新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第1讲概率核心考点3条件概率和全概率教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第1讲概率核心考点3条件概率和全概率教师用书，共4页。试卷主要包含了条件概率，全概率公式，01B．0等内容，欢迎下载使用。
1.条件概率
(1)条件概率的计算公式
①公式法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)；
②缩小样本空间法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).
(2)条件概率的性质：设P(B|A)>0，则
①P(Ω|A)＝_1__；
②任何事件的条件概率都在_0和1__之间，即_0≤P(B|A)≤1__；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_P(B|A)＋P(C|A)__；
④设eq \x\t(B)和B是互斥事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝_1－P(B|A)__.
(3)概率的乘法公式
由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝_P(A)P(B|A)__，我们称该式为概率的乘法公式．
2.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)我们称该公式为全概率公式．
多维题组· 明技法
角度1：条件概率
1. (2023·安徽三模)如图，用M，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M，A1，A2正常工作的概率依次是eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，已知在系统正常工作的前提下，则只有M和A1正常工作的概率是( C )
A.eq \f(5,9)B．eq \f(3,4)
C．eq \f(1,5)D．eq \f(1,9)
【解析】 设事件A为系统正常工作，事件B为只有M和A1正常工作，并联的元件A1，A2正常工作的概率为：1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＝eq \f(15,16)，∴系统正常工作的概率为P(A)＝eq \f(1,2)×eq \f(15,16)＝eq \f(15,32)，∵P(AB)＝P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(3,32)，∴只有M和A1正常工作的概率为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,5).故选C.
2. (2023·河北模拟)某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱社团共五个社团，甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A为“五名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选篮球”，则P(A|B)＝( A )
A.eq \f(3,32)B．eq \f(3,16)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(2,5)
【解析】 事件AB：甲同学选篮球且五名同学所选项目各不相同，所以其他4名同学排列在其他4个项目，且互不相同为Aeq \\al(4,4)，事件B：甲同学选篮球，所以其他4名同学排列在其他4个项目，可以安排在相同项目为44，故P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(A\\al(4,4),55),\f(44,55))＝eq \f(3,32).故选A.
角度2：全概率公式
3. (2023·东城区校级模拟)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%,20%,50%，且三家工厂的次品率分别为3%,3%,1%，则市场上该品牌产品的次品率为( B )
A．0.01B．0.02
C．0.03D．0.05
【解析】 设A1，A2，A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，由题意有P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.5，P(B|A1)＝0.03，P(B|A2)＝0.03，P(B|A3)＝0.01，所以P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.3×0.03＋0.2×0.03＋0.5×0.01＝0.02.故选B.
4. (2023·扬州三模)某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为( C )
A.eq \f(1,7)B．eq \f(2,7)
C．eq \f(3,7)D．eq \f(4,7)
【解析】 设事件Ai＝“第一步走的i级台阶”，事件Bi＝“第二步走的i级台阶”，10级台阶要用7步走完，即走了四次1级，三次2级，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq \f(4,7)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,7)×eq \f(1,3)＝eq \f(3,7).故选C.
方法技巧· 精提炼
1.求条件概率的常用方法
2.全概率公式的实质
为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加，得到最终的结果．
3.全概率公式的应用
通常把A1，A2，…，An看成导致B发生的一组原因，如若B是“次品”，必是n个车间生产的次品；若B是“某种疾病”，必是几种病因导致B发生；若B表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中．
加固训练· 促提高
1. (2023·上海模拟)现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，B表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下B事件发生的概率即P(B|A)＝( A )
A.eq \f(1,4)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2,5)D．eq \f(1,2)
【解析】 由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则P(A)＝eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(2,5)，B表示事件“抽到两名女同学”，则P(AB)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4)，故选A.
2. (2023·兴庆区校级一模)长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是eq \f(2,3)，夏季来的概率是eq \f(1,3)，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( C )
A.eq \f(11,15)B．eq \f(16,45)
C．eq \f(17,45)D．eq \f(1,3)
【解析】 设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了一眼望三国”，则P(A1)＝eq \f(2,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，在冬季去了“一眼望三国”的概率为P(B|A1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,1),C\\al(2,5))＝eq \f(2,5)，在夏季去了“一眼望三国”的概率为P(B|A2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,1),C\\al(2,6))＝eq \f(1,3)，∴某人去了“一眼望三国”景点的概率为：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(17,45).故选C.定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，求P(B|A)
样本
点法
用古典概型的概率计算公式，先求事件A所包含的样本点个数n(A)，再求事件AB所包含的样本点个数n(AB)，则P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)