2023-2024学年湖北省武汉市卓刀泉中学九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市卓刀泉中学九年级上册月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出B．水涨船高C．水滴石穿D．水中捞月
2．下列是一组lg设计的图案（不考虑颜色），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
4．已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不能确定
5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
7．如图，等边△OAB的边OB在轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针转90，则旋转后点A的对应点的坐标是（ ）
A．（-1，）B．（，-1）C．（）D．（-2，1）
8．如图所示，以AD为直径的半圆O经过的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，点B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
9．已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )
A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6
10．如图，是的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．把抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线的表达式是
13．星期一下午共有3节课，分别为数学、语文、外语，如果随机排课，那么第一节上数学课，第三节上语文课的概率为 ．
14．如图，是的外接圆，，则弦的长为 ．
15．二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有 ．（只填写序号）
16．如图，等边三角形的边长为，点、分别是边、的动点，且，连接、交于点，为的中点，连接，则线段长的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
18．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若,，求的长．
19．在一个不透明的盒子中，放入 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求 出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
20．在中，已知为直径，点是弧上一点，弦，且弦，连交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中画的中点D；
(2)在图（1）中的⊙O上画一点E，连接BE，使∠ABE＝45°；
(3)如图（2），延长BA至格点F处，连接CF．
①直接写出∠F的度数；
②P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90°得到QB，画出线段QB．
22．某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式和顶点坐标；
②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由．
(2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围．
23．在等腰中，．
问题背景如图1，，点在上，且，连接交于，请你完成作图，并直接写出的度数．
迁移应用如图2，，点在内，满足，延长至使得，作，请你完成作图，并探究线段之间的数量关系．
联系拓展如图3，，若点满足，直接写出点到直线的距离．
24．抛物线与轴交于、（在的左边），轴交于，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且在直线下方的，若以为圆心的作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
（3）如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接，点是的中点，若的纵坐标分别是．求的数量关系．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
2．D
【分析】据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．D
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可．
【详解】解：
；
故选D．
4．A
【分析】根据点与圆的位置关系“当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内”，由此可求解．
【详解】解：由题意得：3＜4，
∴点P在圆内；
故选A．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
5．C
【分析】列出第二个月和第三个月的人次后相加即可．
【详解】解：第二个月：，第三个月：，则三个月累计人次为：，列方程为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次函数的应用，注意求的是三个月的累计．
6．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.
【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，
∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，
解得b=4.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），
韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.
7．C
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵AE⊥OB，
∴OE=EB=1，
∴AE=，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，
∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠A′OH=∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H=OE=1，OH=AE=，
∴A′（-，1），
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】连接BD、BE、BO、EO，由三等分点定义求出∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，根据的长为，求出R=2，分别求出AB、BC，勾股定理求出AC，得到△ABC的面积，由△BOE和△ABE同底等高，得到图中阴影部分的面积为，代入数值计算可得．
【详解】解：连接BD、BE、BO、EO，
∵点B、E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠EAB=∠BAD=∠EBA=30°，
∴，
∵的长为，
∴，
解得R=2，
∴，
∴，
∴=3，
∴，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为，
故选：C ．
【点睛】此题考查了圆的三等分点的定义，弧长公式，扇形面积公式，直角三角形30度角的性质，勾股定理，根据余弦定理求边长，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
9．B
【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：
当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；
当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
10．B
【分析】连接，设与交于点G，由于，且D是中点，易得是的中位线，即；易知是边三角形，可过C作的垂线，交于M，交于N；然后证，利用勾股定理求出，易得，再利用勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】如图，连接，设与交于点G，过C作的垂线，交于M，交于N；
，
．
根据圆和等边三角形的性质知：必过点O．
∵D是的中点，
是的中位线，
；
是等边三角形，，
；
，由垂径定理得：，
．
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得的数量关系是解答此题的关键．
11．
【分析】根据平面直角坐标系内的点关于原点对称的规律即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
12．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得的抛物线的表达式是y=（x+3）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+3）2向下平移2个单位所得的抛物线的表达式是y=（x+3）2-2．
故答案为y=（x+3）2-2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移规律“左加右减，上加下减”．
13．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有6种情况，
第一节上数学课，第三节上语文课有1种情况，
