专题07 对数与对数函数（考点清单）-2024-2025学年高一数学上学期期末重难点突破（人教A版2019）

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\l "_Tc23550" 二、知识回归 PAGEREF _Tc23550 \h 3
\l "_Tc3225" 三、典型例题讲与练 PAGEREF _Tc3225 \h 5
\l "_Tc18329" 考点清单01：对数 PAGEREF _Tc18329 \h 5
\l "_Tc6675" 【期末热考题型1】对数运算 PAGEREF _Tc6675 \h 5
\l "_Tc6756" 考点清单02：指数式与对数式的相互转化 PAGEREF _Tc6756 \h 6
\l "_Tc27555" 【期末热考题型1】指数式与对数式的相互转化 PAGEREF _Tc27555 \h 6
\l "_Tc5378" 考点清单03：换底公式 PAGEREF _Tc5378 \h 7
\l "_Tc18048" 【期末热考题型1】利用换底公式化简求值 PAGEREF _Tc18048 \h 7
\l "_Tc23141" 考点清单04：有附加条件的对数求值问题 PAGEREF _Tc23141 \h 8
\l "_Tc20998" 【期末热考题型1】有附加条件的对数求值问题 PAGEREF _Tc20998 \h 8
\l "_Tc3047" 考点清单05：对数函数的概念 PAGEREF _Tc3047 \h 9
\l "_Tc3048" 【期末热考题型1】对数函数的概念 PAGEREF _Tc3048 \h 9
\l "_Tc4898" 【期末热考题型2】与对数函数有关的定义域问题 PAGEREF _Tc4898 \h 10
\l "_Tc30509" 考点清单06：对数函数的图象 PAGEREF _Tc30509 \h 11
\l "_Tc28562" 【期末热考题型1】对数函数过定点问题 PAGEREF _Tc28562 \h 11
\l "_Tc9154" 【期末热考题型2】对数函数的图象 PAGEREF _Tc9154 \h 12
\l "_Tc20041" 考点清单07：对数函数的值域 PAGEREF _Tc20041 \h 15
\l "_Tc23523" 【期末热考题型1】对数型复合函数值域 PAGEREF _Tc23523 \h 15
\l "_Tc9273" 【期末热考题型2】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型） PAGEREF _Tc9273 \h 16
考点清单 \l "_Tc28088" 08：对数函数的单调性 PAGEREF _Tc28088 \h 17
\l "_Tc2021" 【期末热考题型1】对数型复合函数的单调性问题 PAGEREF _Tc2021 \h 17
\l "_Tc31437" 【期末热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc31437 \h 18
\l "_Tc11637" 【期末热考题型3】利用对数函数单调性比大小 PAGEREF _Tc11637 \h 20
\l "_Tc17488" 【期末热考题型4】利用对数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc17488 \h 21
\l "_Tc16507" 考点清单09：对数函数的综合问题 PAGEREF _Tc16507 \h 25
\l "_Tc25144" 【期末热考题型1】对数函数综合问题 PAGEREF _Tc25144 \h 25
一、思维导图
二、知识回归
知识点01：对数概念
1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
知识点02：指数式与对数式的相互转化
当且，
知识点03：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的且,都有，，；
③对数恒等式: （且）
知识点04：对数的运算性质
当且，,
①
②
③（）
④（）
⑤（）
知识点05：对数的换底公式
换底公式：（且，，，且）
特别的：
知识点06：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数.
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
知识点07：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
三、典型例题讲与练
01：对数
【期末热考题型1】对数运算
【解题方法】运算公式
【典例1】（2023上·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）计算：
(1)：
(2)．
【答案】(1)4
(2)3
【详解】（1）原式；
（2）原式．
【典例2】（2023上·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）计算：
(1)，
(2).
【答案】(1)11
(2)2
【详解】（1）原式.
（2）原式 .
【专训1-1】（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)100
(2)12
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
02：指数式与对数式的相互转化
【期末热考题型1】指数式与对数式的相互转化
【解题方法】指数式与对数式相互转化公式
【典例1】（2023上·江苏南京·高一校联考期中）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得：，得：，
所以：.故A项正确.
故选：A.
【典例2】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）已知，则 ．
【答案】/
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
03：换底公式
【期末热考题型1】利用换底公式化简求值
【解题方法】换底公式
【典例1】（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期中）已知，则可用a，b表示为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【典例2】（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）计算：= .
