专题4.2 对数函数（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc119527085" 【考点1：对数函数的概念】 PAGEREF _Tc119527085 \h 1
\l "_Tc119527086" 【考点2：对数函数的图象】 PAGEREF _Tc119527086 \h 2
\l "_Tc119527087" 【考点3：对数函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc119527087 \h 8
\l "_Tc119527088" 【考点4：对数函数的单调性与最值】 PAGEREF _Tc119527088 \h 11
\l "_Tc119527089" 【考点5：对数函数的应用】 PAGEREF _Tc119527089 \h 19
【考点1：对数函数的概念】
【知识点：对数函数的概念】
形如y＝lgax（a>0且a≠1）的函数为对数函数.
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lga(2x)B．y=lg10xC．y=lga(x2+x)D．y=lnx
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数y=lgax(a>0且a≠1)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A．y=lg2x B．y=ln(x+1) C．y=lgxe D．y=lgxx
【答案】A
【详解】对数函数y=lgax（a>0且a≠1），其中a为常数，x为自变量．
对于选项A，符合对数函数定义；
对于选项B，真数部分是x+1，不是自变量x，故它不是对数函数；
对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=lg2x+a的图象过点−2,0，则a=（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得f−2=lg2−2+a=0，所以−2+a=1，解得：a=3，
故选：A．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知fx为对数函数，f12=−2，则f2=______．
【答案】1
【分析】根据f12=2，求得对数函数解析式，再将x=2代入计算即可.
【详解】设fx=lgax（a>0，且a≠1），则lga12=−2，∴1a2=12，即a=2，
∴fx=lg2x，
∴f2=lg22=1．
故答案为：1.
5．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数fx=lgax，且f2=12.则a=___________；f12+f23+f34=___________.
【答案】 4 −1
【分析】由f2=12，得到lga2=12，求得a=4，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，函数fx=lgax，因为f2=12，即lga2=12，解得a=4，
所以fx=lg4x，
则f12+f23+f34=lg412+lg423+lg434=lg4(12×23×34)=lg414=−1.
故答案为：4； −1.
【考点2：对数函数的图象】
【知识点：对数函数的图象】
1．对数函数的图象
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=lgax，y=lgbx，y=lgcx，y=lgdx的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>dB．a>b>1>c>dC．b>a>1>d>cD．a>b>1>d>c
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.
【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
故选：C．
2．（2022·福建龙岩·高三期中）函数fx=exlnx的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域以及函数极限，判断即可.
【详解】因为fx的定义域为{x|x>0且x≠1}，故A错误；
又当x→0时，ex→1,lnx→−∞，故fx→0，故C错误；
当x>1且x→1时，ex→e,lnx→0，故fx→+∞，故B错误；
故选：D.
3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=(3a−2)x−4a,x<1lg12x,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,23B．−23,2C．−∞,−23D．0,23
【答案】A
【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为fx=lg12x，x≥1值域为−∞,0，所以fx=3a−2x−4a，x<1的值域应包含0,+∞，所以判断出函数的单调性和f1的正负，从而求出实数a的取值范围
【详解】当x≥1时，fx=lg12x，其值域为−∞,0，
当x<1时，fx=3a−2x−4a的值域应包含0,+∞，所以fx为减函数，
所以3a−2<0，且3a−2×1−4a≤0，解得−2≤a<23.
故选：A
4．（2021·江西省新干中学高一期中）在同一坐标系中，函数y=a−x与y=lgax(a>0,且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.
【详解】当a>1时，y=a−x定义域为R，且在R上单调递减，y=lgax定义域为(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，D符合；当0故选：BD．
5．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数fx=ax与函数gx=−lgbx在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，分01，由指数函数和对数函数的图象判断.
【详解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，
∴当01，则函数fx=ax与函数gx=−lgbx在同一坐标系中的图象是：
，
当a>1时，0故选：AB．
6．（2022·上海市大同中学高一期中）函数y=lgax+1+1a>1必过定点___________.
【答案】(0,1)
【分析】根据对数函数的性质，令x=0即可确定定点.
【详解】由对数的性质知：当x=0时y=lga1+1=1，
所以函数必过定点(0,1).
