2022-2023学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．反比例函数的图象所在象限为（ ）
A．一B．二C．一、三D．二、四
2．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段B．等边三角形
C．平行四边形D．矩形
3．计算的值（ ）
A．0B．C．1D．
4．二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（ ）
A．17B．18C．25D．65
6．下列事件，是随机事件的是（ ）
A．任意是画一个三角形其内角和是360°
B．打开电视新闻频道正在播报体育新闻
C．3人分成两组一定有2人分在一组
D．掷一次骰子，向上一面点数大于0
7．设方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．﹣3B．2C．﹣2D．3
8．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
9．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
10．一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6B．10C．15D．25
11．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．4
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4，②3a+2b＜0，③b2﹣4ac＞0，④b＞c＞a．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把正确答案填在横线上）
15．点A（﹣3，﹣2）关于原点的对称点B的坐标是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，若BC＝4，，则AE＝ ．
17．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
18．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0．
（1）当m＝5，n＝﹣6时，求方程的解；
（2）若方程有两个相等的实数根，则m与n应满足的关系式为 ．
20．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
21．（8分）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
23．（8分）艺术节上，甲、乙两名同学计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月夜》与《云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月夜》，否则演奏《云之南》．
（1）用列表法或画树状图的方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
24．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝ °，∠ADC＝ °；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．
25．（12分）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
河北省唐山市古冶区2022-2023学年九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．反比例函数的图象所在象限为（ ）
A．一B．二C．一、三D．二、四
【分析】先根据反比例函数定义，确定k＝5，再利用反比例函数的性质求解．
解：∵是反比例函数，
∴k＝5，
∴k＝5＞0，
∴它的图象所在象限为一、三，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数，对于反比例函数，若k＞0，反比例函数在一、三象限；若k＜0，反比例函数在二、四象限内．
2．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段B．等边三角形
C．平行四边形D．矩形
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
解：A、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确．
D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．计算的值（ ）
A．0B．C．1D．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解：，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．
4．二次函数y＝（x+1）2与x轴交点坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）
【分析】二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，解方程即可．
解：二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根，
解方程（x+1）2＝0，
得：x1＝x2＝﹣1，
∴二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点坐标为（﹣1，0）；
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、方程的解法；明确二次函数y＝（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2＝0的根是解题关键．
5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为5、12、13，△DEF的最短边长为25，则△DEF的最长边长为（ ）
A．17B．18C．25D．65
【分析】根据相似三角形的性质即可解答．
解：∵△ABC的最短边是5，最长边是13；△DEF的最短边是25，
∵△ABC∽△DEF，
∴相似比是5，
∴△DEF的最长边是13×5＝65．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应表成比例是解答本题的关键．
6．下列事件，是随机事件的是（ ）
A．任意是画一个三角形其内角和是360°
B．打开电视新闻频道正在播报体育新闻
C．3人分成两组一定有2人分在一组
D．掷一次骰子，向上一面点数大于0
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、任意是画一个三角形其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意；
B、打开电视新闻频道正在播报体育新闻，是随机事件，符合题意；
C、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；
D、掷一次骰子，向上一面点数大于0，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．设方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2＝（ ）
A．﹣3B．2C．﹣2D．3
【分析】根据根与系数的关系求解即可得到答案．
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是知道，．
8．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）
（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．
解：∵AB＝AC，BC＝44cm，
∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
∵∠ABC＝27°，
∴tan∠ABC＝≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题关键．
9．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，
故选：A．
【点评】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，周长比等于相似比是解题的关键．
10．一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6B．10C．15D．25
【分析】先计算出黄球频率，再频率的值接近于概率，再根据黄球的概率求解即可．
解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为x﹣10，
∵黄球的概率近似为＝，
∴，
解得x＝25，
经检验：x＝25是分式方程的解．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．
11．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cs∠OCE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
12．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
【分析】根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．
解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．4
【分析】作MN⊥x轴于N，根据题意P（，2），PQ＝2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MN＝QM＝1，QN＝＝，得到M（+，1），代入反比例函数解析式即可求得k的值．
解：作MN⊥x轴于N，
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MN＝QM＝1，
∴QN＝＝，
∴M（+，1），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k＝+，
解得k＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4，②3a+2b＜0，③b2﹣4ac＞0，④b＞c＞a．正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点有两个即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断④．
解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，
∴3＜x2＜4，①正确，
∵＝1，
∴b＝﹣2а，
∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a+2b＜0，②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c＜0，
∴a＞c，即④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想以及二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把正确答案填在横线上）
15．点A（﹣3，﹣2）关于原点的对称点B的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数即可解答．
解：点A（﹣3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，掌握根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，若BC＝4，，则AE＝ 1 ．
【分析】根据矩形的性质可得△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴，且BC＝4，，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查矩形的性质与相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
17．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120° ．
【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
2π×10＝，
解得n＝120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长．
18．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1≤n＜10 ．
【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0．
（1）当m＝5，n＝﹣6时，求方程的解；
（2）若方程有两个相等的实数根，则m与n应满足的关系式为 m2+4n＝0 ．
【分析】（1）根据题意，将m＝5，n＝﹣6代入方程x2﹣mx﹣n＝0，解方程即可求解；
（2）根据方程有两个相等的实数根，可得Δ＝0，进而即可求解．
解：（1）根据题意，将m＝5，n＝﹣6代入方程x2﹣mx﹣n＝0，
得：x2﹣5x+6＝0
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x＝2或x＝3；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣n）＝0
即m2+4n＝0．
故答案为：m2+4n＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
21．（8分）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图象交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
23．（8分）艺术节上，甲、乙两名同学计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月夜》与《云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月夜》，否则演奏《云之南》．
（1）用列表法或画树状图的方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【分析】（1）利用列表法解答即可；
（2）利用计算概率的方法解答即可．
解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：
从表中可以看出共有8种等可能；
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有8种等可能，其中和为奇数与和为偶数的等可能性各有4种，
所以P（和为奇数）＝P（和为偶数），
∴这个游戏公平．
【点评】本题主要考查了列表法或树状图法，游戏的公平性，事件的概率，利用游戏规则正确列出表格是解题的关键．
24．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝ 75 °，∠ADC＝ 60 °；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．
【分析】（1）由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC．
（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，结合CD＝DE+EC可得出答案．
（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝100米，再根据PG＝PF+FG可得出答案．
解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，
∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．
过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故答案为：75；60；
（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，
tan30°＝，
解得DE＝，
∴CD＝DE+EC＝（+10）米．
∴楼CD的高度为（+10）米．
（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，
∵MN∥AE，
∴∠PAF＝∠MPA＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠PAF＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠30°，
∴∠PAD＝30°，
∵∠APD＝75°，
∴∠ADP＝75°，
∴∠ADP＝∠APD，
则AP＝AD，
∴△APF≌△DAE（AAS），
∴PF＝AE＝100米，
∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）．
∴此时无人机距离地面BC的高度为110米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
25．（12分）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，﹣m2+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤x≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤x≤．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．1
2
3
4
1
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
1+4＝5
2
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
2+4＝6