2022-2023学年甘肃省天水市秦安县桥南中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省天水市秦安县桥南中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法错误的是( )
A. 1的平方根是±1B. −1的立方根是−1
C. ± 2是2的平方根D. −3是 (−3)2的平方根
2.下列计算正确的是( )
A. 2a2+3a=5a3B. (ab)2=a2bC. a6÷a2=a3D. (a2)3=a6
3.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要的介绍空气的组成情况，较好的描述数据，最适合使用的统计图是( )
A. 扇形图B. 条形图C. 折线图D. 直方图
4.若y2+my+9是一个完全平方式，则m的值为( )
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
5.下列命题是真命题的是( )
A. 等边对等角
B. 周长相等的两个等腰三角形全等
C. 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合
D. 三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
6.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是( )
A. 甲、丁B. 甲、丙C. 乙、丙D. 乙
7.如果一个等腰三角形的两边长分别是5和10，那么这个等腰三角形的周长是( )
A. 20B. 15C. 20或25D. 25
8.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. (SAS)B. (SSS)C. (ASA)D. (AAS)
9.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. − 5
B. −1− 5
C. 1− 5
D. −1+ 5
10.如图，在△ABC中，∠ABC为钝角，AB=2 2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点则BM+MN的最小值( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 2
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若实数x，y满足y=3 x−5+2 5−x+8，则2x−y=______．
12.已知a2+a−1=0，则a3+2a2+2021=______．
13.已知某组数据的频数为63，样本容量为90，则频率为 ．
14.若(x+m)(x−2)=x2+nx−6，则m+n= ______ ．
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为______ °.
16.如图，AE=DF，∠A=∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件______，证明全等的理由是______．
17.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3=9π，则S1+S2等于______ ．
18.长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是______ ．
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：−32+ 16+|−1|+327．
(2)因式分解：4x2y−4xy+y．
20.(本小题8分)
如图，AC=EF，BC=DE，A、D、B、F共线，且AD=BF，求证：△ABC≌△FDE．
21.(本小题8分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=10，BE=2，求AB的长．
22.(本小题8分)
为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A：书法；B：绘画；C：乐器；D：舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门)，将数据进行整理，并绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，扇形统计图中∠α的度数是______；
(2)请把条形统计图补充完整．
23.(本小题8分)
城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．
(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC=90°.请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足.求证：
(1)DE=DF；
(2)△DEF是等边三角形．
25.(本小题8分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
26.(本小题10分)
如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，CD=AD，∠ADC=60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P.CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
(1)请求出∠BAC的度数；
(2)试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
27.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为______；
(2)思考探究：如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问(1)中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、1的平方根是±1，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、−1的立方根是−1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、± 2是2的平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、± 3是 (−3)2的平方根，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
根据平方根和立方根的概念判断即可．
本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字(0,±1)的特殊性质．
2.【答案】D
【解析】解：A选项不是同类项，不能合并．
B项(ab)2=a2b2，积的乘方等于乘方的积，底数每一项都要乘方．
C项a6÷a2=a4．
D项正确．
故选：D．
依据整式运算相关类型计算即可．
本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，难度不大，掌握基本运算法则即可．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：A．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，直方图各自的特点．
4.【答案】D
【解析】解：∵y2+my+9是一个完全平方式，
∴m=±6，
故选D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；利用三角形全等可对D进行判断．
【解答】
解：A.在一个三角形中，等边对等角，所以A选项错误；
B.周长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以B选项错误；
C.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，所以C选项错误；
D.三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项正确．
故选D．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．
【解答】
解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；
B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；
C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；
D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误．
7.【答案】D
【解析】解：∵5+5=10，
∴腰的长不能为5，只能为10，
∴等腰三角形的周长=2×10+5=25．
故选：D．
题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点D′；
③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；
④过点C′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△O′C′D′和△OCD中
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD,
∴△O′C′D′≌△OCD(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
本题我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵BD= 22+12= 5，
∴BA= 5，
∴a=−1− 5，
故选：B．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，
∵AB=2 2，∠BAC=45°，
∴BH=2．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=2．
故选：B．
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得：x−5≥0，5−x≥0，
解得：x=5，
则y=8，
∴2x−y=2×5−8=2，
故答案为：2．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】2022
【解析】解：∵a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
∴a3+2a2+2021
=a3+a2+a2+2021
=a(a2+a)+a2+2021
=a+a2+2021
=1+2021
=2022，
故答案为：2022．
由a2+a−1=0可得a2+a=1，再代入计算即可得出结果．
本题考查了因式分解的应用，会把a3+2a2+2021变形为a2+a的形式是解题的关键．
13.【答案】0.7
【解析】解：这组数据的频率6390=0.7，
故答案为：0.7．
【分析】本题考查了频率的计算公式，解答本题的关键是掌握公式：频率=频数总数．
根据频率=频数总数，求解即可．
14.【答案】4
【解析】解：已知等式整理得：x2+(m−2)x−2m=x2+nx−6，
可得m−2=n，−2m=−6，
解得：m=3，n=1，
则原式=4．
故答案为：4．