故答案为：(0,1)
7．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若函数y=f−1x是函数fx=lgax−1（a>0且a≠1）的反函数，则函数y=f−1x−1+3的图象一定经过定点________．
【答案】1,5
【分析】求出函数fx的图象所过定点的坐标，再利用反函数的性质结合图象变换可得函数y=f−1x−1+3的图象所过定点的坐标.
【详解】因为f2=lga1=0，即函数fx的图象过定点2,0，故函数y=f−1x的图象过定点0,2，
而函数y=f−1x−1+3的图象可在函数y=f−1x的图象上先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
故函数y=f−1x−1+3的图象过定点1,5.
故答案为：1,5.
8．（2007·全国·高考真题（文））如图，已知过原点O的直线与函数y=lg8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C，D两点．
(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；
(2)当BC∥x轴时，求A点的坐标．
【答案】(1)证明见解析．
(2)(3,lg83)．
【分析】（1）设A(x1,lg8x1)，B(x2,lg8x2)，则C(x1,lg2x1)，D(x2,lg2x2)，由O,A,B共线得一关系式，利用对数的换底公式变形后可得C,D两点坐标满足的关系，从而得结论；
（2）由B,C两点的纵坐标相等可求得x2=x13，代入（1）中关系式可求得x1得A点坐标．
【详解】（1）设A(x1,lg8x1)，B(x2,lg8x2)，则C(x1,lg2x1)，D(x2,lg2x2)，
O,A,B共线，则lg8x1x1=lg8x2x2，
所以13lg2x1x1=13lg2x2x2，即lg2x1x1=lg2x2x2，
所以O,C,D三点共线；
（2）由（1）得lg8x2=lg2x1，即lg8x2=lg8x13，所以x2=x13．
所以lg8x1x1=lg8x13x13=3lg8x1x13，当x1=1时，x2=1，A,B重合不合题意，因此x1≠1，lg8x1≠0，从而x12=3，x1=3（负值舍去），
所以A点坐标为(3,lg83)．
【考点3：对数函数的定义域与值域】
【知识点：对数函数的定义域与值域】
1．（2022·浙江·高一期中）函数f(x)=ln(−x2+5x−6)的定义域为（ ）
A．(2,3)B．(−∞,2)∪(3,+∞)
C．[2,3]D．(−∞,2]∪[3,+∞)
【答案】A
【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可
【详解】由−x2+5x−6>0，
即x2−5x+6<0，
解得2即函数的定义域为：x∈(2,3).
故选：A.
2．（2022·北京四中高三期中）函数fx=11−lnx的定义域是______.
【答案】(0,e)∪(e,+∞).
【分析】由对数的真数大于零，且分式的分母不为零，从而可求出函数的定义域.
【详解】由题意得x>01−lnx≠0，解得x>0且x≠e，
所以函数的定义域为(0,e)∪(e,+∞)，
故答案为：(0,e)∪(e,+∞).
3．（2022·北京·高三阶段练习（文））函数fx=lg1−x+ 1的值域为______．
【答案】[0,+∞)
【分析】先求出函数的定义域，然后根据二次根式的性质求出1-x+1的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.
【详解】函数fx的定义域为(-∞,1]，
因为1-x≥0
所以1-x+1≥1，
所以lg1-x+1≥lg1=0
所以函数fx值域为[0,+∞)．
故答案为：[0,+∞)
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=lgax2−2x+2的值域为R，则实数a的取值范围为________．
【答案】0,12
【分析】由于函数fx的值域为R，则对数函数的真数要取遍所有正数，对a分类讨论解不等式即可求出a的范围.
【详解】令gx=ax2−2x+2，
∵函数y=lgax2−2x+2的值域为R，
∴x∈R，gx=ax2−2x+2要取遍所有正数.
当a=0时，gx=−2x+2，符合题意，故a=0可取；
当a≠0时，a>0Δ=4−8a≥0解得0综上所述a的取值范围是0,12.
故答案为：0,12．
5．（2021·天津·高一期末）若函数f(x)=(a+2)x-3a,x≤2lg2x,x>2的值域是R，则实数a的取值范围是_________．
【答案】(-2,3]
【分析】结合对数函数、一次函数的知识求得正确答案.
