2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）计算20（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
2．（2分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
3．（2分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（　　）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
4．（2分）已知y2+my+9是完全平方式，则m＝（　　）
A．±6 B．6 C．±3 D．3
5．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．m6÷m2＝m3 B．m•2m2＝m2 C．（3m2）2＝6m4 D．3m2﹣2m2＝m2
6．（2分）下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2分）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．
①作射线OC．
②在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．
③分别以D、E为圆心，以大于二分之一DE长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
作法合理的顺序是（　　）

A．①②③ B．②①③ C．③②① D．②③①
8．（2分）一个正六边形的每一个外角都等于（　　）
A．60° B．72° C．90° D．108°
9．（2分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
11．（2分）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．17 B．34 C．38 D．68
12．（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，且∠ACD＝146°（量角器测量所得），
又∵146°＝88°+58°（计算所得），
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（　　）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）
13．（3分）计算：a3÷a＝　 　．
14．（3分）如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是　 　．

15．（3分）若多项式x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 　．
16．（3分）已知，AD为△ABC的中线，且AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的周长之差为 　 　．
17．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则EF＝　 　．

18．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度．

三、解答题（本大题共7个小题；共58分）
19．（7分）利用乘法公式有时能进行简便计算．
例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．
请参考给出的例题，通过简便方法计算：
（1）31×29；
（2）195×205．
20．（7分）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．

21．（7分）如图，E、A、C三点共线，∠B＝∠E，∠BAC＝∠ECD，AC＝CD，求证：BC＝ED．

22．（8分）已知x2﹣5x＝6，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
23．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．

24．（10分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）连接AD、DB，若AF＝BF，求证：ED＝CD．

25．（11分）如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由．
（2）如图（2），将图（1）中的AC⊥AB，BD⊥AB为改“∠CAB＝∠DBA＝a°”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）计算20（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】根据a0＝1 （a≠0）即可得出答案．
【解答】解：20＝1．
故选：B．
2．（2分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，
即9﹣4＝5cm，9+4＝13cm．
∴第三边取值范围应该为：5cm＜第三边长度＜13cm，
故只有B选项符合条件．
故选：B．
3．（2分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（　　）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
故选：C．
4．（2分）已知y2+my+9是完全平方式，则m＝（　　）
A．±6 B．6 C．±3 D．3
【分析】根据完全平方式是a2±2ab+b2的形式，可确定出此题的两个结果．
【解答】解：∵y2+my+9＝y2+my+32，
∴当y2+my+9是完全平方式时，
m＝±2×1×3＝±6，
故选：A．
5．（2分）下列运算正确的是（　　）
A．m6÷m2＝m3 B．m•2m2＝m2 C．（3m2）2＝6m4 D．3m2﹣2m2＝m2
【分析】A：用同底数幂的除法法则；
B：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；
C：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
D：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：A：原式＝m4，∴不合题意；
B：原式＝2m3，∴不合题意；
C：原式＝9m4，∴不合题意；
D：原式＝m2，∴合题意；
故选：D．
6．（2分）下列说法中，正确的个数是（　　）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；
三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有1个．
故选：A．
7．（2分）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．
①作射线OC．
②在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．
③分别以D、E为圆心，以大于二分之一DE长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．
作法合理的顺序是（　　）

A．①②③ B．②①③ C．③②① D．②③①
【分析】根据角平分线的作法进行解答．
【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．
故选：D．
8．（2分）一个正六边形的每一个外角都等于（　　）
A．60° B．72° C．90° D．108°
【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．
【解答】解：∵任意多边形的外角和是360°，
∴一个正六边形的每一个外角为：＝60°，
故选：A．
9．（2分）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得PQ＝QH＝5，根据MQ＝NQ＝9，即可解决问题．
【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，
故选：B．
10．（2分）从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
11．（2分）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．17 B．34 C．38 D．68
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×34
＝68，
故选：D．

12．（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，且∠ACD＝146°（量角器测量所得），
又∵146°＝88°+58°（计算所得），
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（　　）

A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【分析】依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
∴B的说法正确，符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意；
综上，B的说法正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）
13．（3分）计算：a3÷a＝　a2　．
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a3÷a＝a2．
故答案为：a2．
14．（3分）如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是　三角形具有稳定性　．

