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专题06 巧用零点值妙杀绝对值类压轴题-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

七年级上学期数学期中试卷 2021-2024年七年级数学上册期中测试卷及答案

2023-12-29 09:13
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专题06 巧用零点值妙杀绝对值类压轴题-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

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这是一份专题06 巧用零点值妙杀绝对值类压轴题-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版），文件包含专题06巧用零点值妙杀绝对值类压轴题原卷版docx、专题06巧用零点值妙杀绝对值类压轴题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页，欢迎下载使用。

典例分析：
学习了绝对值我们知道，a=aa>00a=0−aa<0，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式x+1+x−3时，可令x+1=0和x−3=0，分别求得x=−1和x=3，我们就称−1和3分别为x+1|和x−3|的零点值在有理数范围内，零点值x=−1，x=3可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当x<−1时，原式=−x−1+−x−3=2−2x；
②当x=−1时，原式=4；
③当−1④当x=3时，原式=4；
⑤当x>3时，原式=x+1+x−3=2x−2．
综上所述，原式=2−2xx<−14−1≤x≤32x−2x>3，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式x−1−2x+2；
(2)x−1−2x+2的最大值是．（请直接写出结果）
【答案】(1)原式=−x−5x≥1−3x−3−2(2)3
【详解】（1）当x≥1时，原式=x−1−2x+2=x−1−2x−4=−x−5；
当−2当x≤−2时，原式=1−x+2x+2=1−x+2x+4=x+5；
综上所述：原式=−x−5x≥1−3x−3−2（2）当x≥1时，原式的最大值=0−2×3=−6；
当x≤−2时，原式的最大值=3−0=3；
∴x−1−2x+2的最大值为3．
故答案是3．
实战训练：
一、单选题
1．计算x−1+x+2的最小值为（）
A．0B．1C．2D．3
2．已知 x 是正实数，则 ∣x−1∣+∣2x−1∣+∣3x−1∣+∣4x−1∣+∣5x−1∣ 的最小值是（）
A．2B．74C．53D．0
二、填空题
3．数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是，若AB=1，则x为；当代数式|x+2|+|x−3|取最小值时，相应的x的取值范围是．
4．已知a,b是有理数，若b=1−a+2，则b的最小值为．
5．当a= 时，|a−1|+4有最小值．最小值是．
三、解答题
6．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．

利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示3和6两点之间的距离是______，数轴上表示1和−5的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为______．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为______．
(3)若x表示一个有理数，则x−2+x+4的最小值=______．
(4)若x表示一个有理数，且x+1+x−4=5，则满足条件的所有整数x的是______．
(5)若x表示一个有理数，当x为______时，式子x+1+x+2+x+3+x+4+x+5有最小值为______．
7．（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=b=a−b，

