2023-2024学年河南省周口市淮阳区重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口市淮阳区重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列实数中：0， 5，−3.1415， 4，227，π，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列等式成立的是( )
A. 4=−2B. 16=±4C. 8=4D. 1=1
3.如果x2+mx+916是一个关于x的完全平方式，那么m的值为( )
A. 32B. ±32C. 34D. ±34
4.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是米．( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5.下列运算，结果正确的是( )
A. (x3)2=x6B. (2ab2)3=8a3b5C. x8÷x2=x4D. b3⋅b3=2b3
6.若(x+a)2=x2−10x+b，则a、b的值分别为( )
A. 2，4B. 5，−25C. −2，25D. −5，25
7.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为( )
A. 2 5B. 5C. 4 5D. 10
8.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4
C. 4，5，6D. 5a，12a，13a(a>0)
9.如图，在△ABC中，点D在AC上，沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有( )
A. 3对B. 2对C. 4对D. 1对
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.实数 28−2的整数部分是______ ．
12.计算：( 5−2)2020( 5+2)2020的结果是______．
13.现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b/​/c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是______ ．
14.如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是______ ．
15.如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：
(1)3−27+ 16−| 5−3|− 5；
(2)3x5y3⋅(−4x2y2)÷(−2x2y)3．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)(x−1)(x−3)+1；
(2)(a+b)(a−b)+4(b−1)．
18.(本小题9分)
先化简，再求值：
已知x−y=1，求(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)的值．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点F．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)求∠AFB的度数．
20.(本小题10分)
(1)用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．
(2)直接写出PC，PA，BC之间的数量关系．
21.(本小题10分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a+b=7，c=5，求Rt△ABC的面积．
22.(本小题10分)
若x满足(60−x)(x−40)=20，求(60−x)2+(x−40)2的值．
解：设60−x=a，x−40=b，
则ab=20，a+b=60−x+x−40=20．
∴(60−x)2+(x−40)2．
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=202−2×20
=360．
(1)若x满足(70−x)(x−20)=−30，求(70−x)2+(x−20)2的值；
(2)若x满足(3−4x)(2x−5)=92，求(3−4x)2+4(2x−5)2的值.友情提示(2)中的4(2x−5)2可通过逆用积的乘方公式变成[2(2x−5)]；
(3)若x满足(2023−x)2+(2020−x)2=2061，求(2023−x)(2020−x)的值．
23.(本小题11分)
【基本模型】如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的数量关系为______．
【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论：______．
【拓展延伸】如图3，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，E在线段BC上，F在线段CD上，∠EAF=12∠BAD，请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在所列实数中无理数有 5，π这2个数，
故选：B．
根据无理数的概念判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A． 4=2，故本选项不合题意；
B. 16=4，故本选项不合题意；
C. 8=2 2，故本选项不合题意；
D. 1=1，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据算术平方根的定义化简即可判断．
本题主要考查了算术平方根和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2+mx+916=x2+mx+(34)2，
∴mx=±2x⋅34，
解得m=±32．
故选：B．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
4.【答案】C
【解析】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB构成的直角三角形的斜边，
又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米，
∴AB= 102−62=8(米)，
故选：C．
从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确解三角形．
5.【答案】A
【解析】解：(x3)2=x6，故选项A正确，符合题意；
(2ab2)3=8a3b6，故选项B错误，不符合题意；
x8÷x2=x6，故选项C错误，不符合题意；
b3⋅b3=b6，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，可以计算出正确的结果，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解答】
解：已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2−10x+b，
可得2a=−10，a2=b，
解得：a=−5，b=25，
故选D
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=12BC，求得DF=12AH，根据三角形的面积公式得到DE⋅DF=2，得到AB⋅AC=8，求得AB=2(负值舍去)，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE/​/BC，
∴AE=CE，
∴DE=12BC，
∵DF⊥BC，
∴DF/​/AH，DF⊥DE，
∴BF=HF，
∴DF=12AH，
∵△DFE的面积为1，
∴12DE⋅DF=1，
∴DE⋅DF=2，
∴BC⋅AH=2DE⋅2DF=4×2=8，
∴AB⋅AC=8，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=12AC，
∴AB⋅2AB=8，
∴AB=2(负值舍去)，
∴AC=4，
∴BC= AB2+AC2=2 5．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不是直角三角形，不符合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意；
D、(5a)2+(12a)2=(13a)2，故是直角三角形，符合题意．
故选：D．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9.【答案】A
【解析】解：∵沿AC将△ABC对折，点B与点E重合，
∴△ABC≌△AEC，
∴AB=AE，BC=CE，∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACE，
在△ABD和△AED中，
AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
同理可得△BCD≌△ECD，
∴全等的三角形有3对，
故选：A．
由折叠的性质可得AB=AE，BC=CE，∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACE，由“SAS”可证△ABD≌△AED，△BCD≌△ECD，即可求解．
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，属于中档题．
得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，
∴AD=12，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴当点P为EF与AD的交点时，AD的长度=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