【详解】当x>2时，lg2x>lg22=1，
而fx的值域为R，
所以a+2>0a+2×2-3a≥1,a>-2a≤3，
解得-2所以a的取值范围是(-2,3].
故答案为：(-2,3]
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知fx=lgax+lga(4−x)（a>0且a≠1），且f(2)=2.
(1)求a的值及fx的定义域；
(2)求fx在1,72上的值域.
【答案】(1)a=2，0,4；(2)lg27−2,2
【分析】（1）根据f2=2求出参数a的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；
（2）由（1）可得f(x)=lg2−(x−2)2+4，设tx=−(x−2)2+4，x∈1,72，根据二次函数的性质求出tx的取值范围，从而求出fx的值域.
（1）
解：由f2=2得lga2+lga(4−2)=2，即2lga2=2，所以lga2=1，解得a=2，
所以fx=lg2x+lg2(4−x)，
由x>04−x>0，解得0（2）
解：由（1）及条件知f(x)=lg2x+lg2(4−x)=lg2x(4−x)=lg2−(x−2)2+4，
设tx=−(x−2)2+4，x∈1,72，则当x=2时，txmax=4，
当x=1时，tx=3；当x=72时，tx=74，
所以当x∈1,72时，txmin=74，即tx∈74,4，
所以f(x)max=lg24=2，f(x)min=lg274=lg27−2，
所以fx在1,72的值域为lg27−2,2.
7．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数fx=lg2x2−lg2x−2．
(1)若fx<0，求x的取值范围；
(2)当14≤x≤8时， 求函数fx的值域．
【答案】(1)12,4；(2)−94,4
【分析】（1）设t=lg2x，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；
（2）设t=lg2x，可得t∈−2,3，该函数可转化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
（1）
设t=lg2x，x>0，t∈R，
所以fx=lg2x2−lg2x−2<0，即t2−t−2<0，
解得−1所以−1即x∈12,4；
（2）
由（1）得，当14≤x≤8，t∈−2,3，
所以函数可转化为y=t2−t−2，t∈−2,3，
当t=12时，y取最小值为−94，
当t=−2或t=3时，y取最大值为4，
即当x=2时，fx取最小值为f2=−94，
当x=14或x=8时，fx取最大值为f14=f8=4，
即函数fx的值域为−94,4.
【考点4：对数函数的单调性与最值】
【知识点：对数函数的单调性与最值】
1．（2008·湖南·高考真题（文））下面不等式成立的是（ ）
A．lg32C．lg23【答案】A
【分析】结合对数函数y=lg3x,y=lg2x在(0,+∞)单调递增，以及临界值1，判断即可.
【详解】由题意，对数函数y=lg3x,y=lg2x在(0,+∞)单调递增，
故1=lg22即lg32故选：A
2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）函数fx=lnx2−2x−8的单调递增区间是（ ）
A．−∞,−2B．−∞,−1C．1,+∞D．4,+∞
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.
【详解】由对数的定义可知：x2−2x−8>0⇒x>4或x<−2，
二次函数y=x2−2x−8的对称轴为x=1，所以该二次函数的单调递增区间为(1,+∞)，
所以fx=lnx2−2x−8的单调递增区间是4,+∞，
故选：D
3．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知函数f(x)=ln1+x2−11+|x|，若实数a满足flg3a+flg13a≤2f(1)，则a的取值范围是（ ）
A．[1,3]B．0,13C．(0,3]D．13,3
【答案】D
【分析】先判断函数f(x)为R上的偶函数，且在0,+∞上单调递增，则不等式flg3a+flg13a≤2f(1)可转化为lg3a≤1，由此可得a的取值范围.
【详解】
f(x)=ln1+x2−11+|x|，其中x∈R，∵f(−x)=ln1+x2−11+|x|=f(x)，则fx为偶函数，
当x>0时，f(x)=ln1+x2−11+x，则f(x)在0,+∞上单调递增，
又flg3a+flg13a≤2f(1)，则flg3a+f−lg3a≤2f(1)，
即flg3a≤f(1)，故lg3a≤1，则−1≤lg3a≤1，解得13≤a≤3.
