2023-2024学年广西壮族自治区“贵百河”高二上学期新高考10月月考测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区“贵百河”高二上学期新高考10月月考测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将集合、化简，再根据并集的运算求解即可.
【详解】∵集合，集合，
∴．
故选：D.
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【分析】按照复数的除法运算求出复数z的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.
【详解】.
.
故选：B.
3．已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，判断.
【详解】因为，，
，
所以
故选：D
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，根据斜率的乘积等于可得；当时，根据求出，再根据必要不充分条件的概念可得答案.
【详解】当时，，，，所以；
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】因为，，，
所以向量在方向上的投影向量为.
故选：A.
6．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.
【详解】因为，所以由，
，
故选：A
8．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】将三棱锥放入长方体内，得到为球直径，由基本不等式求出，从而求出三棱锥的体积的最大值.
【详解】因为，易知三角形为等腰直角三角形，
又平面，所以为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，

长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
，
解得，
又，
解得，
，所以
所以三棱锥的体积，
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体
被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32
【答案】AC
【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.
【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确；
对于选项，，解得，
则方差为，故该选项错误；
对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，
由于%，其中第6个数为23，故该选项正确；
对于选项,设数据，，…，的均值为，
则数据，，…，的均值为，
因为数据，，…，的标准差为，
所以数据，，…，的标准差为
，故该选项错误；
故选：AC.
10．在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．在锐角三角形中，不等式恒成立
【答案】BD
【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐个判断即可.
【详解】对于A：，所以或者，即或，所以为等腰三角形或者直角三角形，A错误；
对于B：，又，代入可得，
所以，所以，B正确；
对于C：由正弦定理可得，代入可得，
所以符合条件的三角形没有，C错误；
对于D：是锐角三角形，所以，D正确，
故选：BD
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D．若方程在上有两个不等实数根，，则．
【答案】AB
【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．
【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以，
则，将点代入得：，
所以，，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
12．已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（ ）
A．实数的取值范围为
B．
C．
D．的最大值为1
【答案】AD
【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.
【详解】由函数可知其图象如下图所示，
又因为存在，使得，
所以函数与有三个不同的交点，
根据图象可知，故A错误；
根据函数图像可知，所以
得，即，故B正确；
显然，且关于对称，所以，故C正确；
因为，且，所以，
，当且仅当时，等号成立；
又因为，所以，故D错误；
故选：AD.
三、填空题
13．已知点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先由题意得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】根据点在线上，得到，则，又，
故
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9．
故答案为：9.
14．已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是 .
【答案】
【分析】因为不一定也在单调递增区间内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将变成,然后再用函数在上的单调性解函数不等式.
【详解】因为函数为偶函数,所以,
所以不等式等价于,
又因为函数在区间单调递增,所以 ,解得,
所以的取值范围是.
故答案为 .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,
抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.
15．在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
16．在棱长为1的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若，则的面积的最小值是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.
【详解】如图，以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则点，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以当时，，
因为正方体中，平面平面，故，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线过点.
(1)若直线与垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可；
（2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可.
【详解】（1）直线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为，
过点且与直线垂直的直线的方程为，即.
（2）分两种情况讨论：
①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为，
将点的坐标代入该直线方程得，解得，此时，所求直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为，即，
将点的坐标代入该直线方程得，
此时，所求直线的方程为
综上所述，所求直线的方程为或.
18．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）计算的值即可得，再计算的值，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
19．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B的大小，
（2）由（1）可得，由正弦定理可得，然后由为锐角三角形求出角的范围，再利用正切函数的性质可求得结果
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，化简得，
所以由余弦定理得
，
因为，
所以
（2）因为，所以,
由正弦定理得，，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，所以，，
所以，
即的取值范围为
五、应用题
20．某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86~100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71~85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56~70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41~55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30~40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；
(2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率．
【答案】(1)，平均数为71.
(2)74
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1，可求出，进而可求出平均数.
（2）由频率分布直方图结合B等级及以上排名占比列方程即可得解．
（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.
【详解】（1）；
平均数；
（2）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，
假设原始分不少于分可以达到赋分后的B等级及以上，
由频率分布直方图知占比，占比，
所以，且，
解得（分），
所以原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．
（3）由题知得分在和内的频率分别为0.1和0.15，
由知抽取的5人中，得分在内的有2人，记为AB,
得分在的有3人，记为cde，
则从5人中抽取两人的基本事件为：共10种，
这2人中恰有一人原始成绩在内的基本事件有：
，共6种，
故所求概率.
21．每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.
(1)若，求甲恰好胜出一轮的概率；
(2)若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为.
（i）求，，的值；
（ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.
【答案】(1)
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.
（2）（i）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出和，即可求解；（ii）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.
【详解】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件，
“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件，
“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件，
“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件，
则，，，相互独立，
且，，，.
设“甲恰好胜出一轮”为事件，
则，，互斥.
当时，
.
所以当，甲恰好胜出一轮的概率为.
（2）由（1）知，（i）记事件为“甲、乙各胜出一轮”，
事件为“甲、乙都获得优秀”，
所以，.
因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，
所以
，
，
则，解得或（舍去）.
综上，，.
（ii）设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”，
于是“两人中至少有一人获得优秀”，
且，，
所以，，
所以.
故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为.
六、证明题
22．已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）是否存在一点F，满足 (0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【分析】（1）取的中点，连接，证明是直角三角形，得，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；
（2）取的中点,连接，证明平面，以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得，说明存在．
【详解】（1）取的中点，连接, ,四边形是平行四边形，,为等边三角形，是直角三角形，，平面平面,平面，平面平面, 平面,平面,
（2） F为EB中点即可满足条件.
取的中点,连接，则，取的中点,连接,平面平面，平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系,
则,则

设平面的法向量为，平面的法向量为 ．
由，得，取；
由，得，取．
于是， ．
解得或（舍去）
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
所以存在使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.