2023-2024学年河南省周口市西华县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市西华县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列平面图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点P(−3,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A. (−4,−3)B. (−3,−4)C. (3,4)D. (3,−4)
3.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 一锐角和斜边对应相等B. 两条直角边对应相等
C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个锐角对应相等
4.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( )
A. B. C. D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，则∠CAB′的度数为
( )
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
6.若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是( )
A. 11B. 18C. 14D. 22
7.如图，△ABC是等边三角形，DE/​/BC.若AB=7，BD=4，则△ADE的周长为( )
A. 4
B. 9
C. 12
D. 21
8.如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m.为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为( )
A. 0.5mB. 1mC. 1.5mD. 2m
9.如图，BE是正五边形ABCDE的对角线，∠ABE=∠AEB，过顶点A作直线l//BE，则∠1的度数为( )
A. 30°
B. 36°
C. 38°
D. 45°
10.如图，在3×4的正方形网格中，A，B是格点(网格线的交点)，若C也是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有点C的位置有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有______性．
12.如图，∠C=∠D=90°，请添加一个条件______，可判定△ABC≌△ABD．
13.一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y=______．
14.汶川大地震过后，某中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的，理由是______．
15.如图，等边三角形ABC的边长为5，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点，则AD+CD的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，点A，D，C，F在同一条直线上，∠A=∠EDF，AB=DE.有下列三个条件：①∠B=∠E，②BC=EF，③∠ACB=∠F.请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
(1)你选取的条件为______ (填写序号，只选一个条件)；
(2)根据你选取的条件给出证明．
17.(本小题9分)
如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE．
18.(本小题9分)
如图所示，上午8时，一艘轮船从A处测得灯塔C在北偏西30°方向，它以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处，测得灯塔C在北偏西60°方向，若轮船继续向正北方向航行，求轮船何时到达位于灯塔C正东方向的D处．
19.(本小题9分)
如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，格点E在BC边上，连接AE．
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点．
(2)求出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
20.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB，若∠DAB=75°，求∠ADE的度数．
21.(本小题10分)
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，它们的边BC、EF重叠地放在直线l上，AC，DE相交于点P，连接BD，AF．
(1)判断△PCE的形状，并说明理由；
(2)求证：AF=DB．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F，若AF=BF．
求证：(1)△ADF是等腰三角形．
(2)DF=2EF．
23.(本小题11分)
(1)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l于点D，AE⊥l于点E.求证：△AEC≌△CDB．
(2)应用：如图2，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，利用(1)中的结论，按照图中所标注的数据，计算实线所围成的图形的面积．
(3)拓展：如图3，等边△EBC中，BC=6cm，点O在边BC上，且OC=4cm，动点P从点E出发沿射线EC以2cm/s的速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.设点P运动的时间为t s，请直接写出当t= ______ s时，点F恰好落在射线EB上．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：点A(−3,4)关于x轴的对称点的坐标是(−3,−4)，
故选：B．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴的对称点的坐标是(x,−y)，即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容，比较简单．
3.【答案】D
【解析】解：A、正确．符合AAS；
B、正确．符合SAS；
C、正确．符合HL；
D、错误．要证两三角形全等必须有边的参与．
故选D．
直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解与运用，对知识要牢固掌握，灵活运用．
4.【答案】C
【解析】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．
故选：C．
结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质，余角和三角形外角的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
由余角的性质可求∠C=40°，由轴对称的性质可得∠AB′B=∠B=50°，由外角性质可求解．
【解答】
解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=40°．
∵△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，
∴∠AB′B=∠B=50°，
∴∠CAB′=∠AB′B−∠C=50°−40°=10°．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得
7−4∴14<周长<22，
∴周长可能为18，
故选：B．
根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB=7，BD=4，
∴AD=AB−BD=3，
∴△ADE的周长9，
故选：B．
由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=3，可求得其周长．
本题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ADE是等边三角形．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是得出AB，BE的长．利用线段垂直平分线的性质得出AB的长，再利用∠B=30°，可得2EF=BE=6m，即可得出答案．
【解答】
解：∵立柱AD垂直平分横梁BC，
∴AB=AC=4m，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°，
∵∠B=30°，
∴BE=2EF=6m，
∴AE=EB−AB=6−4=2m．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠AEB=∠ABE=(180°−108°)÷2=36°，
∵l//BE，
∴∠1=∠AEB=36°，
故选：B．
先根据多边形内角和公式求出每一个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AEB=36°，然后根据平行线的性质可得答案．
本题考查了正多边形的性质、平行线的性质；熟练掌握正五边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得：AB= 32+12= 10，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有2+1+1=4(个)；
故选：C．
由勾股定理求出AB= 32+12= 10，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
11.【答案】稳定
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用．