【答案】
【详解】
，
故答案为：
【专训1-1】（2023·全国·高一随堂练习）分别计算下列各式，你能得出什么结论？
(1)；
(2)；
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）；
（2）；
04：有附加条件的对数求值问题
【期末热考题型1】有附加条件的对数求值问题
【解题方法】
【典例1】（2023上·吉林长春·高一长春市第二中学校考期中）设，且，则（ ）
A．B．10C．100D．1000
【答案】C
【详解】根据题意由可得，
所以，
即可得，即.
故选：C
【典例2】（2023上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【详解】由得：，，，，
.
故答案为：
【专训1-1】（2023上·辽宁·高三大连二十四中校联考开学考试）设，若，则（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【详解】由，知，且，，，
所以，．
故选：C．
【专训1-2】（2023上·高一课时练习）已知，，用，表示．
【答案】
【详解】解析：因为，所以，
即
．
05：对数函数的概念
【期末热考题型1】对数函数的概念
【解题方法】对数函数定义
【典例1】（2023上·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．且
【答案】C
【详解】∵函数是对数函数，
∴，且，
解得或，∴，
故选：C．
【典例2】（多选）（2023上·高一课时练习）函数中，实数的取值可能是（ ）
A．B．3
C．4D．5
【答案】AC
【详解】因为，
所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，
故选：AC.
【专训1-1】（2023上·高一课时练习）已知函数是对数函数，则 ．
【答案】1
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
【期末热考题型2】与对数函数有关的定义域问题
【解题方法】对数函数的定义
【典例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】由题知，，
，解得
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【典例2】（2023下·高一课时练习）若函数定义域为R，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】由题意可得，要使的定义域为R，则对任意的实数x都有恒成立，
故有，解得，
即实数a的取值范围为.
【专训1-1】（2023上·陕西西安·高三校考阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【详解】因为的定义域为，
要使函数有意义，则，
即，解得，
所以定义域为.
故答案为：
06：对数函数的图象
【期末热考题型1】对数函数过定点问题
【解题方法】
【典例1】（2023上·河南郑州·高三校考阶段练习）已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以函数图象过的定点为，
将其代入直线方程得，即，
又，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.
故选：C.
【典例2】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
【专训1-1】（2023下·上海·高一上海市敬业中学校考期中）已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 ．
【答案】9
【详解】函数中，当，即时，恒有，因此点，
而点A在一次函数的图象上，则，又，，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
【期末热考题型2】对数函数的图象
【解题方法】对数函数的图象
【典例1】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
【典例2】（2023上·安徽蚌埠·高一统考期末）已知函数，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，，，
得，，，
则为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，

由图可知，，
故选：A．
【专训1-1】（2023·山东济南·高一开学考试）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；
由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，
由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，
故选：A
07：对数函数的值域
【期末热考题型1】对数型复合函数值域
【解题方法】换元法
【典例1】（2023上·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知函数，则的值域是 .
【答案】
【详解】
,
单调递增，，
则的值域是。
故答案为：
【典例2】（2023上·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）若函数的值域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】依题意，函数的值域为R，
所以，解得.
故答案为：
【专训1-1】（2023上·山东泰安·高三宁阳县第四中学校考阶段练习）已知．
(1)若，求的值域；
【答案】(1)
【详解】（1）若，则，
因为，当且仅当时，等号成立，
可知的定义域为，
且在定义域内单调递减，可得，
所以的值域为.
【期末热考题型2】对数型复合函数值域（可化为一元二次函数型）
【解题方法】换元法
【典例1】（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
设，则，
故函数的值域为.
故选：C
【典例2】（2023上·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数.
(1)求函数的值域；
【答案】(1)
【详解】（1）因为定义域为，
则
设，则，
所以值域为.
【专训1-1】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【详解】由于，
由，得，解得，
即函数的定义域为,．
，
又，
，
，
故函数的值域为，
故答案为：
08：对数函数的单调性
【期末热考题型1】对数型复合函数的单调性问题
【解题方法】复合函数求单调性法则
【典例1】（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）函数的单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，解得，
设，即求函数在中的减区间，即．
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
【专训1-1】（2023上·山西朔州·高一统考期末）函数的减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，解得或，则的定义域为，
令在上单调递减，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
在上单调递增，所以在上单调递减，
故选：A.
【专训1-2】（2023上·高一课时练习）求函数的单调区间．
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.
