湖北省恩施州教学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省恩施州教学联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】求出集合，利用交集定义直接求解．
【详解】集合，1，，，
∴．
故选：A．
2. 函数与的图象（ ）
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象的变换即可得到答案.
【详解】相当于的图象先沿y轴对称翻折，再沿着x轴对称翻折，故翻折后的图象与原图象关于原点对称．
故选：C.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”.
故选：C.
4. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【详解】函数的定义域和值域均为，
函数的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数的定义域为，值域为R，不满足要求；
函数的定义域为R，值域为，不满足要求；
函数的定义域和值域均为，满足要求；
故选：D．
5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：B
6. 函数（ ）
A. 最小值为0，最大值为3B. 最小值为，最大值为0
C. 最小值为，最大值为3D. 既无最小值，也无最大值
【答案】C
【解析】
【分析】将函数写成分段函数形式，求出值域，得到答案.
【详解】函数，
当时，，故，
故，
所以的最小值为，最大值为3．
故选：C．
7. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（ ）
A. 1.322B. 1.410
C. 1.507D. 1.669
【答案】A
【解析】
【分析】由可得,进而将条件代入求解即可.
【详解】,,
故选:A
【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.
8. 已知m，且，对于任意均有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先分析题意进行解答，进行分类讨论，，三种情况，分别讨论得出满足在恒成立时，只有.
【详解】当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时，由二次函数图象可知，只有时满足，而不满足条件；
当时，在上，恒成立，所以只需满足恒成立，此时等于0的方程两根分别为和，
①当时，此时，当时，不恒成立；
②当时，此时，若满足恒成立，只需满足；
③当时，此时，满足恒成立．
综上可知，满足在恒成立时，只有．
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对数函数和幂函数的单调性即可判断选项AB，利用中间量，以及两数作差结合基本不等式判断选项C，利用作商法判断选项D.
【详解】对于A：由在上单调递减，
得，
故，
即，故A正确；
对于B：由在上单调递减，
得，故B错误；
对于C：，
，，
，
故，故C错误；
对于D：，，
又，，
故，故D正确．
故选：AD
10. 若x，．且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，，当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；
对于D，，则有，变形可得，
故，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ABD．
11. 若，下列选项可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意，可得，分，，讨论即可判断.
【详解】解：因为，则有，
若，，又可知，即，
则此时，可选A；
若，显然成立，可选B；
若，则有，，又，则有，可选C．
综上，可能正确的有A，B，C.
故选：ABC.
12. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式，准确化简，即可求解.
【详解】根据分数指数幂与根式的运算，当为奇数时，；
当为偶数时，，所以.
故答案：
14. 设，则值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数，对数的运算可得解.
【详解】解：由题可得，，
故．
故答案为：.
15. 函数是定义在上的奇函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到对任意的实数恒成立，得到方程，对任意实数恒成立，转化为对任意实数恒成立，进而求得的值.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，
则对任意的实数恒成立，
即，对任意实数恒成立，
可得对任意实数恒成立，可得，即
经验证，此时为上的奇函数，满足题意．
故答案为：．
16. 设满足，满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元进行变形，判断函数的单调性，求解函数的零点，进而得到结果．
详解】设，则，
则变形为，即，
由题意知满足，则，
易知函数在上单调递增，
所以此函数只有一个零点，
因为，所以，
又，所以，
所以．
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）求值：；
（2）求值：．
【答案】（1）11 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据对数运算性质转化整理出平方差形式，即可化简求值；
（2）根据指数幂的运算性质化简求值．
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18. 设命题实数x满足，其中，命题实数x满足．
（1）若，且p和q都是真命题，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，根据不等式的解法，分别求得命题和对应的不等式的解集，结合和都是真命题，列出不等式组，即可求解；
（2）根据不等式的解法，求得命题和对应的不等式的解集，结合题意，利用集合间的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由命题实数满足，其中，
当时，即命题，解得；
命题实数满足，解得；
因为命题和都是真命题，所以，解得，
故实数的取值范围为．
【小问2详解】
解：命题实数满足，解得，
命题实数满足，解得．
因为是的充分不必要条件，则满足，解得，
所以实数的取值范围为．
19. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若方程在时有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，不等式，转化为，结合不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，当时，方程显然不成立；当时，转化为在时有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，函数，
不等式，即为，
可得，即为，即，
解得，故不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由在时有解，
①当时，方程显然不成立；
②当时，即在时有解，
设，可得，即，所以，
所以，实数a的取值范围为.
20. 已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）求满足方程的x的值．
【答案】（1）
（2），，
【解析】
【分析】（1）利用指数函数性质，换元求值域.
（2）将方程化简，分类讨论，换元解方程即可.
【小问1详解】
令，则，，
故的值域为．
【小问2详解】
由有，
①当时，，
解得或或
②当时，
解得
综上可得，，．
21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
【答案】（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【解析】
【分析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
22. 已知函数的定义域关于原点对称，且．
（1）求b，c的值，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）为奇函数
（2）
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的定义域的对称性即可确定参数，再根据奇函数的定义即可求解; (2)根据分离常数法和参编分离确定范围即可求解.
【小问1详解】
由题意，的定义域满足，
即的解集关于原点对称，
根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故．
∴，
∴，
∴.
又定义域关于原点对称，
,
故
为奇函数．
【小问2详解】
由（1），
因为∵，
∴，
∴的值域为
故关于x的方程有解，
即在上有解．
令，
则，
∵在上单调递增,
的值域为,
即m的值域为，声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40