专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略（学生版）-2023年初中数学8年级下册同步压轴题

专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．(将军饮马)如图，在菱形中，，E是边的中点，P是边上一动点，的最小值是，则的最小值为(    )A．2 B． C．1 D．0.5【答案】D【详解】解：连接交于P，连接，由菱形的对角线互相垂直平分，可得关于对称，则，∴，，即就是的最小值，∵，∴是等边三角形，∵E是边的中点∴，∴(等腰三角形三线合一的性质)在中，，∴，∴．∴当时最小∵∴故选：D例2．(中点模型)如图，矩形，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为(    )A． B．2 C． D．【答案】A【详解】如图，取的中点，连接，，矩形，，，，，点是的中点，，，，点是的中点，，在中，，当点在上时，，的最大值为，故选：A．例3．(截补模型)如图，在中，，，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．【答案】【详解】解：过B作，在上截取，连接，∵，，∴，，∵，∴，∴，当A、D、F在同一直线上时，的最小值为的长，延长到G，使，连接，∴，，∴四边形为平行四边形，∵，，∴四边形为正方形，且边长为2，∴，，∴，即的最小值为，故答案为：．例4．(瓜豆模型)如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______．【答案】【详解】解：如图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，则，∴是等腰直角三角形，，∴(舍负)，∴当的值最大时，的值最大，∵， ，，∴，(A、C、M三点共线时取等号)∴的最大值为，∴的最大值为．故答案为：．【变式训练1】如图，矩形中，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是___________．【答案】【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，，当点F与点E重合时，点P在处，，∴且．当点F在上除点C、E的位置处时，有．由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段，∴当时，取得最小值．∵矩形中，，为的中点，∴、、为等腰直角三角形，．∴，．∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长．在中，，∴，∴的最小值是．故答案是：．【变式训练2】如图，已知线段，点C在线段上，且是边长为4的等边三角形，以为边的右侧作矩形，连接，点M是的中点，连接，则线段的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵为等边三角形，∴，，∵四边形是矩形，点M是的中点，∴DM＝CM，在与中，， ∴，∴，∵，∴，即直线的位置是固定的，∴当时，有最小值，此时．【变式训练3】如图，在正方形中，边长，点Q是边的中点，点P是线段上的动点，则的最小值为 _____．【答案】【详解】解：连接，交于点P，连接、．∵四边形是正方形，∴点B与点D关于对称，∴，∴．∵，点Q是边的中点，∴，，在中，，∴的最小值为．故答案为: ．【变式训练4】如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为 ______【答案】【详解】解：连接，交于点，过作，且，连接．四边形是平行四边形，，，即的最小值为，四边形是菱形，， ，又， 在中，， ， ，在中，，，即的最小值为，故答案为：．【变式训练5】如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接，∵，且，，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴当时，的值最小，此时，的面积，∴，∴的最小值为；故答案为：．类型二、动点问题例1．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是方程的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；(3)当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【详解】(1)∵正方形的边长是方程的根，解方程，得，∴正方形的边长为4，∴，，∴点C的坐标为；(2)∵E为的中点，∴ 由题意得：，分两种情况：①时，如图由题意得：，，∴，；②时，如图由题意得：，，∴，，，，∴，∴S关于t的函数关系式为(3)分两种情况：①时，如图：由题意得：，，∴，，当时，，∴，解得(舍去)或2，∴，∴当，是以为底边的等腰三角形时，；②时，如图：由题意得：，，∴，，，，当时，，∴，解得(舍去)或4，∴，∴；∴当，是以为底边的等腰三角形时，，综上所述，当是以为底边的等腰三角形时，点P的坐标为或例2.如图，在长方形中，，，点为延长线上一点，且，点从点出发，沿———向终点运动．同时点从点出发，沿———向终点运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设的面积为，点运动的时间为秒．(1)当时， ；当时， ．(2)当时，用含的代数式表示．直接写出结果并化简．(3)当点在边上，且为等腰三角形时，直接写出的取值或者范围．【答案】(1)，(2)(3)秒或秒或秒【详解】(1)解：根据题意，当时，，，∴；当时，，的高为，∴；故答案为：，；(2)解：当时，如图所示，∵，，∴；当时，如图所示，∵，的高为，∴；当时，如图所示，∵，，，，∴；∴；(3)解：当点在边上，且为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，如图所示，设，则，，∴，∵，∴，解得(舍去)，，∴；②当时，如图所示：设，则，，∴，∵，∴，解得，∴；③当时，如图所示：∴，，，∴，，∴，解得或(舍去)，∴；综上所述，的值为秒或秒或秒．【变式训练1】如图，在中，为锐角，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)点在上运动时，_____________；点在上运动时，_____________．(用含的代数式表示)(2)点在上，时，求的值．(3)当直线平分的面积时，求的值．(4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或(4)【详解】(1)根据题意：当点在上运动时，，当点在上运动时，，故答案为：；(2)当点在上，时，点在上，且，∴，∴，解得：，∴的值为：(3)∵当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、，当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、，由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．∴当，点在上，点在上时，直线平分的面积，∴，即，解得：，当，点在上，点在上时，直线平分的面积，∴，即，解得：，综上所述：当直线平分的面积时，的取值为：或(4)∵，∴，∴点在上，∴，且，∴的某两个顶点与、所围成的菱形只能是：，∴点在边上，，∵此时：，∴，【变式训练2】如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．(1)当时，＝______(用含t的代数式表示)；(2)当点N落在边上时，求t的值；(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S(用含t的代数式表示)；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．【答案】(1)(2)(3)当时，；当时， (4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形【详解】(1)当时，； 故答案为：；(2)如图1，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴ ，∴，∴；(3)由(2)知，时，正方形在长方形的内部，∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，∴；  如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，如图3，当M点运动到D点处时，∵，∴，解得，∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，如图5， ＝＝；综上所述：当时，；当时， ；(4)由(3)可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝ ，CP＝ ．(用含t的代数式表示)(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为 ．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为 ．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为 ．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5(4)4.9或13.9【解析】(1)解：当点P在BC边上时，BP＝t，CP＝9﹣t，故答案为：t，9﹣t；(2)当点P在线段BC，线段AD上运动时，△ABP是直角三角形．因为BC=9，BC+CD=13，BC+CD+DA=22∴t的取值范围：0＜t≤9或13≤t＜22．故答案为：0＜t≤9或13≤t＜22；(3)过点M作MH⊥BC于点H，则四边形AMHB是矩形．∴MH＝AB＝4，AM＝BH＝4，CH=DM＝AD﹣AM＝5．∴PH=∴当MP＝MD时，，∴t＝1或7．当PM＝PD时，点P是CH的中点，BP＝BH+CH=4+2.5＝6.5，∴t＝6.5，综上所述，满足条件的t的值为1或7或6.5．故答案为：1或7或6.5；(4)当点P在CM的垂直平分线上时，PM＝CP．当点P在线段BC上时，CP=MP=9-t，PH=t-4，MH=4，∵△MPH是直角三角形，∴即，∴t＝4.9，当点P在线段AD上时，同法可得PM＝CPCP=MP=18-t，DP=t-13，CD=4∵△CDP是直角三角形，∴即，∴t＝13.9．综上所述，满足条件的t的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．