【详解】函数中，，于是该函数的定义域为R，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【期末热考题型2】根据对数型复合函数的单调性求参数
【解题方法】复合函数求单调性法则
【典例1】（2023上·四川绵阳·高三三台中学校考阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】因为函数在上单调递增，
所以时恒成立且在上单调递增，
所以，
则是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
【典例2】（2023上·上海松江·高三校考阶段练习）若函数在区间上为严格减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由复合函数单调性可得，
函数在区间上为严格减函数，且，
则，解之得.
故答案为：
【专训1-1】（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在单调递减上单调递减，
根据复合函数的单调性可得在区间上单调递增，
当时，在单调递增，需满足，
当满足题意，
当时，在单调递增，则在区间上单调递增
又需满足真数，则最小值，即，
综上．
故选：C．
【专训1-2】（2023上·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为函数在区间上单调递增，为增函数，
所以函数在区间上有意义，且在上单调递增，
所以，则或，解得，
所以的取值范围为.
故选：D
【期末热考题型3】利用对数函数单调性比大小
【解题方法】单调性
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）比较下列各题中两个值的大小：
(1)； (2)；
(3)； (4)与.
【答案】(1) (2)；
(3)答案见解析 (4)
【详解】（1）函数在上是增函数.
又.
（2）函数在上是减函数.
又.
（3）当时，函数在上是增函数.
.
当时，函数在上是减函数.
.
（4），，
.
【专训1-1】（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，（，）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)当时，；当时，；
【详解】（1）由对数函数性质可知，函数在上单调递增，
又，所以可得；
（2）由对数函数性质可知，函数在上单调递减，
又，所以可得；
（3）由对数函数性质可知，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
又，所以可得，，即可得；
所以；
（4）易知当时，对数函数在上单调递减，
又，所以可得；
当时，对数函数在上单调递增，
又，所以可得；
综上可得当时，；当时，
【期末热考题型4】利用对数函数单调性解不等式
【解题方法】单调性
【典例1】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由题可知函数的定义域为，
∵，
∴是偶函数，
∴由可得，即.
当时，，∵和在上都是单调递增的，
∴在上单调递增，又因是偶函数，
∴在上单调递减.
又∵，由函数的定义域知有，
∴由可得，解得：；
由可得，解得：.
综上，不等式的解集为.
故选：D.
【典例2】（2023上·高一课时练习）不等式的解集是 .
【答案】
【详解】易知，
由可得；
又函数在为单调递减，
所以可得，解得.
故答案为：
【典例3】（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）函数是定义在上的偶函数，，当时，．
(1)函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）当时，，则，
所以当时，，
所以的解析式为.
（2）因为函数是定义在R上的偶函数，所以，因为．
所以可将等价于，
因为时，．
此函数在上是单调递增，
所以，或，
即或，解得或，
综上所述，不等式的解集为或.
【专训1-1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 .
【答案】或.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，
所以在上递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以由，得，
所以，
所以或，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
【专训1-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数．
(1)求函数的定义域，并证明是定义域上的奇函数；
(2)用定义证明在定义域上是增函数；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)定义域为，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由得，所以函数的定义域为．
又因为，
所以是定义域上的奇函数．
（2）证明：设任意，
则，
因为，所以，，
于是，，
则，所以．
所以，即，故函数是上的增函数．
（3）因为在上是增函数且为奇函数，
所以不等式可转化为，
则，解得，
所以不等式的解集为.
09：对数函数的综合问题
【期末热考题型1】对数函数综合问题
【解题方法】对数函数的图象与性质
【典例1】（2023上·江苏无锡·高三统考期中）设函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，不等式即，所以，
解得或，所以不等式的解集为.
（2）由复合函数的单调性知在上单调递减，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
而，
令，因为，所以，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递增，
所以，所以.
【典例2】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【专训1-1】（2023上·山东青岛·高一山东省青岛第十七中学校考期中）已知函数（且）的图象过点.
(1)求的值及的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1),
(2)奇函数
【详解】（1）已知函数（且）的图象过点，
∴，即.
又，即,
解得.
∴的定义域为.
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知：，
的定义域为，定义域关于原点对称，
又，即，
∴为奇函数.
【专训1-2】（2023上·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数
(1)当时，解关于x的方程
(2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；
(3)在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，
即，整理得，
即，得或（舍去）
；
（2）因为函数是定义在R上的奇函数，
则且，
，解得，
即，
证明：，
故是定义在R上的奇函数，
（3）在(2)的前提下，
整理得，
代入得，
即恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
即实数的最大值为.
底数
图象
性质
定义域
值域
单调性
增函数
减函数