∴第一节上数学课，第三节上语文课的概率为．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，含30度的直角三角形性质．连接交于D，利用圆周角定理得到，再证明，则根据垂径定理得到，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出，从而得到的长．
【详解】解：如图，连接交于D，
，
∴，
，
∴，
，
在中，，
∴，
．
故答案为：．
15．②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线的开口向下即可得出，再根据抛物线的对称轴在和之间即可得出，②正确；②由可得出，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出，由此即可得出，①错误；③将代入抛物线解析式中，整理后可得出，③正确；④根据抛物线的对称轴可得出，再由当时y＞0即可得出，进而即可得出，④正确．综上即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴，
∴，即，②成立；
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，
∴，①错误；
∵，
∴，
∴，
整理得：，③成立；
∵抛物线的对称轴，
∴，
∵当时，，
∴，即，④正确．
综上可知正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
16．##
【分析】证明，可得，根据，，，即可推出，推出点F的运动轨迹是弧，推出，作的外接圆O，分析得出当O，F，G三点共线时，最小，连接，过点O作，垂足为H，利用垂径定理求出半径，根据角度说明是直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：在等边三角形中，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点F的运动轨迹是弧，
∴，
作的外接圆O，
当O，F，G三点共线时，最小，连接，
过点O作，垂足为H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点G是中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点F的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．，
【分析】方法1：根据一元二次方程的解的定义把代入原方程中求出b的值，再解原方程求出另一个根即可；
方法2：利用根与系数的关系求出方程另一个根，进而求出b的值即可．
【详解】解：方法1：把代入方程得：，
解得，
∴原方程为，
解得：，．
∴的值为，方程的另一个根为．
方法2：设方程的一个根为，另一个根为，
由根与系数的关系，得：，，
即，，
解得．
∴的值为，方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
19．（1）见解析，；（2）
【分析】（1）根据题意，画树状图，可得共有16种等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4种，再由概率公式即可求解；
（2）根据题意，画树状图，可得共有12种等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2种，再由概率公式即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4种，
所以两次都摸到红球的概率为 ；
（2）根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2种，
所以“一次同时摸出两个红球”的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，根据题意，准确画出树状图，得到等可能的结果是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，．证出，即，即可得出结论；
（2）连接，证出为的直径．由垂径定理得出，得出．求出，由勾股定理得出．设，则．在和中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）连接，如图2所示：
∵，
∴
∴为的直径．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
由（1）知．设，则．
在和中，由勾股定理，得：，
即，
解得：，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)①∠F＝45°；②见解析
【分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，点即为所求；
（2）作出的中点，连接即可；
（3）①利用等腰直角三角形的性质判断即可；
②取格点，连接，延长交于点，作直径，连接，延长交 点，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）解：如图1中，点即为所求；
（3）解：①是等腰直角三角形，
；
②如图2中，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为；②弹珠能弹出箱子，理由见解析
(2)
【分析】（1）①把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解．
（2）由抛物线经过点，得到，则抛物线解析式为，求出，；当时，，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：①把点，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
②弹珠能弹出箱子，理由如下：
∵，
∴，
∴；
当时，
解得：，
∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为，
根据题意可设抛物线M的解析式为，
把点代入，得：，
解得：或，
∵抛物线M的对称轴在直线的左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为，
∵当时，，
∴弹珠能弹出箱子．
（2）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
∵，
∴，
∴，，
在中，当时，则，
∴，
解得或，
∵要使弹珠能投入箱子，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴；
当，即时，满足，
当，即时，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当时，弹珠能投入箱子．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
23．问题背景:图见解析，；迁移应用:图见解析，；联系拓展：1或7
【分析】问题背景：先证明是等边三角形，再根据证明,得从而得出；
迁移应用：由题意知，可证明是等边三角形，从而得出，进而得出；
联系拓展：分两种情况讨论：①点D在上方时，过点A作于点H，连接，过A作垂直于，交于点P，可得，得，根据，即可得点A到的距离；②点D在下方时，过点A作于点H，连接，同理可得，进而可得点A到的距离．
【详解】问题背景：如图1，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵
∴
∵是的外角，
∴；
迁移应用：如图，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形，
∵
∴
∴，
又
∴
∴
∴；
联系拓展：分两种情况讨论：
①点D在上方时，
如图，过点A作于点H，连接，过A作垂直于，交于点P，
∵
∴
∴是直角三角形，且
∵
∴在同一圆上，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②点D在下方时，
如图，过点A作于点H，作，交的延长线于点P，
同理可证，
∴
∴．
∵，
∴．
综上所述：点A到的距离为：1或7．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对直角等于斜边一半，圆周角定理，勾股定理及逆定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
24．（1）；（2），；（3）
【分析】（1）根据A(-1，0)知OA=1，由OB= OC=4OA可求得B(4，0)，C(0，-4)，利用选定系数法即可求解；
（2）作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求得直线AM的解析式，联立求得，同理求得，，再利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】（1）∵A(-1，0)，∴OA=1，
∵OB= OC=4OA=4，
∴B(4，0)，C(0，-4)，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）作PH∥轴交DE于点H，设与DE相切于Q，则，如图：
∵直线DE的解析式为，
∴∠EOB=，
∴∠FHQ=，
∴△FHQ是等腰直角三角形，
当FH的长取得最大值时，⊙F的半径最大，
设F(，)，则H(，)，
∴FH=
，
∵，
∴当时，FH取得最大值，
此时F(，)，
⊙F的最大半径：；
（3）∵若G的纵坐标分别是t，
∴G (，)，
设直线AM的解析式为，
把A(-1，0)代入得：，
∴，
∴直线AM的解析式为，
联立直线AM与抛物线得得，
∴，即，
∵直线AM与直线AN关于轴对称，则直线AN与轴的交点I的坐标为(，)，
同理可求得直线AN的解析式为，，
又，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法求抛物线解析式、切线的性质、一元二次方程根与系数的关系等，综合性较强，难度不小．