重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期第二次联考数学复习题（一）（Word版附解析）

这是一份重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期第二次联考数学复习题（一）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合中所含元素的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，只否定结论，不否定条件，可得结果.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，
由命题，，所以：，.
故选：D.
【点睛】本题考查全称命题的否定，掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，同时注意命题的否命题与命题的否定的区别，属基础题.
3. 设，则是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分且必要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，根据题意，由可得或，而当时，可以得到，即可做出判断.
【详解】由已知，，
可得或，此时不一定能得到；
而时，可以得到.
所以：是必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B，
故选：A.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域.
【详解】由题意可得，即，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题.
6. 已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A. 9B. 12C. 16D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
7. 已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A. （1，10）B. (5，6)C. (10，12)D. (20，24)
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，根据，不妨设，结合图象可求出范围
【详解】函数的图象如图所示，
不妨设，则，
所以，，
所以，，
所以，
故选：C
8. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数满足，则有，，再利用函数在上单调递增比较大小.
【详解】函数满足，所以有：
，
，
函数满足在上单调递增，由，
所以，即，
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与是终边相同的角
B. 若角的终边过点，则
C. 若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D. 若，则角的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【解析】
【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.
【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的解集为
C.
D. 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为或，
所以且方程的两个根为，，
即.
因此选项A正确；
因为，，所以由，因此选项B不正确；
由可知：，因此选项C不正确；
因为，所以由，
解得：，因此选项D正确，
故选：AD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若都是正数，且，则的最小值是3
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D. 已知，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由于，进而根据基本不等式可判断；对于B，由题知，进而根据不等式性质可判断；对于C，根据基本不等式成立的条件判断；对于D，由题知，进而，进而可判断D.
【详解】解：对于A，都是正数，且，故
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，的最小值是，故A选项正确；
对于B，由得，所以，故B选项正确；
对于C，，则，故，当且仅当，即时等号成立，显然无解，故，C选项错误；
对于D，由，且得，所以，故，即，故D选项正确
故选：ABD
12. 已知函数的定义域为D，存在，对一切，若时，都有恒成立，则下列符合题意的函数有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】先分析这个条件，其实是离某条直线的距离远近的意思，题目的意思既是离某个数越远，其函数值越大，按照此结论依次每个选项判断即可.
【详解】，
对A：取成立，A对；
对B：对于函数，有对称轴
在，单调递减，在区间，单调递增，
取时，对任意成立，B对；
对C：取成立，C对；
对D：的，取成立，D对.
故选：ABCD
【点睛】遇见新定义的题型，一定要先审题，明白题目所说的定义是啥，转化为平时常见的性质是什么，然后对每个出现的函数依次验证，采用大胆猜测，小心验证的思路，判断一个命题是假命题只需找一个反例，验证命题正确需要证明.
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调区间.
【详解】令且，即，则或，
所以定义域为，
由开口向上，对称轴为，则在上递减，在上递增，
而在定义域上递减，故的增区间为，减区间为.
故答案为：
14. 设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；
【详解】作出函数的大致图象，
令，因为恰有6个不同的实数解，
所以在区间上有2个不同的实数解，
，
解得，
实数的取值范围为．
故答案：．
15. 设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16. 已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物，设经过小时后，药物在病人血液中的量为.
（1）与的关系式为____________.
（2）当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过____________小时（精确到）.（参考数据：）
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】（1）根据题意写出与的关系式即可；
（2）根据题意列不等式，然后两边取常用对数即可求解.
【详解】（1）由题意得，即；
（2）令,即，
两边取常用对数可得，
即
，
故再次注射该药物的时间不能超过小时.
故答案为:;.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合 ，，且．
（1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决.
【小问1详解】
由命题p：“，”真命题，可知，
又，所以 ，解得．
【小问2详解】
因为，所以，得．
因为命题q：“，”是真命题，所以，
所以，或，得．
综上，．
18. 已知函数在上有定义，且满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若，对均有成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.
(2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解.
【小问1详解】
，
∴，
又∵，
∴.
【小问2详解】
，对均有成立，
在上单调递增，，
依题意有对均有成立，
即在时恒成立，
∴，解得，∴实数m的取值范围是.
19. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，试比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值；
（2）根据第一问求出值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.
【小问1详解】
对于，两边平方得，
所以，∵，∴，，所以，
∴，∴；
【小问2详解】
联立，解得，所以，
因为，且，所以分子分母同除以有：，解得．
∴.
20. 已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式：
【答案】（1）（2）函数在上为增函数．证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，列出方程求出、的值，代入解析式；
（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论．
（3）根据函数的单调性即可得到关于的不等式组，解得即可．
【详解】解：是定义在上的奇函数，
，即．
又．
函数在上为增函数．
证明如下，任取，
为上的增函数．
，即，
，解得，
解集为：
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论．
根据奇函数的性质，列出方程求出的值，代入解析式；
先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论
根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．
21. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】（1）选①，
（2）当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．
【解析】
【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.
【小问1详解】
解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得
∴．
【小问2详解】
解：高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．
22. 已知函数的定义域为.
（1）求实数m的值；
（2）设函数，对函数定义域内任意的，，若，求证：；
（3）若函数在区间上的值域为，求的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法求得.
（2）结合对数运算证得等式成立.
（3）对进行分类讨论，根据的单调性和值域列式，从而求得，进而求得.
【小问1详解】
因为函数的定义域为，
即的解集是或，所以，
则.
【小问2详解】
，
由于或，所以或，
解得或，所以的定义域是.
；
；
故.
【小问3详解】
依题意，函数在区间上的值域为，
，
若，在单调递减，
且，
解得，所以；
若，在单调递增，
且，
解得，或（舍去），所以
综上所述：或者.
【点睛】对于含参数的对数型符合函数单调性的研究，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.并且要注意复合函数的单调性是“同增异减”.
0
10
40
60
0
1420
4480
6720