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
又∵AB垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBD=40°，
∴∠EBC=∠ABC−∠EBD=30°，
故答案为：30．
利用等腰三角形的性质可得出∠ABC=∠C=70°，再由中垂线的性质可得出∠A=∠EBD=40°，从而根据∠EBC=∠ABC−∠EBD可得出答案．
此题考查了中垂线及等腰三角形的性质，属于基础性质的应用，解答本题的关键是根据等腰三角形及中垂线的性质分别得出∠ABC及∠EBD的度数，难度一般．
16.【答案】∠E=∠F或∠ECF=∠FBD或AB=CD ASA或AAS或SAS
【解析】解：①∠E=∠F 两角及夹边对应相等的两个三角形全等
②∠ECA=∠FBD 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
③AB=CD，AC=BD，两边及夹角对应相等的两个三角形全等
故答案为∠E=∠F或∠ECF=∠FBD或AB=CD；ASA或AAS或SAS．
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】9π
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=π(AC2)2×12，S2=π(BC2)2×12，S3=π(AB2)2×12，
∴S1+S2=π(AC2)2×12+π(BC2)2×12=π(AB2)2×12=S3，
∵S3=9π，
∴S1+S2=9π，
故答案为：9π．
根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】25cm
【解析】解：把左侧面展开到水平面上，连接AB，如图1，
AB= (10+20)2+52= 925=5 37(cm)
把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2，
AB= 202+(10+5)2=25(cm)；
把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，
AB= 102+(20+5)2= 725=5 29(cm)．
∵ 925> 725>25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故答案为：25cm．
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连接AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连接AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
本题考查了平面展开−最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
19.【答案】解：(1)原式=−9+4+1+3，
=−1；
(2)原式=(4x2−4x+1)y
=y(2x−1)2．
【解析】(1)利用乘方，平方根，绝对值，与立方根先求出各数，再相加即可．
(2)根据题意，首先提取公因式，再根据完全平方公式的性质计算，即可得到答案；
本题考查了实数的混合运算和因式分解，熟练掌握乘方，平方根，绝对值，与立方根概念，完全平方公式，以及是数混合运算法则是解本题的关键．
20.【答案】证明：∵AD=FB，
∴AD+DB=FB+DB，即AB=FD．
在△ABC与△FDE中，
AC=EFAB=FDBC=DE，
∴△ABC≌△FDE(SSS)．
【解析】先根据等式性质，得到AB=FD，再根据SSS即可判定△ABC≌△FDE．
本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等．
21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CD BE=CF ，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，BE=2，
∴CF=BE=2，
∵AC=10，
∴AF=AC−CF=10−2=8，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
AD=AD DE=DF ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF=8，
∴AB=AE−BE=8−2=6．
【解析】(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
(2)根据全等三角形的性质得出AE=AF，由线段的和差关系求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22.【答案】40 108°
【解析】解：(1)本次调查的学生总人数为4÷10%=40(人)，
∠α=360°×(1−10%−20%−40%)=108°，
故答案为：40，108°；
(2)C科目人数为40×(1−10%−20%−40%)=12(人)，
补全图形如下：
(1)用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数；
(2)用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)测量的是点A，C之间的距离；
依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
(2)连接AC，
∵由(1)得∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，
在△ACD中，CD2=132，AD2=122，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36(平方米)，
36×30=1080(元)，
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
24.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°．
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中，
∠B=∠C∠BED=∠CFDBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF．
(2)由(1)得△BDE≌△CDF，
∴DE=DF．
∠BED=∠CFD=90°，
由(1)得∠B=∠C=30°，
∴∠BDE=∠CDF=90°−30°=60°．
∴∠EDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．
【解析】(1)利用AAS证明△BDE≌△CDF，进而解答即可；
(2)由△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF.由(1)得∠B=∠C=30°，求出∠EDF=180°−∠BDE−∠CDF=60°.所以△DEF是等边三角形．
本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质．
25.【答案】解：(1)海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC=CD×AB，
∴300×400=500×CD，
∴CD=300×400500=240(km)，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
(2)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，
∵ED= EC2−CD2=70(km)，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7(小时)，
即台风影响该海港持续的时间为7小时．
【解析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
(2)利用勾股定理得出ED的长，根据等腰三角形三线合一的性质得到EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
26.【答案】(1)解：∵CD=AD，∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵AB/​/CD，
∴∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=60°；
(2)证明：在BC上截取BF=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBF，
∵OB=OB，
∴△BEO≌△BFO(SAS)，
∴∠BOE=∠BOF，
∵∠BAC=60°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠POC=∠BOE=60°，
∴∠COF=60°，
∴∠COF=∠POC，
又∵OC=OC，∠OCP=∠OCF，
∴△CPO≌△CFO(ASA)，
∴CP=CF，
∴BC=BF+CF=BE+CP．
【解析】(1)证明△ACD为等边三角形，可得出∠ACD=60°，则∠BAC=∠ACD=60°；
(2)在BC上截取BF=BE，证明△BEO≌△BFO，可得∠BOE=∠BOF，证明△CPO≌△CFO，得出CP=CF，则BC=BE+CP可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
27.【答案】DE=BD+CE
【解析】解：(1)如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA=90°BA=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE；
(2)(1)中结论成立，
理由如下：如图2，∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
∠DBA=∠CAE∠BDA=∠AECBA=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形，
理由如下：如图3，由(2)可知，△ADB≌△CEA，
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠AFE，
∵在△DBF和△EAF中，
FB=FA∠DBF=∠EAFBD=AE，
∴△DBF≌△EAF(SAS)
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
(1)根据垂直的定义得到∠BDA=∠CEA=90°，根据等角的余角相等得到∠CAE=∠ABD，根据“AAS”证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形得到DE=BD+CE；
(2)根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得到∠BAD=∠ACE，由AAS定理证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD=AE，DA=CE，得出结论；
(3)根据等边三角形的性质得到∠BAC=120°，证明△BAD≌△ACE，得到BD=AE，证明△BDF≌△AEF，得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出∠DFE=60°，根据等边三角形的判定定理得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．