案是C.
7、答案：D
解析：由题意知给四部分涂色,至少要用两种颜色,故可分成三类涂色:第一类,用4种颜色涂色,有种方法.第二类,用3种颜色涂色,选3种颜色的方法有种.在涂的过程中,选对顶的两部分(A,C或B,D)涂同色,另两部分涂异色有种选法;3种颜色涂上去有种涂法,根据分步计数原理求得共种涂法.第三类,用两种颜色涂色.选颜色有种选法,A,C用一种颜色,B,D涂一种颜色,有种涂法,故共种涂法.
共有涂色方法种,故选A.
8、答案：C
解析：记由外到内的第n个正方形的边长为,则,,,…,.
这n个正方形所用铁丝的总长为,
令,则,即,两边取对数,得,
,解得,即可制作完整的正方形的个数最多为7,所以C正确,D不正确.而第二正方形的周长应为,,所以A,B均不正确,故选C.
9、答案：BD
解析：由得,,,
,…,,,将各式相加,得
,所以,且当时,,故选项B,D正确.
10、答案：BD
解析：由的图象可知,当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
对于A,因为,所以,所以A正确;
对于B,C,由单调性可知:c为极大值点,e为极小值点,所以B不正确,C正确;
对于D,由于,则,不是最小值,所以D不正确,
故选BD.
11、答案：ACD
解析：,故A正确;
对于B,令,,则,而,故B不正确;
对于C,,,
所以,C正确.
对于D,
,故D正确.
12、答案：BD
解析：令,可得,是函数的零点,零点是实数0,不是点,A错误;
因为,当时,,当时,,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且的极小值为和,
极大值为,当时,,当时,,如图,
作出函数的图象,观察图象可知,存在,,使,所以B正确,D正确.
对于C,由,得,因为,则,
令,得或或,当x变化时,,的变化情况,如下表
如图2,
当或或时,关于x的方程有一个根,所以a的取值范围是,C不正确,故选BD.
13、答案：
解析：设的公差为d,由,得,所以,所以
,即.
14、答案：4
解析：从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点,有种取法,其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体,故取出的四点能组成四面体的个数为.
15、答案：
解析：由题意,知方程在上只有一个解,令,则
,当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,所以,又,当时,,所以当或时,直线与函数的图象只有一个交点,即在上只有一个零点,
故a的取值范围是.
16、答案：①②④
解析：①,由,得,由,得,所以在单调递增,且;在上单调递减,且.若存在,使,则当时,,当时,.
又,当时,,在上单调递增,,
当时,,在上单调递减,.
若存在,使,则当时,,当时,.
所以,当时,,所以①正确.
②当时,由①的讨论可知,,,则,所以②正确;
③当时,由得,,于是,,可以看作方程的两个零点,结合图象可知,均大于0,且其中一个可以趋向于,故③不正确;
④当时,,,则,由得,,即,因为在上单调,所以,于是有.
令,则,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,故④正确.
17、答案：（1）100
（2）140
解析：（1）第一步,从5名男生中选2人,有种选法;第二步,从5名女生中选2人,有种选法.根据分步乘法计数原理,共有种选法.
（2）从10人中选取4人,有种选法;男生甲与女生乙都不参加,有种选法.所以男生甲与女生乙至少有1人参加,共有种选法.
18、答案：（1）2
（2）42
解析：（1）依题意,当时,,所以,即.
（2）由（1）可知,该商品每日的销售量,
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
,,
从而,,
于是,当x变化时,,的变化情况如下表:
由上表可得,是函数在区间内的极大值点,也是最大值点.
所以,当时,函数取得最大值,且最大值等于42.
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,,则,
当时,,当时,,
所以,在上单调递减,在上单调递增,
所以,.
又,,所以.
（2）由,得,令,则,
令,得,令,得,
在上单调递增,在单调递减,
,当时,,当时,.
作出函数的图象和直线,如图所示,
函数在定义域内有且仅有一个零点等价于函数的图象和直线有且只有一个交点,由图象可知,
a的取值范围是.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:因为,
所以,当时,,解得,
当时,,
所以,,
即,所以,,
又因为,所以数列是首项为,公比为3的等比数列.
（2）证明:由（1）可知,,所以,
所以
所以
.
21、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,
因为是函数的极值点,所以,即,解得,
经检验,符合题意,故.
（2）由（1）,
①若,则,当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
②若,令,解得或,且,
当时,,当或时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,.
设,则存在实数,使得不等式成立,
等价于存在实数,使成立,
因为,当时,,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在单调递增,
所以,所以,
即实数a的取值范围为.
（2）当时,,所以,,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,且当时,,当时,.
不妨设,则.
于是要证明,只需证,
因为在上单调递减,故只需证,
又,所以只需证,.
设,,
则,
设,,则,
当时,,,
所以,在单调递减,所以.
又,所以,所以在单调递增,
所以,即在上恒成立,
又,所以成立,故原不等式成立.
x
0
1
2
+
0
-
0
+
-
0
+
0
e
x
4
+
0
-
单调递增
极大值42
单调递减