当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边AB=OB−OA=b−a=b−a=a−b；
②如图3，点A、B都在原点的左边AB=OB−OA=b−a=b−a=a−b；
③如图4，点A、B在原点的两边，AB=OB−OA=b−a=−b−−a=a−b；
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是_______．
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是_______，如果AB=2，那么x为_______．
（3）探索规律：
①当x−1+x−2有最_______（填“大”或“小”）值是_______；
②当x−1+x−2+x−3有最小_______（填“大”或“小”）值是_______；
③当x−1+x−2+x−3+x−4有最_______（填“大”或“小”）值是_______．
（4）规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_______处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．
（5）知识迁移
x+4−x−5有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案．
8．数形结合是初中数学的重要思想方法之一，我们知道∣7−(−1)∣表示7与−1之差的绝对值，也可理解为7与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，又如∣a−6∣的几何意义是数轴上表示实数a的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索：
(1)代数式∣a−3∣+∣a+1∣的最小值为，满足代数式取得最小值的正整数a有个．
(2)若∣a+2∣+∣a−3∣=7，则a= ．
(3)已知整数a，b，c满足(∣a−1∣+∣a+1∣)(∣b−2∣+∣b+3∣)(∣c−2∣+∣c+5∣)=110，则代数式a−2b+c的最大值和最小值分别为多少？
9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示−2和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．
(2)如果x+1=2，那么x=______；
(3)若a−3=4，b+2=3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，则a+3+a−5=_____．
(5)当a=_____时，a−1+a+5+a−4的值最小，最小值是_____．
10．同学们都知道，5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
(1)5−−2=_______；
(2)若x+5+x−2=7．请找出三个符合条件的整数x，则x=_______；
(3)当3≤x≤6时，x−3+x−6有最小值，求出其最小值．
11．数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作a．数轴上表示数a的点到表示数b的点的距离记作a−b，如1−3表示数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离，1+3=1−−3表示数轴上表示数1的点到表示数−3的点的距离，a−2表示数轴上表示数a的点到表示数2的点的距离．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)若x−1=x+1，则x=_________，若x−1=x+3，则x=_________；
(2)若x−2+x+1=3，则x能取到的最小值是_________；最大值是_________；
(3)若x−2−x+1=3，则x能取到的最大值是_________；
(4)关于x的式子x−3+x+2的取值范围是_________．
12．（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB=OB=|b|=|a−b|；
当A、B两点都不在原点时：
①如图乙，点A、B都在原点的右边，AB=OB−OA=|b|−|a|=b−a=|a−b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB=OB−OA=|b|−|a|=−b−(−a)=|a−b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(−b)=|a−b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是______；
②数轴上表示x和−1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x=______；
③当代数式|x+2|+|x−5|取最小值时，相应的x的取值范围是______．
④当代数式|x−1|+|x+2|+|x−5|取最小值时，相应的x的值是______．
⑤当代数式|x−5|−|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是______．
13．材料阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，a−b表示A、B两点之间的距离，如：1−2表示数轴上1与2两点之间的距离，所以数轴上1与2两点之间的距离是1−2=1，式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理x−4也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是___________．
(2)数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________________，如果AB=2，那么x为________________．
(3)同理x−1+x+2=3表示数轴上有理数x所对应的点到1和−2所对应的两点距离之和为3，则所有符合条件的整数x是______________．
(4)若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，x−1+x+3有最小值?如果有，直接写出最小值是多少?
14．【阅读】5−2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；5+2可以看作5−−2，表示5与−2的差的绝对值，也可理解为5与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请回答下列问题：
(1)已知a是最大的负整数，b是最小的正整数．请直接写出：a= ，b= ；并求出在数轴上a和b的距离是；
(2)代数式x+8可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若x+8=5，则x= ．
(3)求代数式x+1013+x+504+x−1009的最小值，并求出此时x的值．
15．阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道5−3可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，5−−2可以表示5与−2之差的绝对值，也可以表示5与−2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1)4−1表示数轴上________与________所对应的两点之间的距离．
(2)x−5表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离；x+2表示数轴上有理数x所对应的点到________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得x+2+x−5=7．这样的整数x有________．
(4)利用绝对值的几何意义，写出x+3+x−2的最小值为________．
(5)利用绝对值的几何意义，写出x−1+x+2+x−3的最小值为________．
16．【定义新知】
我们知道：式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子x+2在数轴上的意义是；
(2)x+1+x−3当取最小值时，x可以取整数；
(3)x+1−x−3最大值为；
(4)x+1+x−2+x−6的最小值为；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
四、典例
17．学习了绝对值我们知道，a=aa>00a=0−aa<0，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式x+1+x−3时，可令x+1=0和x−3=0，分别求得x=−1和x=3，我们就称−1和3分别为x+1|和x−3|的零点值在有理数范围内，零点值x=−1，x=3可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当x<−1时，原式=−x−1+−x−3=2−2x；
②当x=−1时，原式=4；
③当−1④当x=3时，原式=4；
⑤当x>3时，原式=x+1+x−3=2x−2．
综上所述，原式=2−2xx<−14−1≤x≤32x−2x>3，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式x−1−2x+2；
(2)x−1−2x+2的最大值是．（请直接写出结果）