故选：D.
4．（2022·北京市第一六一中学高三期中）关于函数fx=ln21−x−1，下列说法错误的是（ ）
A．定义域为−1,1B．图象关于y轴对称
C．图象关于原点对称D．在0,1内单调递增
【答案】B
【分析】由21−x−1>0即可求出其的定义域；利用f(−x)=−f(x)可判断f(x)为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断f(x)在0,1内的单调性.
【详解】因为f(x)=ln21−x−1=ln1+x1−x,
所以1+x1−x>0⇒x+1x−1<0⇒x+1x−1<0⇒−1所以定义域为−1,1，故A正确；
因为f(−x)=ln1−x1+x=−f(x)，
所以f(x)图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又y=1−x>0在0,1上单调递减，
所以y=21−x−1>0在0,1上单调递增，
又y=lnx在0,+∞上单调递增，
所以y=ln21−x−1在0,1上单调递增，故D正确.
故选：B.
5．（2022·湖北·宜昌英杰学校高二阶段练习）若a=lg45，b=12lg23，c=eln2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（ ）
A．aC．c【答案】AD
【分析】利用对数运算性质得到将a,b化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质得到1【详解】a=lg225=12lg25=lg25，b=12lg23=12lg2123=lg23，
所以根据对数函数y=lg2x的图像与单调性知lg22即1c=eln2=2，所以a故选：AD.
6．（2022·重庆·高三阶段练习）已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax+1x,x≥a,lgax,0【答案】0,14
【分析】根据对数函数的性质可得当a>1时函数无最小值，不符合题意；当0≤a<1时，利用基本不等式求出f(x)=ax+1x在[a,+∞)上的最小值2a，利用对数函数的性质求出y=lgax在(0,a)上的值域为(1,+∞)，列出不等式2a≤1，解之即可.
【详解】当a>1时，y=lgax在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），
故函数f（x）无最小值，不符合题意；
当0≤a<1时，1a>a，fx=ax+1x在a，+∞）上有ax>0，1x>0，
所以f(x)=ax+1x≥2a，当且仅当ax=1x即x=1a时等号成立，
所以f(x)的最小值为f1a=2a，
y=lgax在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），
故函数f（x）有最小值只需2a≤1，即a≤14，所0故答案为：(0,14].
7．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数fx=lgx2+ax−a，给出以下说法：
①若函数fx的最小值为0，则a=−2；
②若函数fx的定义域为R，则−4≤a≤0；
③若函数fx的值域为R，则a≤−4或a≥0；
④若a=2，则函数fx的单调减区间为−∞,−1；
⑤若函数fx在−2,−1上单调递减，则a≤12．
其中正确说法的个数为__________个．
【答案】3
【分析】根据对数型复合函数的最值、定义域、值域、单调性等知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案.
【详解】函数y=x2+ax−a的开口向上，对称轴为x=−a2，
①，若函数fx的最小值为0，则−a22+a×−a2−a=1，解得a=−2，①正确.
②，若函数fx的定义域为R，则Δ=a2+4a<0,−4③，若函数fx的值域为R，则Δ=a2+4a≥0，解得则a≤−4或a≥0，③正确.
④，a=2时，fx=lgx2+2x−2，0∈−∞,−1，02+2×0−2=−2<0，所以④错误.
⑤，若函数fx在−2,−1上单调递减，则−a2≥−1−22+a×−2−a>0−12+a×−1−a≥0，解得a≤12，⑤正确.
故答案为：3
8．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数f(x)=lga(3−x)+lga(x+1)，其中a>0且a≠1．
(1)求fx的定义域及其图象的对称轴方程；
(2)若fx的最大值为2，求a的值．
【答案】(1)定义域为−1,3，对称轴为x=1；
(2)2.
