2023-2024学年吉林省吉林市蛟河市三校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市蛟河市三校联考九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图形中是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2−3x=0的根是( )
A. x=3B. x1=0，x2=−3
C. x1=0，x2= 3D. x1=0，x2=3
3.如图，身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2 m，CA=0.8 m，则树的高度为
( )
A. 4.8mB. 6.4mC. 8mD. 10m
4.在同一平面直角坐标系中，函数y=x−1与函数y=1x的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A. 逐渐变短
B. 逐渐变长
C. 先变短后变长
D. 先变长后变短
6.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了( )
A. 4圈B. 3圈C. 5圈D. 3.5圈
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.已知方程x2+mx−6=0的一个根为−2，则另一个根是______ ．
8.小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出100条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出200条，且带有记号的鱼有5条，其鱼池中估计有鱼______ 条.
9.已知ab=52，则a−bb=______．
10.两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是______ ．
11.已知△ABC，若有|sinA−12|与(tanB− 3)2互为相反数，则∠C的度数是______ ．
12.把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是______ ．
13.将抛物线y=−x2向右平移一个单位，所得函数解析式为______．
14.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66.5°．
(1)求点D与点C的高度差DH；
(2)求所用不锈钢材料的总长度l.(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)
(参考数据：sin66.5°≈0.92，cs66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
四、解答题：本题共11小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
吉万家超市今年的营业额为280万元，计划两年后的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
17.(本小题5分)
某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
18.(本小题5分)
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE/​/BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长．
19.(本小题5分)
如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H.求证：HG=HB．
20.(本小题7分)
已知关于x的方程x2+kx−2=0的一个解与方程x+1x−1=3解相同．
(1)求k的值；
(2)求方程x2+kx−2=0的另一个解．
21.(本小题7分)
甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
(1)用列表法(或画树状图)求甲获胜的概率；
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
22.(本小题7分)
如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB/​/CD，求阴影部分面积．
23.(本小题7分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(−1,−1)．
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形．
24.(本小题8分)
已知直线y=12x+2与x轴、y轴交于A、C两点，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．
(1)求P点的坐标；
(2)求过P点的反比例函数解析式．
25.(本小题10分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t(秒)．
(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(2)当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；
(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
26.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=ax2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，问是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：x2−3x=0
x( x−3)=0
x1=0，x2=3．
故选D．
本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x(x−3)=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
本题考查简单的一元二次方程的解法，解此类方程只需按解一元二次方程的一般步骤按部就班即可．
3.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：由题意可得，ACAB=1.6树高，AB=BC+CA=4m，
即树高=1.6×40.8=8m，
故选：C．
可由平行线分线段成比例求解线段的长度．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
根据反比例函数的性质可得：函数y=1x的图象在第一三象限，由一次函数与系数的关系可得函数y=x−1的图象在第一三四象限，进而选出答案．
【解答】
解：函数y=1x中，k=1>0，故图象在第一三象限；
函数y=x−1的图象在第一、三、四象限，
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长．
故选：C．
根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．
本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C选择．
注意正确分析圆所走过的路程，可以画出圆心所走过的路程．
【解答】
解：设圆的周长是C，
则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C，
则这个圆共转了4C÷C=4圈．
故选A．
7.【答案】3
【解析】解：∵x2+mx−6=0的一个根为−2，
∴另一个根x=−6÷(−2)=3．
故填空答案：3．
此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．
根据一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca解答．
8.【答案】4000
【解析】解：设鱼的总数为x条，
鱼的概率近似等于5200=100x
解得x=4000．
故答案为：4000．