根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
12.【答案】AC=AD(答案不唯一)
【解析】解：添加的条件是AC=AD，
理由是：∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AB=ABAC=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD(答案不唯一)．
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC=AD或BC=BD．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等含有HL．
13.【答案】11
【解析】解：∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等，
∴x=6，y=5，
则x+y=11．
故答案为：11．
直接利用全等三角形的性质得出x，y的值进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
14.【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合
【解析】解：∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB．
故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．
15.【答案】10
【解析】解：连接CA1交BC1于点E，
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∴A，B，A1共线，
∵∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠CBC1=60°，
∴∠C1BA1=∠C1BC，
∵BA1=BC，
∴BD⊥CA1，CD=DA1，
∴C，A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长=10，
故答案为：10．
连接CA1交BC1于点E，C，A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长=10．
本题考查轴对称−最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16.【答案】①或③
【解析】(1)解：选取的条件为①或③，选②不能得△ABC≌△DEF，
故答案为：①或③；
(2)证明：选①，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠EDFAB=DE∠B=E，
∴△ABC≌△DEF(ASA)；
证明：选③，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠EDF∠ACB=FAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)．
(1)根据全等三角形的判定定理即可解答；
(2)根据(1)所选取的条件，证明三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
17.【答案】(1)解：如图所示，即为所求，
(2)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
在△BAE和△DAE中
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴DE=BE．
【解析】(1)利用角平分线的作图步骤作图即可；
(2)证明△BAE≌△DAE(SAS)，即可得出结论．
本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18.【答案】解：∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD=60°，∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CBD−∠CAB=30°，
∴∠CAB=∠ACB，AB=15×(10−8)=30(海里)，
∴AB=BC=30海里，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴BD=12BC=15海里，
∴从B到D用的时间为：15÷15=1(小时)，
则当船继续航行，11时到达灯塔C的正东方向D处．
【解析】根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、方向角，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
19.【答案】解：(1)如图，△AEF即为所求．

(2)设EF与CD交于点G，
则△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积即为四边形ADGE的面积，
∵四边形ADGE的面积为12×4×4−12×2×2=6，
∴△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为6．
【解析】(1)作点B关于AE的对称点F，连接AF，EF即可．
(2)设EF与CD交于点G，则所求面积即为四边形ADGE的面积，利用割补法计算即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B=90°，AE平分∠DAB，
∴BE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，EF⊥AD，
在Rt△DCE和Rt△DFE中，
ED=EDEC=EF，
∴Rt△DCE≌Rt△DFE(HL)，
∴∠EDC=∠EDF，
∴DE是∠ADC的平分线，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB/​/CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∵∠DAB=75°，
∴∠CDA=180°−75°=105°，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=12∠CDA=52.5°．
【解析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE=EF，再求出CE=EF，然后证明Rt△DCE≌Rt△DFE(HL)，得DE是∠ADC的平分线，再证明AB/​/CD，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
21.【答案】(1)解：△PCE是等边三角形，
理由是：∵△ABC、△DEF是全等的等边三角形，
∴∠DEC=∠ACE=60°，
∴∠EPC=180°−∠DEC−∠ACE=180°−60°−60°=60°，
∴△PCE是等边三角形；
(2)证明：∵△ACB与△DEF是等边三角形，
∴AC=DE=BC=EF，
∴∠ACF=∠DEB=120°，FC=BE，
在△AFC和△DBE中，
AC=DE∠ACF=∠DEBFC=BE，
∴△AFC≌△DBE，
∴AF=BD．
【解析】(1)根据等边三角形的性质推出∠DEC=∠ACE=60°，求出∠EPC，根据等边三角形的判定推出即可；
(2)根据等边三角形的性质得出AC=DE，根据SAS证△ACF≌△DEB，即可推出答案．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，运用定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE=∠C+∠D=90°，
∴∠D=∠BFE，
∵∠BFE=∠DFA，
∴∠D=∠DFA，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形；
(2)过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF=∠BEF=90°，
由(1)知，AD=AF，
∴DH=FH，
在△AFH和△BFE中，
∠AHF=∠BEF∠AFH=∠BFEAF=BF，
∴△AFH≌△BFE(AAS)，
∴FH=EF，
∴DH=FH=EF，
∴DF=2EF．
【解析】(1)由等腰三角形的性质和余角的性质可证得∠D=∠DFA，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
(2)过A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性质可得DH=FH，根据全等三角形的判定证得△AFH≌△BFE，得到DH=FH=EF，即可求出DF=2EF．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，并证得DH=FH=EF是解决问题的关键．
23.【答案】4
【解析】(1)证明：如图1中，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△AEC≌△CDB(AAS)；
(2)解：如图2中，
由(1)可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EF=AG=6，AF=BG=CH=4，CG=DH=4，
∴S=12(6+4)×16−18−12=50．
故答案为：50；
(3)解：如图4中，
∵BC=6cm，OC=4cm
∴OB=BC−OC=2cm，
∵∠FOP=120°，
∴∠FOB+∠COP=60°，
∵∠BCE=60°，
∴∠COP+∠OPC=60°，
∴∠FOB=∠OPC，
∵OF=OP，∠OBF=∠OCP=120°，
∴△PCO≌△OBF(AAS)，
∴PC=OB=2=2t−6，
解得：t=4．
故答案为：4．
(1)△AEC≌△CDB，根据AAS证明即可；
(2)利用(1)中结论解决问题即可；
(3)①根据OB=EP，构建方程解决问题即可；
②证明△PCO≌△OBF(AAS)，可得PC=OB，由此构建方程即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．