【分析】（1）直接根据真数部分大于零得定义域，通过证明f(2−x)=f(x)得对称轴；
（2）先求出真数部分的范围，进而可通过最值列式计算求a的值.c
【详解】（1）由题意得3−x>0x+1>0，解得−1故fx的定义域为−1,3．
又f(2−x)=lga[3−(2−x)]+lga(2−x+1)=lga(x+1)+lga(3−x)=f(x)，
∴fx图象的对称轴方程为x=1．
（2）由（1）知，f(x)=lga−(x−1)2+4，
当x∈−1,3时，−x2+2x+3∈(0,4]，
∵函数fx的最大值为2，
∴a>1且lga4=2，解得a=2．
9．（2022·广东·深圳中学高一期中）设a>0且a≠1，函数fx=lga1+x+lga3−x的图象过点1,2.
(1)求a的值及fx的定义域；
(2)求fx在0,32上的单调区间和最大值.
【答案】(1)a=2，−1,3
(2)单调增区间为0,1，单调减区间为1,32；最大值为2
【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；
（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.
【详解】（1）∵函数fx=lga1+x+lga3−x的图象过点1,2，
∴lga1+1+lga3−1=2，∴lga4=2，即a2=4，
又a>0且a≠1，∴a=2，
要使fx=lg21+x+lg23−x有意义，
则1+x>03−x>0⇒−1∴fx的定义域为−1,3；
（2）fx=lg21+x3−x，
令t=1+x3−x=−x−12+4
∵0≤x≤32，∴t=−x−12+4的最大值为4，此时x=1，且t在0,1单调递增，单调递减1,32
∴fx在0,32上的单调增区间为0,1，单调减区间为1,32，最大值为2.
10．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1）．
(1)若函数f(x)的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，且点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，求实数a的值；
(2)已知函数g(x)=fx2fx8，x∈12,8．若g(x)的最大值为8，求实数a的值．
【答案】(1)4
(2)12或2
【分析】（1）由题意可知ℎx=ax，然后将点2,16代入可求出a的值，
（2）由（1）得g(x)=lgax2−4lga2⋅lgax+3lga22，令t=lgax，则φt=t2−4tlga2+3lga22，然后分01两种情况结合二次函数的性质求解即可.
（1）
因为函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1）的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，
所以ℎx=ax（a>0，且a≠1），
因为点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，
所以16=a2，解得a=4，或a=−4（舍去），
（2）
gx=lgax2⋅lgax8=lgax−lga2lgax−lga8 =lgax2−4lga2⋅lgax+3lga22．令t=lgax．
①当0二次函数φt=t2−4tlga2+3lga22的对称轴为t=2lga2，
可得最大值为φ−lga2=lga22+4lga22+3lga22=8lga22=8，
解得a=12或a=2（舍去）；
②当a>1时，由12≤x≤8，有−lga2≤lgax≤3lga2，
二次函数φ(t)=t2−4tlga2+3lga22的对称轴为t=2lga2，
可得最大值为φ−lga2=lga22+4lga22+3lga22=8lga22=8，解得a=2或a=12（舍去），
综上，实数a的值为12或2．
11．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知a∈R，函数f(x)=lg2(x2+x+a)
(1)若函数f(x)过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；
(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【答案】(1)f(x)=lg2(x2+x)
(2)a≥94
【分析】（1）将点(1,1)代入f(x)=lg2(x2+x+a)可求出a，进而得到解析式；
（2）由复合函数的单调性知f(x)=lg2(x2+x+a)在区间[t,t+1]上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式−t2+t+2≤a对任意t∈[12,1]恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.
（1）
解：因为函数f(x)过点(1,1)，
即f(1)=lg2(2+a)=1，
解得a=0，
故f(x)=lg2(x2+x)；
（2）
因为f(x)=lg2(x2+x+a)是复合函数，设u(x)=x2+x+a，f(x)=lg2u(x)，
∵t∈[12,1]，∴u(x)=x2+x+a在区间[t,t+1]单调递增，f(x)=lg2u(x)单调递增，
故函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增，∴f(x)min=f(t)=lg2(t2+t+a),f(x)max=f(t+1)=lg2(t2+3t+2+a)，
由题意f(t+1)−f(t)≤1对任意t∈[12,1]恒成立，
即lg2(t2+3t+2+a)−lg2(t2+t+a)≤1对任意t∈[12,1]恒成立，
即t2+3t+2+a≤2t2+2t+2a对任意t∈[12,1]恒成立，
即−t2+t+2≤a对任意t∈[12,1]恒成立，
设g(t)=−t2+t+2，t∈[12,1]，只需g(t)max≤a即可，
因为g(t)=−t2+t+2的对称轴为t=12，图像是开口向下的抛物线，
故g(t)=−t2+t+2在t∈[12,1]单调递减，
故g(t)max=g(12)=94，
故a≥94.
