2023-2024学年湖北省恩施州教学联盟高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省恩施州教学联盟高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2}，B={x|x2<3}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {x|0≤x< 3}D. {x|0≤x≤ 3}
2.函数y=−e−x与y=ex的图象( )
A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称
3.命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2<−1B. ∀x∈R，x2≤−1
C. ∃x∈R，x2≤−1D. ∀x∈R，x2<−1
4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=elnx的定义域和值域相同的是( )
A. y=xB. y=lnxC. y=exD. y=x−12
5.若0A. abC. ab6.函数f(x)=|x−2|−|x+1|( )
A. 最小值为0，最大值为3B. 最小值为−3，最大值为0
C. 最小值为−3，最大值为3D. 既无最小值，也无最大值
7.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x=52，lg2=0.3010，则x的值约为．( )
A. 1.322B. 1.410C. 1.507D. 1.669
8.已知m，n∈R且mn≠0，对于任意x≥0均有(x−m)(x−n)(x−3m−n)≥0，则( )
A. m<0B. m>0C. n<0D. n>0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式正确的是( )
A. lg0.30.2C. lg2310.若x，y>0，且x+2y=1，则( )
A. xy≤18B. x+ 2y≤ 2
C. 1x+2y≥10D. x2+4y2≥12
11.若−lna=lnb=lgπc，下列选项可能正确的是( )
A. ab>cD. a12.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A. p1≥p2B. p2>10p3C. p3=100p0D. p1≤100p2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.化简：nan= ______ ．
14.设alg54=2，则4−a的值为______ ．
15.函数f(x)=ln( 1+ax2+x)是定义在R上的奇函数，则a= ______ ．
16.设x1满足2x+lgx=3，x2满足lg(1−x)−2x=1，则x1+x2= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求值：(lg5)2+lg2⋅lg50+21+lg25；
(2)求值：( 3π)0−432+(0.064)−13+ (52−π)2．
18.(本小题12分)
设命题p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0，命题q：实数x满足x−3x−2≤0．
(1)若a=1，且p和q都是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+1x+1，a∈R．
(1)当a=1时，求不等式f(x)+2(2)若方程f(x)=0在x∈[0,2]时有解，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−4，g(x)=1−6e|x|．
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)−g(x)=0的x的值．
21.(本小题12分)
节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1，则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn，可由函数模型rn=r0−(r0−r1)⋅50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出，其中n是指改良工艺的次数．
(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg2=0.3)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=b⋅2x+c2x+b，g(x)=lnx−2x+b，g(x)的定义域关于原点对称，且f(0)=4．
(1)求b，c的值，判断函数g(x)的奇偶性并说明理由；
(2)若关于x的方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0有解，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合B，利用交集定义直接求解．
【解答】
解：∵集合A={0,1,2}，
B={x|x2<3}={x|− 3∴A∩B={0,1}．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，y=−e−x相当于y=ex的图象先沿y轴对称翻折，再沿着x轴对称翻折，
故翻折后的图象与原图象关于原点对称．
故选：C．
根据题意，根据函数图象的变换即可得到答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的对称变换，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称量词命题，则命题的否定为∃x∈R，x2≤−1，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：函数y=elnx的定义域和值域均为(0,+∞)，
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lnx的定义域为(0,+∞)，值域为R，不满足要求；
函数y=ex的定义域为R，值域为(0,+∞)，不满足要求；
函数y=x−12的定义域和值域均为(0,+∞)，满足要求．
故选：D．
分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
本题考查函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据0则可排除ACD．
故选：B．
