重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期第二次联考数学复习题（二）（Word版附解析）

这是一份重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期第二次联考数学复习题（二）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】由表示同一函数的满足条件：定义域相同，对应关系相同，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故B错误；
对于C：，的定义域都为，且解析式相同，故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故D错误.
故选：C.
2. 下列叙述正确的是（ ）
A. 的角是第二象限的角
B. 第二象限的角必大于第一象限的角
C. 终边相同的角必相等
D. 终边相同的角的同一个三角函数的值相等
【答案】D
【解析】
【分析】ABC可举出反例，D选项，根据三角函数定义得到D正确.
【详解】A选项，的角是轴线角，不是象限角，A错误；
B选项，是第一象限角，是第二象限角，显然，B错误；
C选项，与是终边相同的角，说明C错误；
D选项，由三角函数定义可知，终边相同的角的同一个三角函数的值相等，D相等.
故选：D.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.
【详解】因为的定义域为，则，解得，则，所以的定义域为.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式即可得到答案.
【详解】，
故选：B．
5. 函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.
【详解】当时，，
当，，
所以函数的图像大致是选项D，
故选：D
6. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知在上恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在上恒成立，
当时，，得，不合题意，
当时，则，解得，
综上实数的取值范围为，
故选：C
7. 已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可知函数关于对称，并求出时函数的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到的解集.
【详解】定义在上的函数满足，所以关于对称，
当时，，因为在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,所以在上单调递增，，
因为，当，即时，
，
令，即或（舍），
所以画出的大致图象

由图象知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
当时，，当或时，，
所以不等式的解集为，
故选：C.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有成立，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再结合单调性比较三个数的大小.
【详解】因为，，
所以，
，
，
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为对任意，且，都有成立，
所以函数在上单调递增，
又由上可知，，
所以.
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，x2+x+1＞0”的否定为“”
B. 函数f（x）＝lgax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）
C. 已知函数f（x）＝|x|+2，则f（x）的图象关于直线x＝2对称
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定可判断A；利用函数平移的即可判断BC；由换底公式可可判断D
【详解】对于A选项：“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“∃x∈R．x2+x+10”，故A正确；
对于B选项：由函数对数函数y＝lgax（a＞0且a≠1）恒过（1，0），所以f（x）＝lgax+1恒过（1，1），故B正确；
对于C选项：由函数y＝|x|图像关于x＝0对称，所以f（x）＝|x|+2，关于x＝0对称，故C错误；
对于D选项：由换底公式，故D错误；
故选：AB．
10. 下列四个选项中，正确的选项有（ ）
A. “不等式成立”的一个必要不充分条件是
B 若，，则
C. 与不是同一函数
D. 已知，且，若恒成立，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合一元二次不等式的解法，以及充分、必要条件的判定方法，可判断A；举反例判断B；根据同一函数与的定义判断C；根据基本不等式求得的最小值为12，得到恒成立，进而可判断D.
【详解】对于A，由不等式，解得，
所以是不等式成立的一个必要不充分条件，所以A正确；
对于B，取，则满足，，但此时，所以B不正确；
对于C，定义域为，的定义域为，
定义域不同，所以与不是同一函数，所以C正确；
对于D，由，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的最小值为12，
可得恒成立，
由不等式，解得或，
所以的取值范围为，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列表达式正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在锐角中，恒成立
C.
D. ，，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D.
【详解】A：由题设，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由，
又，，故，故，
所以，对.
故选：BCD
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的图象与直线有三个交点，则实数
B. 若有三个不同实数根，则
C. 不等式的解集是
D. 若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，作出函数的图象即可判断；对于C，先根据图象求出的范围，再分情况讨论即可；对于D，根据图象结合图象平移分析运算即可判断.
【详解】对于A，如图，作出函数的图象，
由图可知，若的图象与直线有三个交点，则实数，故A正确；

对于B，如图，作出函数的图象，
由题意得两函数交点得横坐标为，不妨设，
则关于对称，故，
由图可知，所以，故B正确；

对于C，由函数的图象可知，当时，，
则由，可得，
则或，
解得或，
所以不等式的解集是，故C错误；
对于D，当时，显然不成立，故舍去，
当时，可以通过向左平移个单位得到，
如图2 ，显然不成立，舍去，

当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3，
以射线与相切为临界，
即，则，
所以，解得，所以，
综上所述，实数a的取值范围是，故D正确.