12．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）已知函数f(x)=lg3x
(1)设函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式；
(2)已知集合A=x3lg3x2-20lg9x+3≤0
①求集合A；
②当x∈A时，函数ℎ(x)=fx3a⋅fx9的最小值为-2，求实数a的值．
【答案】(1)gx=lg3x,x>00,x=0-lg3-x,x<0
(2)①A=[33,27]；②a的值为2-22或5
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解3lg3x-1lg3x-3≤0得13≤lg3x≤3，再解对数不等式即可得答案；
②由题知ℎx=lg3x2-(a+2)lg3x+2a，进而结合①还原，转化为求mt=t-a+222-(a-2)24，t∈13,3的最小值问题，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，当x>0时，g(x)=lg3x，
当x<0时，-x>0，则g(-x)=lg3(-x)，
因为函数g(x)是定义在R上的奇函数，
所以，g0=0，g(x)=-g(-x)=-lg3(-x)
所以，gx=lg3x,x>00,x=0-lg3-x,x<0
（2）解：①3lg3x2-20lg9x+3≤0，即3lg3x2-10lg9x+3≤0
所以，3lg3x-1lg3x-3≤0
所以，13≤lg3x≤3，解得33≤x≤27
所以，A=33,27
②ℎ(x)=lg3x3a⋅lg3x9=lg3x-a⋅lg3x-2=lg3x2-(a+2)lg3x+2a
由①可得t=lg3x∈13,3
所以，函数ℎ(x)等价转化为mt=t-a+222-(a-2)24，t∈13,3，
下面分三种情况讨论求解：
当a+22≤13，即a≤-43，φ(t)在13,3上是增函数，所以，ℎ(x)min=φ(t)min=φ13=53a-59=-2，解得a=-1315，与a≤-43矛盾，舍；
当a+22≥3，即a≥4时，φ(t)在13,3上是减函数，所以ℎ(x)min=φ(t)min=φ(3)=3-a=-2，解得a=5，满足题意；
当13综上：a的值为2-22或5
【考点5：对数函数的应用】
【知识点：对数函数的应用】
1．（2022·广西北海·一模（理））大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v=klnQ100k>0．当v=0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当v=1.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．12800B．24800C．25600D．51200
【答案】D
【分析】根据题意得k=16ln2，再结合对数运算解方程1.5=16ln2lnQ100即可.
【详解】解：因为v=0.5m/s时，Q=800，
所以0.5=kln800100=3kln2，解得k=16ln2，
所以，v=1.5m/s时，1.5=16ln2lnQ100，即lnQ100=9ln2=ln29，
所以Q100=29，解得Q=51200．
故选：D．
2．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y（单位dB），定义y=10lgII0，其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米）I0=10−12 W/m2为基准值．如果飞机起飞时的声音是120dB，两人轻声交谈的声音是40dB，那么前者的声强度是后者的声强度的（ ）倍？
A．107B．108C．109D．1010
【答案】B
【分析】利用代入法，结合指数式与对数式的互化公式进行求解即可.
【详解】设声音是120dB的声强度为I1，则120=10lgI1I0，即I1=I0⋅1012，
声音是40dB的声强度为I2，则40=10lgI2I0，即I2=I0⋅104，
∴I1I2=1012104=108，∴前者的声强度是后者的声强度的108倍．
故选B.
3．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24（单位：dB），取lg5≈0.7，则r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为（ ）
A．14dBB．18dBC．21dBD．28dB
【答案】A
【分析】根据所给公式及对数的运算求解.