根据0本题主要考查了不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=|x−2|−|x+1|=−3,x≥21−2x,−1当−1故f(x)∈[−3,3]．
所以f(x)的最小值为−3，最大值为3．
故选：C．
将函数写成分段函数形式，求出值域，得到答案．
本题考查函数的最值及其几何意义，是基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了指数式与对数式互化问题，也考查了对数的运算问题，属于基础题．
把指数式化为对数式，再用lg2表示出来，即可求出结果．
【解答】
解：由2x=52，lg2=0.3010，所以x=lg252=lg52lg2=lg5−lg2lg2=1−2lg2lg2=1−2×≈1.322；即x的值约为1.322．
故本题选A．
8.【答案】C
【解析】解：当m<0时，在x≥0上，x−m≥0恒成立，所以只需满足(x−n)(x−3m−n)≥0恒成立，此时3m+n0不满足条件；
当n<0时，在x≥0上，x−n≥0恒成立，所以只需满足(x−m)(x−3m−n)≥0恒成立，此时等于0的方程两根分别为x=m和x=3m+n，
①当2m+n>0时，此时0②当2m+n<0时，此时3m+n③当2m+n=0时，此时3m+n=m>0，满足(x−m)(x−3m−n)≥0恒成立．
综上可知，满足(x−m)(x−n)(x−3m−n)≥0在x≥0恒成立时，只有n<0．
故选：C．
首先分析题意进行解答，进行分类讨论m<0，n<0，三种情况，分别讨论得出满足(x−m)(x−n)(x−3m−n)≥0在x≥0恒成立时，只有n<0．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：由f(x)=lg0.2x在(0,+∞)上单调递减，
得lg0.20.3>lg0.20.4>lg0.20.5>0，
故1lg0.20.3<1lg0.20.4<1lg0.20.5，
即lg0.30.2对于B：由f(x)=x−0.1在(0,+∞)上单调递减，
得0.3−0.1>0.4−0.1>0.5−0.1，故B错误；
对于C：lg23>lg22 2=32，
lg34lg34−lg45=lg4lg3−lg5lg4=(lg4)2−lg3⋅lg5lg3⋅lg4>(lg4)2−(lg3+lg52)2lg3⋅lg4=(lg4)2−(lg 15)2lg3⋅lg4>0，
故lg23>lg34>lg45，故C错误；
对于D：lg6323=32lg63=lg3627∈(0,1)，∴lg63<23，
又lg523=32lg5=lg100125>1，∴23故lg63<23故选：AD．
根据对数函数和幂函数的单调性即可判断选项AB，利用中间量32，以及两数作差结合基本不等式判断选项C，利用作商法判断选项D．
本题主要考查了函数的单调性及基本不等式在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若x，y>0，且x+2y=1，则x=1−2y，则有xy=y(1−2y)=2y(1−2y)2⩽122y+(1−2y)22=18，当且仅当x=2y=12时等号成立，A正确；
对于B， x+ 2y2=1+2 2xy，由A可得xy⩽18，故1+2 2xy⩽2，所以 x+ 2y⩽ 2，故B正确；
对于C，1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+4 yx×xy=9，当且仅当x=y=13时等号成立，C错误；
对于D，x+2y=1，则有(x+2y)2=1，变形可得x2+4y2+4xy=1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥12，D正确；
故选：ABD．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为−lna=lnb=lgπc，则有1a=b>0，
若00，又lnπ>1可知lnc>lnb，即c>b，
则此时a若a=b=c=1，显然成立，可选B；
若01，又lnc=lnb⋅lnπb>c，可选C．
综上，可能正确的有A，B，C．
故选：ABC．
由题意，可得1a=b>0，分0本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题意得，60≤20lgp1p0≤90，1000p0≤p1≤1092p0，
50≤20lgp2p0≤60，1052p0≤p2≤1000p0，
20lgp3p0=40，p3=100p0，
可得p1≥p2，A正确；
p2≤10p3=1000p0，B错误；
p3=100p0，C正确；
p1≤1092p0=100×1052p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．
故选：ACD．
根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
13.【答案】a,n为奇数|a|,n为偶数
【解析】解：当n为奇数时，nan=ann=a；
当n为偶数时，nan=|a|nn=|a|，
∴nan=a,n为奇数|a|,n为偶数．
故答案为：a,n为奇数|a|,n为偶数．
根据分数指数幂与根式的互化公式求解．
本题考查分数指数幂与根式的互化，考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
14.【答案】125
【解析】解：由题可得a=2lg54=2lg45，∴−a=−2lg45，
故4−a=4−2lg45=4lg45−2=125．
故答案为：125．
根据指数，对数的运算可得解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：由函数f(x)=ln( 1+ax2+x)是定义在R上的奇函数，
则f(x)+f(−x)=0对任意的实数x恒成立，
即ln( ax2+1+x)+ln( ax2+1−x)=ln(ax2+1−x2)=0，对任意实数x恒成立，
可得ax2=x2对任意实数x恒成立，可得a=1，即f(x)=ln( 1+x2+x)，
经验证，此时f(x)为R上的奇函数，满足题意．
故答案为：1．
根据题意，得到f(x)+f(−x)=0对任意的实数x恒成立，得到方程ln(ax2+1−x2)=0，对任意实数x恒成立，转化为ax2=x2对任意实数x恒成立，进而求得a的值．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：设t=1−x，则x=1−t，
则lg(1−x)−2x=1变形为lgt−2(1−t)=1，即2t+lgt=3，
由题意知x1满足2x+lgx=3，则2x1+lgx1=3，
易知函数y=2x+lgx−3在(0,+∞)上单调递增，
所以此函数只有一个零点，
因为2t+lgt=3，所以t=x1，
又t=1−x2，所以x1=1−x2，