故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为______cm.
【答案】15π
【解析】
【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.
【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为，
则每秒大轮转过的圈数为，
所以大轮每秒转过的弧长为.
故答案为：.
14. 若二次函数在区间上存在零点，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意转化为方程在区间上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】令，可得，即，
由函数在区间上存在零点，
即方程在区间上有解，
设，可得，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性计算，确定的值域包含，考虑和两种情况，根据二次函数性质计算值域得到答案.
【详解】，函数单调递减，，故，
对任意的，都存在，使得，
故的值域包含，
①当时，，解得，
此时，成立；
②当时，函数在上单调递减，，成立，
，解得，即；
综上所述：.
故答案为：
16. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；令由可得，由解出的取值范围，可判断③；取，结合③可判断④.
【详解】对于①，任取、，且，则，
所以，，
所以，，故函数是增函数，①对；
对于②，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
，函数是奇函数，②对；
对于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函数的值域为，③对；
对于④，由③可知，，则，
当时，，此时，函数没有零点，④错.
故答案为：①②③.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【小问1详解】
∵，由三角函数的定义得，；
【小问2详解】
∵，
∴.
18. 设集合，.
（1）若为空集，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式解集为空集，列出不等式求解即得.
（2）解对数不等式化简集合A，再分类讨论解不等式化简集合B，并结合包含关系求解即得.
【小问1详解】
依题意，不等式解集为空集，
于是，即，解得，
所以.
【小问2详解】
不等式，解得，即，
，
当时，，则；
当时，，则，而，显然不是的子集；
当时，，则，
由，得，解得，
所以的取值范围是或.
19. 2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产千台，需另投入成本（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
（1）写出年利润（单位:万元）关于年产量x（单位:千台）的关系式；
（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
【答案】（1）
（2）产量为7万台时，年利润最大为700万元
【解析】
【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数；
（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得．
【小问1详解】
由题意得空调销售收入为（万），则
；
【小问2详解】
由（1）得：
当时，
∴当时，取得最大值250；
当时，
由勾形函数性质知在上递增，在上递减，
∴当时，取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元.
20. 若函数对任意，恒有．
（1）指出的奇偶性，并给予证明；
（2）如果时，，判断的单调性；
（3）在（2）的条件下，若对任意实数x，恒有．成立，求k的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递减，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求出，根据函数奇偶性定义即可证明；
（2）根据函数单调性定义即判断函数的单调性；
（3）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，即可得到结论
【详解】（1）为奇函数；
证明：令，得，解得：
令，则，
所以函数为奇函数；
（2）在R上单调递减；
证明：任意取，且，则，
又，即
所以在R上单调递减；
（3）对任意实数x，恒有等价于成立
又在R上单调递减，
即对任意实数x，恒成立，
当时，即时，不恒成立；
当时，即时，则，解得：
所以实数k的取值范围为
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.
21. 已知函数（且）图像与函数的图像关于直线对称.
（1）若在区间上的值域为，求的值；
（2）在（1）的条件下，解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反函数的关系先得出表达式，进而得出表达式，利用的单调性，分类讨论得出结果；
（2）由（1）的单调性，结合定义域的范围，解不等式组即可.
小问1详解】
由题知，是的反函数，，故.
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立；
当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知：
【小问2详解】
由（1）知，，为定义在的增函数，
根据，定义域满足：，解得.
由单调性和可得，，整理得，结合可知，
22. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对于任意的，都有，求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间[，β]上的值域是？若存在，求实数m的取值范围:若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；
（2）根据对数函数性质求得在上的最大值，由可得；
（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．
【小问1详解】
∵
∴的定义域为（1，+∞）.
由，
化简得，解得，又，
∴所求不等式的解集为.
【小问2详解】
对于任意的，都有，等价于，
∵
设
则t在上是增函数，下面按照的单调性分类讨论:
当时，在上递减，则，解得，
当时，在上递增，则，解得与矛盾，故舍去.
综上，.
【小问3详解】
∵，
∴在(,+∞)上递减，
∴，即，即关于x方程在(,+∞)上有两个不等的实根，
设，
则，即．
综上，不存在这样的α，β满足条件.
【点睛】结论点睛：一元二次方程根的分布：，记，
（1）方程的两根都大于；
（2）方程的两根都小于；
（3）方程的一根大于，一根小于；