【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
15．（3分）若多项式x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值为　5　．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则求出（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m，根据已知得出m﹣5＝0，求出即可．
【解答】解：（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m，
∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，
∴m﹣5＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
16．（3分）已知，AD为△ABC的中线，且AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的周长之差为 　2　．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝10﹣8
＝2．
则△ABD与△ACD的周长之差＝2．
故答案为：2．
17．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则EF＝　3　．

【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，然后利用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF，EF的长．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，
∴BE＝1，EC＝2，
∴CF＝1，
∴EF＝EC+CF＝2+1＝3，
故答案为：3．

18．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10　度．

【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：

∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
三、解答题（本大题共7个小题；共58分）
19．（7分）利用乘法公式有时能进行简便计算．
例：102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996．
请参考给出的例题，通过简便方法计算：
（1）31×29；
（2）195×205．
【分析】（1）把31写成30+1，把29写成30﹣1，然后利用平方差公式计算；
（2）把195写成200﹣5，把205写成200+5，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）31×29
＝（30+1）×（30﹣1）
＝302﹣12
＝900﹣1
＝899；
（2）195×205
＝（200﹣5）×（200+5）
＝2002﹣52
＝40000﹣25
＝39975；
20．（7分）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．

【分析】根据垂直的定义，由DF⊥AB，得∠DFB＝90°，故∠B＝180°﹣∠D﹣∠DFB＝34°．根据三角形外角的性质，得∠A＝∠ACD﹣∠B＝36°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°．
∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠DFB＝180°﹣56°﹣90°＝34°．
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝70°﹣34°＝36°．
21．（7分）如图，E、A、C三点共线，∠B＝∠E，∠BAC＝∠ECD，AC＝CD，求证：BC＝ED．

【分析】利用AAS判定△ABC≌△CED即可得出结论．
【解答】证明：在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∴BC＝ED．
22．（8分）已知x2﹣5x＝6，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．
【分析】将x2﹣5x＝6代入到原式＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣5x即可．
【解答】解：当x2﹣5x＝6时，
原式＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）
＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1
＝x2﹣5x，
＝6．
23．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠BCE＝25°，求∠AOC和∠ADB的度数．

【分析】由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD＝25°，再由CE是高，从而可求得∠B＝65°，从而可求∠ADB的度数，再由三角形的外角性质可求∠AOC的度数．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠CAD＝∠BAD＝25°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠BCE＝65°，∠AEC＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝90°，
∠AOC＝∠BAD+∠AEC＝115°．
24．（10分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB．
（1）求∠CDF的度数；
（2）连接AD、DB，若AF＝BF，求证：ED＝CD．

【分析】（1）先求出五边形的内角和及四边形的内角和，再由五边形ABCDE的内角都相等求出∠C+∠CBF的度数，再由DF⊥AB得∠DFB＝90°，在四边形DFBC中可求出∠CDF的度数；
（2）先根据线段垂直平分线的性质证明AD＝BD，且∠DAB＝∠DBA，再证明∠DAE＝∠DBC，则可以证明△AED≌△BCD，得ED＝CD．
【解答】（1）解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
四边形的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，
∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠C+∠CBF＝×540°＝216°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∵∠CDF+∠C+∠CBF+∠DFB＝360°，
∴∠CDF+216°+90°＝360°，
∴∠CDF＝54°．
（2）证明：如图，连接AD、BD，
∵DF⊥AB，AF＝BF，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠BAE＝∠ABC，
∴∠BAE﹣∠DAB＝∠ABC﹣∠DBA，
∴∠DAE＝∠DBC，
在△AED和△BCD中，
，
∴△AED≌△BCD（AAS），
∴ED＝CD．
25．（11分）如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由．
（2）如图（2），将图（1）中的AC⊥AB，BD⊥AB为改“∠CAB＝∠DBA＝a°”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2
∴BP＝6
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ，
∴∠C＝∠QPB，
∵∠APC+∠C＝90°，
∴∠APC+∠QPB＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t
解得：x＝3，t＝2．