所以x1+x2=1．
故答案为：1．
利用换元进行变形，判断函数的单调性，求解函数的零点，进而得到结果．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=(lg5)2+lg2⋅(1+lg5)+2×2lg25=(lg5)2+(1−lg5)⋅(1+lg5)+10=11；
(2)原式=1−23+(0．43)−13+|52−π|=1−8+0．4−1+π−52=−7+52+π−52=π−7．
【解析】(1)根据对数运算性质转化整理出平方差形式，即可化简求值；
(2)根据指数幂的运算性质化简求值．
本题主要考查指数、对数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)命题p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0，
当a=1时，命题P：(x−1)(x−3)<0，解得1命题q：实数x满足x−3x−2≤0.整理得2由于命题p和q都是真命题，
所以1故实数x的取值范围为(2,3)．
(2)命题p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，解得a命题q：实数x满足x−3x−2≤0.故2由于q是p的充分不必要条件，
所以(2,3]⫋(a，3a)，
所以a<2 3a>3 或a≤2 3<3a ，
故1【解析】(1)直接利用不等式的解法和真值表的应用求出结果；
(2)利用不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：真值表的应用，充分条件和必要条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，函数f(x)=x+1x+1，
不等式f(x)+2可得1x+1−1x+3<0，即为2(x+1)(x+3)<0，即(x+1)(x+3)<0，
解得−3故不等式的解集为{x|−3(2)由f(x)=ax+1x+1=0在x∈[0,2]时有解，
①当x=0时，方程显然不成立；
②当x∈(0,2]时，即a=−1x(x+1)在x∈[0,2]时有解，
设g(x)=x(x+1)，x∈(0,2]，可得g(x)∈(0,6]，即−1x(x+1)≤−16，所以a≤−16，
所以，实数a的取值范围为(−∞,−16]．
【解析】(1)根据题意，不等式f(x)+2(2)根据题意，当x=0时，方程显然不成立；当x∈(0,2]时，转化为a=−1x(x+1)在x∈[0,2]时有解，结合二次函数的性质，即可求解．
本题考查分式不等式的解法，考查分类讨论思想及运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)令t=e|x|，则t≥1，y=g(x)=1−6t，
故g(x)的值域为[−5,1)．
(2)由f(x)−g(x)=0有，ex−4−(1−6ex)=0⇒ex+6ex−5=0，
①当x≥0时，ex+6ex−5=0⇒(ex)2−5ex+6=0，
解得ex=2或ex=3⇒x=ln2或x=ln3；
②当x<0时，ex+6e−x−5=0⇒7ex=5，
解得ex=57⇒x=ln57；
综上可得x=ln2，x=ln3，x=ln57．
【解析】(1)利用指数函数性质，换元求值域．
(2)将方程f(x)−g(x)=0化简，分类讨论，换元解方程即可．
本题考查指数函数的性质与应用，考查分类讨论思想及运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得r0=2，r1=1.94，
所以当n=1时，r1=r0−(r0−r1)⋅50.5+p，
即1.94=2−(2−1.94)×50.5+p，解得p=−0.5，
所以rn=2−0.06×50.5n−0.5(n∈N∗)，
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=2−0.06×50.5n−0.5(n∈N*)；
(2)由题意可得，rn=2−0.06×50.5n−0.5≤0.08，
整理得，50.5n−0.5≥，即50.5n−0.5≥32，
两边同时取常用对数，得0.5n−0.5≥lg32lg5，
整理得n≥2×5lg21−lg2+1，
将lg2=0.3代入，得2×5lg21−lg2+1=307+1≈5.3，
又因为n∈N*，所以n≥6，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．
【解析】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
(1)由题意得r0=2，r1=1.94，所以当n=1时，r1=r0−(r0−r1)⋅50.5+p，解得p=−0.5，所以rn=2−0.06×50.5n−0.5(n∈N∗)，
(2)由(1)可得，rn=2−0.06×50.5n−0.5≤0.08，即50.5n−0.5≥32，解不等式，即可得到答案．
22.【答案】解：(1)根据题意，g(x)=lnx−2x+b，则有x−2x+b>0，变形可得(x−2)(x+b)>0，
又由g(x)的定义域关于原点对称，必有b=2，
函数f(x)=b⋅2x+c2x+b=2⋅2x+c2x+2，
又由f(0)=4，即f(0)=2+c1+2=4，解可得c=10，
对于g(x)=lnx−2x+2，有x−2x+2>0，解可得x<−2或x>2，即函数的定义域为(−2,2)，
g(−x)=ln−x−2−x+2=−lnx−2x+2=−g(x)，即函数g(x)为奇函数；
(2)根据题意，f(x)=2⋅2x+102x+2=2(1+32x+2)，
又由2x+2>2，则0<32x+2<32，则有2设t=f(x)，则t∈(2,5)，
方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0，即t2−(m−1)t−2=0，变形可得m=t2−2t+1=t−2t+1，
设h(t)=t−2t+1，t∈(2,5)，易得h(t)在(2,5)上为增函数，
则有2若方程[f(x)]2−(m−1)f(x)−2=0有解，即方程m=t2−2t+1=t−2t+1在(2,5)上有解，
必有2故m的取值范围(2,285).
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质分析函数g(x)的定义域，可得b的值，由f(0)=4分析c的值，进而分析g(x)的奇偶性，即可得答案；
(2)根据题意，先分析函数f(x)的值域，设t=f(x)，原方程变形可得m=t2−2t+1=t−2t+1，设h(t)=t−2t+1，t∈(2,5)，再分析h(t)的值域，由此分析可得答案．
本题考查函数与方程的应用，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40