广西壮族自治区百色市平果市铝城中学2023-2024学年高二上学期12月月考测试数学试卷

这是一份广西壮族自治区百色市平果市铝城中学2023-2024学年高二上学期12月月考测试数学试卷，共11页。试卷主要包含了命题人等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ）
A．B．C．D．
4．我们将称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（ ）
A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项
C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项
5．若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左右焦点分别是是椭圆上的一点，且，则面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
10．已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（ ）
A．椭圆的长轴长为8
B．满足的面积为4的点恰有2个
C．的的最大值为16
D．直线与直线斜率乘积为定值
11．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，设，且，e为椭圆的离心率，则下列正确的有（ ）
A．当时，B．e随着k的增大而增大
C．e可能等于D．e可能等于
12．已知抛物线的焦点到其准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．点的坐标为B．的最小值为
C．点的坐标可能为D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为 ．
14．圆心为，且与直线相切的圆的标准方程是 .
15．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为 .
16．设有一组圆：（）．下则正确的说法有 ．
①存在一条定直线与所有的圆均相交；
②存在一条定直线与所有的圆均不相交；
③有的圆经过原点；
④若，则圆上总有两点到原点的距离为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点.
18．（12分）已知直线的方程为，求直线的方程，使得：
（1）与平行且过点；
（2）与垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，.
（1）证明：；
（2）若异面直线PB与CD所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知点、和动点满足：, 且
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）设过点的直线交曲线于两点, 若的面积等于，求直线的方程.
21．（12分）已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上.
(1)求圆C的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.
22．（12分）已知抛物线的焦点坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知定点，、是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点。2023年高二上学期12月数学月考测试卷参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．A
解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A．
8．B 9．ABD 10．AC
11．ABD
解：线段的中点在y轴上，是的中点，故轴，
，，则，，
，即，整理得到.
对选项A：时，，，正确；
对选项B：，，故e随着k的增大而增大，正确；
对选项C：，解得，不在范围内，错误；
对选项D：，解得，满足，正确；故选：ABD
12．ACD
解：对于A，因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 点的坐标为故选项A正确；
对于B，易知当轴时，取得最小值，此时不妨取，，所以，选项B错误；
对于C，易知直线的斜率存在，所以可设直线的方程为，，，由A知抛物线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，整理得，则，，所以，因为为线段的中点，所以的坐标为，当时，的坐标为，选项C正确；
对于D，根据抛物线的定义可知，，，所以，选项D正确.故选：ACD.
13．.14．15．
16．①④
解：根据题意得：圆心，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项①正确；
考虑两圆的位置关系，
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或2时，，含于之中，若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项②错误；
将带入圆的方程，则有，即，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项③不正确．
圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2=1与圆Ck有两个交点，则圆心距与半径满足，解得，故④正确.
故答案为：①④
17．
解：（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为， 1分
因为，，2分 所以，． 3分
所以． 4分
所以所求椭圆的标准方程为． 5分
（2）设所求椭圆方程为， 6分
由和两点在椭圆上，可得， 7分
即，解得， 9分
故所求椭圆的标准方程为． 10分
18．
（1）解：设的方程为， 1分 由点在上知，，3分 所以直线的方程为. 5分
（2）解：设的方程为， 6分 令，得， 7分 令，得， 8分
于是三角形面积， 10分 得， 11分
所以直线的方程为或. 12分
19．
（1）证明：如图，设AD的中点为O，连接OP，OB，BD. 1分
由，，，可知，为等边三角形，2分
又点O为AD的中点，所以，. 3分
又，故平面POB. 4分
又平面POB，
所以. 5分
（2）解：不妨设，则. 6分
由，得，又，
，
解得， 7分
在中，，所以. 8分
由（1）可知，，故PO，OB，AD两两垂直.
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴､y轴､z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，. 9分
设为平面APB的法向量，
则，即可取. 10分
设为平面PBC的法向量，
则，即可取. 11分
.
由题意，可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为. 12分
20．
解：（I）在中，由余弦定理得： 2分
，3分
，即动点的轨迹为以为两焦点的椭圆.且，4分
，，，动点的轨迹的方程为：. 5分
（II）设直线的方程为：， 6分
由得：（※）， 7分
设，，则，， 8分
9分
解得：，. 10分
当时，方程（※）的，满足题意. 11分
直线的方程为或. 12分
21．
解：（1）的斜率为，中点坐标为，2分
由题意得圆心在的垂直平分线上，
，解得， 3分 故，半径为， 4分
圆C的方程为； 5分
（2）如图所示，过与直线垂直的直线方程为， 6分
由得，7分 两直线交于点，
则关于直线的对称点为， 9分
由题意得反射光线过圆心，直线的斜率为， 11分
故直线的方程为，即. 12分

22．
解：（1）∵抛物线的焦点坐标为，∴， 2分
∴抛物线方程为． 3分
证明：设， 4分 将的方程与联立得
， 5分 由题， 6分
设，，则，， 7分
∴，同理：∴， 9分
由题意：， 10分
∴，∴，∴，∴， 11分
则直线的方程为，故直线恒过定点． 12分