新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点1抽样方法教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点1抽样方法教师用书，共9页。试卷主要包含了5万元的农户比率估计为6%，5万元的农户比率估计为10%，5万元，8＋10，故选C等内容，欢迎下载使用。

1. (2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( C )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【解析】 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02＋0.04)×1＝0.06＝6%，故选项A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故选项B正确；估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68>6.5万元，故选项C错误；家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1＋0.14＋0.2＋0.2)×1＝0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选C.
2. (2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( B )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【解析】 讲座前中位数为eq \f(70%＋75%,2)>70%，所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，所以D错．故选B.
3. (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \(x,\s\up6(－))和eq \(y,\s\up6(－))，样本方差分别记为seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
【解析】 (1)由题中的数据可得，
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)×(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7)＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)×(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5)＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036；
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.
(2)eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))＝10.3－10＝0.3，
2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝2eq \r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq \r(0.007 6)≈0.174，
所以eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))>2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
4. (2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得eq \i\su(i＝1,10,x)eq \\al(2,i)＝0.038，eq \i\su(i＝1,10,y)eq \\al(2,i)＝1.615 8，eq \i\su(i＝1,10,x)iyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(－))2))，eq \r(1.896)≈1.377.
【解析】 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0.6,10)＝0.06，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3.9,10)＝0.39，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，
平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)r＝eq \f(\i\su(i＝1,10, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,10, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,10, )yi－\(y,\s\up6(－))2))
＝eq \f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,10,x)\\al(2,i)－10\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,10,y)\\al(2,i)－10\(y,\s\up6(－))2))
＝eq \f(0.247 4－10×0.06×0.39,\r(0.038－10×0.0621.615 8－10×0.392))
＝eq \f(0.013 4,\r(0.000 189 6))≈eq \f(0.013 4,0.013 77)≈0.97，
则r≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得eq \f(0.06,0.39)＝eq \f(186,Y)，解之得Y＝1 209 m3.
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
5. (2022·全国甲卷)甲、乙两城之间长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
【解析】 (1)根据表中数据，A家公司共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则P(M)＝eq \f(240,260)＝eq \f(12,13)；
B家公司共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则P(N)＝eq \f(210,240)＝eq \f(7,8)，
A家公司长途客车准点的概率为eq \f(12,13)；
B家公司长途客车准点的概率为eq \f(7,8).
(2)列联表
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(500×240×30－210×202,260×240×450×50)≈3.205>2.706，
根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
6. (2023·全国乙卷理科)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)．试验结果如下：
记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为eq \(z,\s\up6(－))，样本方差为s2.
(1)求eq \(z,\s\up6(－))，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．(如果eq \(z,\s\up6(－))≥2eq \r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)
【解析】 (1)根据表中数据，计算zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，填表如下：
计算平均数为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,z)i＝eq \f(1,10)×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
方差为s2＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10, )(zi－eq \(z,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,10)×[(－2)2＋(－5)2＋(－3)2＋(－19)2＋42＋02＋82＋72＋92＋12]＝61.
(2)由(1)知，eq \(z,\s\up6(－))＝11,2eq \r(\f(s2,10))＝2eq \r(6.1)2eq \r(\f(s2,10))，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
7. (2023·全国甲卷理科)为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；
(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2
24．6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4
26．5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4
10．0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2
23．6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
①求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
②根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
【解析】 (1)根据题意可得X＝0,1,2，
又P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,20)C\\al(2,20),C\\al(2,40))＝eq \f(19,78)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,20),C\\al(2,40))＝eq \f(20,39)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,20)C\\al(0,20),C\\al(2,40))＝eq \f(19,78)，
∴X的分布列为：
∴E(X)＝0×eq \f(19,78)＋1×eq \f(20,39)＋2×eq \f(19,78)＝1.
(2)①由于源数据已经排好，我们只需观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2，23.6，…，
故第20位数为23.2，第21位数为23.6，
∴m＝eq \f(23.2＋23.6,2)＝23.4，
∴补全列联表为：
②由①可知K2＝eq \f(40×6×6－14×142,20×20×20×20)＝6.400＞3.841，
∴能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
核心考点1 抽样方法
核心知识· 精归纳
1.两种抽样方法：简单随机抽样、分层随机抽样
2.分层随机抽样的样本均值
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，则样本的平均数eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－)).
多维题组· 明技法
角度1：简单随机抽样
1.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( A )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10)B．eq \f(3,10)，eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10)D．eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
【解析】 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为eq \f(1,10).
2.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1 534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_169__石(结果四舍五入保留整数)．
【解析】 依题意可得米内夹谷的比例为eq \f(28,254)＝eq \f(14,127)，所以这批米内有谷子1 534×eq \f(14,127)≈169石．
角度2：分层随机抽样的应用
3. (2023·上饶二模)为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业．该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家．若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是( C )
A．180B．90
C．18D．9
【解析】 该市中型企业和大型企业的家数比为9∶1，由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是9×2＝18.故选C.
4. (2023·吴忠模拟)在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝( C )
A．15B．20
C．30D．60
【解析】 ∵学生人数比例为2∶3∶5，A校恰好抽出了6名志愿者，∴n＝eq \f(10,2)×6＝30，故选C.
方法技巧· 精提炼
1.简单随机抽样
(1)简单随机抽样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取．
(2)简单随机抽样一般有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)
2.分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比＝eq \f(该层样本容量n,总样本容量N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数).
(2)在分层随机抽样中，如果层数分为两层，第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq \f(mx＋ny,m＋n).
加固训练· 促提高
1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( A )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0B．1
C．2D．3
【解析】 ①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的．②不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．③不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.
2. (2023·江西模拟)目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型H1N1亚型病毒为主，假如该市某小区共有100名感染者，其中有10名年轻人，60名老年人，30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为( C )
A．6B．10
C．12D．16
【解析】 老年人做检测的人数为20×eq \f(60,100)＝12.故选C.高频考点
高考预测
随机抽样与用样本估计总体
以社会热点话题为背景，结合“五育并举”，考查随机抽样与用样本估计总体，线性回归方程的求解与运用，独立性检验问题．常与概率综合考查，中等难度.
频率分布直方图
回归分析及其应用
独立性检验
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
样本
号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积
量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
zi＝xi－yi
9
6
8
－8
15
11
19
18
20
12
＜m
≥m
对照组
实验组
k0
0.10
0.05
0.010
P(k2≥k0)
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P
eq \f(19,78)
eq \f(20,39)
eq \f(19,78)
＜m
≥m
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40