11.【答案】3
【解析】解：∵5< 28<6，
∴ 28−2的整数部分是：3．
故答案为：3．
首先得出 28的取值范围，进而得出 28−2的整数部分．
此题主要考查了估计无理数大小，得出 28的取值范围是解题关键．
12.【答案】1
【解析】解：原式=[( 5−2)( 5+2)]2020
=1．
直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
13.【答案】①
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b/​/c，是真命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题；
故答案为：①．
根据平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线判断即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理、三角形角平分线是解答此题的关键．
14.【答案】 5
【解析】解：将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB= 12+22= 5．
故答案为： 5．
首先将正方体展开，然后根据勾股定理求得最短路径即可．
本题考查了最短路径问题，解题的关键是能够将立体图形转化为平面图形进行计算，难度不大．
15.【答案】1或116
【解析】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME>∠C，
∴∠AME>∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC−EC=6−5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴CEAC=ACCB，
∴CE=AC2CB=256，
∴BE=6−256=116；
∴BE=1或116．
故答案为1或116．
首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME>∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=−3+4−(3− 5)− 5
=1−3+ 5− 5
=−2；
(2)原式=−12x7y5÷(−8x6y3)=32xy2．
【解析】本题主要考查实数与整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
(1)先计算立方根、算术平方根，去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得；
(2)先计算乘法和乘方，再计算除法可得．
17.【答案】解：(1)(x−1)(x−3)+1
=x2−4x+4
=(x−2)2；
(2)(a+b)(a−b)+4(b−1)
=a2−b2+4b−4
=a2−(b2−4b+4)
=a2−(b−2)2
=[a+(b−2)][a−(b−2)]
=(a+b−2)(a−b+2)．
【解析】(1)先利用整式乘法展开括号，合并之后，再通过完全平方公式进行因式分解；
(2)先利用整式乘法展开括号，合并之后，再进行分组分解，通过完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
本题考查因式分解，正确进行因式分解是解题关键．
18.【答案】解：(x+y)(x−y)+(y−1)2−x(x−2)
=x2−y2+y2−2y+1−x2+2x
=2x−2y+1，
当x−y=1时，原式=2(x−y)+1=2×1+1=3．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x−y=1代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
19.【答案】(1)证明：∵△ADC和△CEB都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
(2)解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∴∠AEB+∠DBE=120°，
∴∠AFB=∠AEB+∠DBE=120°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ACE≌△DCB；
(2)由全等三角形的性质可得∠AEC=∠DBC，可求∠AEB+∠DBE=120°，由外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，直线PQ即为所求作．
(2)结论：BC=PA+PC．
理由：∵PQ垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∴PA+PB=PB+PC=BC．
【解析】(1)利用尺规，根据要求作出图形即可．
(2)根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：∵a+b=7，
∴(a+b)2=49，
∴2ab=49−(a2+b2)=49−c2=49−25=24
∴12ab=6．
答：Rt△ABC的面积是6．
【解析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出2ab的值，即可确定出直角三角形的面积．
本题考查了勾股定理，这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．
22.【答案】解：(1)设70−x=m，x−20=n，则mn=−30，m+n=(70−x)+(x−20)=50，
∵m2+n2=(m+n)2−2mn，
∴m2+n2=502−2×(−30)=2560；
(2)∵(3−4x)(2x−5)=92，
∴(3−4x)[2(2x−5)]=9，即(3−4x)(4x−10)=9，
设3−4x=s，4x−10=t，则s+t=−7，st=9，
∵(3−4x)2+4(2x−5)2=(3−4x)2+22×(2x−5)2=(3−4x)2+(4x−10)2，
∴(3−4x)2+4(2x−5)2=s2+t2
=(s+t)2−2st
=(−7)2−2×9
=31；
(3)设2023−x=p，2020−x=q，则p−q=3，p2+q2=2061，
∴2pq=(p2+q2)−(p−q)2
=2061−32
=2052，
∴pq=1026，
∴(2023−x)(2020−x)=1026．
【解析】(1)根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
(2)将(3−4x)(2x−5)=92转化为(3−4x)[2(2x−5)]=9，即(3−4x)(4x−10)=9，再根据例题的解题思路进行计算，即可解答；
(3)根据例题的解题思路进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是灵活运用公式解决问题．
23.【答案】EF=BE+DF EF=BE−DF
【解析】解：【基本模型】结论：EF=BE+DF．
理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF′中，
AF=AF′∠EAF′=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
又EF′=BE+BF′=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
故答案为：EF=BE+DF；
【模型运用】结论：EF=BE−DF．
理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF′中，
AF=AF′∠EAF′=∠EAFAE=AE，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
又EF′=BE−BF′=BE−DF，
∴EF=BE−DF．
故答案为：EF=BE−DF；
【拓展延伸】结论：EF=BE+DF．
理由：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，∠ABF′=∠D，
又∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF=∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABF′+∠ABE=180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，
AF=AF′∠EAF=∠EAF′AE=AE，
∴△AEF≌△AEF′(SAS)，
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE+BF′，
∴EF=BE+DF．
【基本模型】结论：EF=BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′=∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′，从而得解；
【模型运用】结论：EF=BE−DF，证明方法类似(1)；
【拓展延伸】结论：EF=BE+DF.将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′=∠DAF，对应边相等可得AF′=AF，BF′=DF，对应角相等可得∠ABF′=∠D，再根据∠EAF=12∠BAD证明∠EAF′=∠EAF，并证明E、B、F′三点共线，然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF′=EF，从而得解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，利用旋转变换构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．