【详解】解：因为衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24，
所以r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为：10lgπ×4024−10lgπ×824
=10lg25=20lg5
≈20×0.7=14 dB；
故选：A
4．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（ ）
A．闻阈的声强级为0dB
B．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2）
C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍
【答案】C
【分析】根据题设可得Li=10lg(1012I)=120+10lgI，令I=10−12 ωm2求声强级判断A；将Li=70、Li=80代入求声强范围判断B；对I1,2I1对应声强级作商、Li,Li+10对应声强作商判断C、D.
【详解】由题意10lg1I0=120，则I0=10−12 ωm2，故Li=10lg(1012I)=120+10lgI，
当I=10−12 ωm2时，Li=0dB，A正确；
若Li=70 dB，即10lgI=−50，则I=10−5 ωm2；若Li=80 dB，即10lgI=−40，则I=10−4 ωm2，故歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2），B正确；
将I1,2I1对应的声强级作商为10lg(2×1012I1)10lg(1012I1)≠2，C错误；
将Li,Li+10对应声强作商为10Li+10−1201010Li−12010=10，D正确.
故选：C
5．（2022·江苏常州·高一期中）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li=10×lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为70,80（单位：dB）．下列选项中正确的是（ ）
A．闻阈的声强为10－12 ω/m2
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围10−5,10−4（单位：dB）
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB
【答案】ACD
【分析】依题意求出I0，即可判断A；将Li=70、Li=80代入求声强范围判断C；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，依题意得到方程，解得k，即可判断B、D.
【详解】解：由题意10lg1I0=120，即lg1I0=12，所以1I0=1012，所以I0=10−12 ωm2，故Li=10lg(1012I)=120+10lgI，故A正确；
若Li=70 dB，即10lgI=−50，则I=10−5 ωm2；
若Li=80 dB，即10lgI=−40，则I=10−4 ωm2，故歌唱家唱歌时的声强范围10−5,10−4（单位：ω/m2），C正确；
设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，
则120+10lgkI−120+10lgI=10，解得k=10，
即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB，故D正确，B错误；
故选：ACD
6．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+bk>0；②y=k⋅1.2x+bk>0；③y=klg2x15+2+nk>0.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)选y=klg2x15+2+n，理由见解析
(2)答案见解析
(3)55分钟
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将0,0，30,3代入求解系数即可.
（3）将x=4.5代入解析式即可.
（1）
第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当k>0时，匀速增长；
对于模型二，当k>0时，先慢后快增长；
对于模型三，当k>0时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y=klg2x15+2+n.
（2）
第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将0,0，30,3代入解析式得到k+n=0klg24+n=3，即k+n=02k+n=3，
解得k=3，n=-3，即y=3lg2x15+2-3.
第四步：完善模型是否合适
当x=90时，y=3lg26+2-3=6，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为y=3lg2x15+2-3,0≤x≤906,x>90.
（3）
由y=3lg2x15+2-3≥4.5，lg2x15+2≥2.5=lg2252，
得x15+2≥252=42≈5.656，得x≥54.84，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
7．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v=v0⋅lnMm，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：ms），其中v0（单位：ms）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为800m/s，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________ms；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．
（所有结果保留整数，参考数据：ln2≈0.693,ln5≈1.609,e≈2.718）
【答案】 3129 68
【分析】（1）根据总质比为50，代入v=v0⋅lnMm求解；
（2）易知经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600m/s，总质比为M5m，然后由1600⋅lnM5m−800⋅lnMm≥800求解.
【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：
v=800⋅ln50=800⋅2ln5+ln2≈800⋅2×1.609+0.693=3128.8≈3129 ms；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600m/s，总质比为M5m，
要使火箭的最大速度至少增加800m/s，
则1600⋅lnM5m−800⋅lnMm≥800，
即 2⋅lnM5m−lnMm≥1，
即 lnM5m2−lnMm≥1，
即 lnM25m≥1，
所以Mm≥25e≈67.95≈68，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
故答案为:3129；68.函数
y＝lgax，a>1
y＝lgax,0图象
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
函数
y＝lgax(a>0，且a≠1)
a>1
0性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
函数
y＝lgax(a>0，且a≠1)
a>1
0性质
单调性
在(0，＋∞)上是
增函数
在(0，＋∞)上是
减函数
函数值变
化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00