先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数．
本题主要考查了频率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系，难度适中．
9.【答案】32
【解析】解：设a=5k，b=2k，则a−bb=32；故填32．
根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
注意解法的灵活性．方法一是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
10.【答案】2【解析】解：∵两圆相交，两圆的半径分别为3和5，
∴5−3根据两圆相交，则圆心距大于两圆半径之差，而小于两圆半径之和．
做此题需熟悉两圆的位置关系与数量关系之间的联系．
11.【答案】90°
【解析】解：∵|sinA−12|与(tanB− 3)2互为相反数，
∴sinA−12=0，tanB− 3=0，
则sinA=12，tanB= 3，
∴∠A=30°，∠B=60°，
则∠C的度数是：90°．
故答案为：90°．
直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质得出∠A，∠B的度数进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值以及偶次方的性质等知识，正确应用绝对值以及偶次方的性质是解题关键．
12.【答案】49πcm2；
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=120π×2180，
解得r=23cm．
∴πr2=49πcm2；
故答案为：49πcm2；
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
13.【答案】y=−(x−1)2
【解析】解：抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移一个单位得到对应点的坐标为(1,0)，所以平移后的函数解析式为y=−(x−1)2．
故答案为y=−(x−1)2．
先确定抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)，于是可抛物线平移的问题转化为点平移的问题解决．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14.【答案】45
【解析】解：①如图1中，EF/​/AB时，∠ACE=∠A=45°，
∴旋转角n°=45°时，EF/​/AB．
②如图2中，EF/​/AB时，∠ACE+∠A=180°，
∴∠ACE=135°
∴旋转角n°=360°−135°=225°，
∵0∴此种情形不合题意，
故答案为45．
分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．
本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(1)DH=1.6×34=1.2(米)；
(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
∴MH=BC=1
∴AM=AH−MH=1+1.2−1=1.2．
在Rt△AMB中，∠A=66.5°．
∴AB=AMcs66.5∘≈(米)．
∴l=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米)．
答：点D与点C的高度差DH为1.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米．
【解析】(1)已知看台有四个台阶组成，由图可看出DH由三个台阶组成，看台的总高度已知，则DH的长不难求得；
(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形，从而得到BC=MH，再利用三角函数可求得AD，AB的长．那么所用不锈钢材料的总长度l就不难得到了．
此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．
16.【答案】解：设平均每年增长的百分率为x，
由题意得：280(1+x)2=403.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2 (不合题意，舍去)，
答：平均每年增长的百分率为20%．
【解析】设平均每年增长的百分率为x，根据计划两年后的营业额为403.2万元，列出一元二次方程，解之取其正值即可．．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】(1)180
(2)由题意得：
y=(x−40)[200−10(x−50)]
=−10x2+1100x−28000
=−10(x−55)2+2250
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
【解析】【解答】
解：(1)由题意得：200−10×(52−50)=200−20=180(件)，
故答案为：180；
(2)见答案
【分析】
(1)根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
(2)根据等量关系“利润=(售价−进价)×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
18.【答案】解：∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴ADAB=DEBC．
∵AB=7，AD=5，DE=10，
∴BC=AB⋅DEAD=7×10 5=14．
【解析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相等，由相似得比例，把已知边代入求出BC的长即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】证明：连接AH．
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，
∴∠B=∠G=90°．
由题意知AG=AB，
在Rt△AGH和Rt△ABH中，
AH=AHAG=AB，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)，
∴HG=HB．
【解析】连接AH，利用正方形的性质得出∠B=∠G=90°.由题意知AG=AB，进而利用HL定理得出即可．
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质根据已知得出Rt△AGH≌Rt△ABH是解题关键．
20.【答案】解：(1)由x+1x−1=3解得x=2，
经检验x=2是方程的解．
把x=2代入方程x2+kx−2=0，
得：22+2k−2=0，
解得：k=−1；
(2)由(1)知方程x2+kx−2=0化为：x2−x−2=0，
方程的一个根为2，则设它的另一根为x2，
则有：2x2=−2
∴x2=−1．
【解析】(1)分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值；
(2)根据两根之积=ca即可求得另一根．
此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便．
21.【答案】解：方法一画树状图
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P(和为奇数)=0.5
方法二列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P(和为奇数)=0.5；
(2)∵P(和为奇数)=0.5，
∴P(和为偶数)=0.5，
∴这个游戏规则对双方是公平的．
【解析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：连接OC、OD、OE、OF，如图，
∵大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，
∴OF⊥CD，OE⊥AB，
∵AB/​/CD，
∴OF⊥AB，
∴EF为小圆的直径，
∴S弓形CD=S弓形AB，
∵大圆的面积被小圆所平分，
∴π⋅OF2=12⋅πR2，
∴OF= 22R，
在Rt△OCF中，∵OF= 22R，OC=R，
∴CF= OC2−OF2= 22R，
∴CD=2CF= 2R，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴∠COF=45°，
∴∠COD=90°，
∴S弓形CD=S扇形COD−S△COD=90⋅π⋅R2360−12⋅ 2R⋅ 22R=(14π−12)R2，
∴阴影部分面积=12S大圆−2⋅S弓形CD=12⋅πR2−2⋅(14π−12)R2=R2．
【解析】连接OC、OD、OE、OF，如图，根据切线的性质得OF⊥CD，OE⊥AB，而AB/​/CD，则OF⊥AB，所以EF为小圆的直径，S弓形CD=S弓形AB，再利用大圆的面积被小圆所平分，可计算OF= 22R，在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF= 22R，于是可判断△OCF为等腰直角三角形，得到∠COF=45°，所以∠COD=90°，然后根据扇形面积公式和S弓形CD=S扇形COD−S△COD计算出S弓形CD=S的面积，再利用阴影部分面积=12S大圆−2⋅S弓形CD进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积得计算．
23.【答案】解：(1)画出的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(−9,−1)；
(2)画出的△A2B2C的图形如图所示，点B2的坐标为(5,5)；
(3)画出的△AB3C3的图形如图所示．

【解析】(1)△ABC的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△A1B1C1；
(2)△ABC的另两点绕点C按顺时针方向旋转90°后得到新的两点，顺次连接得△A2B2C；
(3)利用位似放大的性质作图．
本题的难点是第三问，即把△ABC以点A为位似中心放大，就是在AB、AC的延长线上取点B3、C3，使B3C3=2BC，也就是说，BC是△A B3C3的中位线．
24.【答案】解：设P的坐标是(x,12x+2)，
则PB=12x+2，OB=x，
∵直线y=12x+2分别交x，y轴于点A，C，
∴A的坐标是(−4,0)，C的坐标是(0,2)，
∵S△ABP=9，
∴12⋅(12x+2)⋅(x+4)=9，
解得：x1=2，x2=−10，
∵P在第一象限，
∴x=2，
即P的坐标是(2,3)，
设过P点的反比例函数的解析式是y=kx，
则k=6，
即过P点的反比例函数的解析式是y=6x．
【解析】设P的坐标是(x,12x+2)，则PB=12x+2，OB=x，根据三角形的面积得出12⋅(12x+2)⋅(x+4)=9，解方程求出P的坐标是(2,3)，设过P点的反比例函数的解析式是y=kx，代入求出k即可．
本题考查了三角形的面积，用待定系数法求出反比例函数的解析式的应用，关键是求出P的坐标．
25.【答案】解：(1)过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，
∵QB=16−t，
∴s=12QB⋅PM=12(16−t)×12=96−6t(0≤t<16)．
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，
即21−2t=16−t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形．
(3)由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=(16−t)2，解得t=72；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=(16−2t)2+122，由PB2=BQ2得(16−2t)2+122=(16−t)2，即3t2−32t+144=0，
此时，△=(−32)2−4×3×144=−704<0，
所以此方程无解，∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=(16−2t)2+122得t1=163，t2=16(不合题意，舍去)．
综上所述，当t=72或t=163时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】(1)若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16−t，可知：s=12PM×QB=96−6t；
(2)当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ，即21−2t=16−t，可将t求出；
(3)本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
本题主要考查梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理．在解题(3)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+32x+4的对称轴是直线x=3，
∴−322a=3，解得：a=−14，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4．
当y=0时，−14x2+32x+4=0，
解得：x1=−2，x2=8，
∴点A的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(8,0)．
(2)当x=0时，y=−14x2+32x+4=4，
∴点C的坐标为(0,4)．
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)．
将B(8,0)、C(0,4)代入y=kx+b，
8k+b=0b=4，解得：k=−12b=4，
∴直线BC的解析式为y=−12x+4．
假设存在，设点P的坐标为(x,−14x2+32x+4)，过点P作PD/​/y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x,−12x+4)，如图所示．
∴PD=−14x2+32x+4−(−12x+4)=−14x2+2x，
∴S△PBC=12PD⋅OB=12×8⋅(−14x2+2x)=−x2+8x=−(x−4)2+16．
∵−1<0，
∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
(3)设点M的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则点N的坐标为(m,−12m+4)，
∴MN=|−14m2+32m+4−(−12m+4)|=|−14m2+2m|．
又∵MN=3，
∴|−14m2+2m|=3．
当0解得：m1=2，m2=6，
∴点M的坐标为(2,6)或(6,4)；
当m<0或m>8时，有−14m2+2m+3=0，
解得：m3=4−2 7，m4=4+2 7，
∴点M的坐标为(4−2 7, 7−1)或(4+2 7,− 7−1)．
综上所述：M点的坐标为(4−2 7, 7−1)、(2,6)、(6,4)或(4+2 7,− 7−1)．
【解析】(1)由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为(x,−14x2+32x+4)，过点P作PD/​/y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x,−12x+4)，PD=−14x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
(3)设点M的坐标为(m,−14m2+32m+4)，则点N的坐标为(m,−12m+4)，进而可得出MN=|−14m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质求出a的值；(2)根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；(3)根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．1
2
3
4
5
1+5=6
2+5=7
3+5=8
4+5=9
6
1+6=7
2+6=8
3+6=9
4+6=10
7
1+7=8
2+7=9
3+7=10
4+7=11