山西省运城市盐湖区运城市实验中学2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题（含解析）

这是一份山西省运城市盐湖区运城市实验中学2023-2024学年八年级上册第二次月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间90分钟 满分120分）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑。每小题3分，共30分）
1．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额B．数量
C．单价D．金额和单价
2．下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若是关于，的方程的一个解，则常数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ）
A．1B．C．D．
7．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问：人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为( )
A．三人坐一辆车，有一车少坐2人B．三人坐一辆车，则2人需要步行
C．三人坐一辆车，则有两辆空车D．三人坐一辆车，则还缺两辆车
9．对于一次函数与正比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．的图像向下平移个单位长度可得到的图象
B．的图像经过第一、二、三象限
C．两个函数中，的值均随着值的增大而增大
D．的图像经过点
10．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在x轴上的点处，则直线所对应的函数表达式是（ ）

A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一次函数的图像经过点，但不过第一象限，请写出一个符合条件的函数关系式 ．
12．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ．
13．已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27，求这个两位数，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，所列方程组（不用化简）为 ．
14．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，则点B的坐标是 ．
15．每年夏季的7月份和8月份，运城市盐湖区迎来高温天气，居民家中一般采用开空调的方式降温，家中的用电量也剧增，下表是山西省一户一表的居民用户电价表，每月的用电量如果是小数，四舍五入取整．运城市盐湖区某小区都是一户一表居民用户，若住在此小区的某户居民2023年7月和8月双月用电总量为x度，费用y元，则y与x之间的关系式为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程组：
(1)（用代入消元法）
(2)（用加减消元法）
17．若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，完成下列问题：
(1)求，两点的坐标；
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图像；
(3)根据图像回答：当______时，．
18．2023年10月23日，第七届山西（运城）国际果品交易博览会在运城会展中心隆重开幕，本届果博会以“果蔬运城，走向世界”为主题，设运城主会场，临猗、万荣两个分会场，参展企业870家，参展产品2590种，全方位展示河东丰收新图景、好运之城新魅力．老李家连续几年种植苹果，去年种植苹果的成本和收入相抵后，赚了20000元．今年由于技术得到改进，他家苹果获得丰收，成本比去年减少5%，收入比去年增加20%，结果今年比去年多赚了19000元．老李家去年种植苹果的成本和收入各是多少元？
19．如图，表示小赵和小王在学校运动会的男子1500米比赛中的部分函数图象，t（秒）表示比赛用时，s（米）表示两人各自跑过的路程，小赵全程不改变速度，小王先慢后快，请你根据图象解决下列问题：
(1)射线对应的函数表达式为______；
(2)若对应的函数表达式为，求k，b的值，并说明k的实际意义；
(3)小王追上小赵时距离终点______米：
(4)从小王加快速度开始到其中一人完成比赛的过程中，当t为何值时，小王和小赵跑过的路程恰好相差50米？请直接写出满足条件的t值．
20．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某玩具店购进亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”共180个，其中莲莲的数量是琮琮的2倍，这三种吉样物的进价、售价如表：
(1)若进货总费用11800元，该玩具店购进“宸宸”“琮琮”和“莲莲”三种吉祥物各多少个？（请用方程组的知识解决问题）
(2)若购进琮琮件，这家店销售完这180个吉祥物所得利润为W元，请写出W与m的函数关系式，并求W的最大值．
21．【模型介绍】
如图，，，过点作于点，过点作于点．则．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，再过点作轴的垂线，垂足为，可求出点的坐标为______，从而求得直线的表达式为______．
(2)若将直线绕点顺时针旋转，所得直线的表达式为______．
(3)点是线段上的一个动点，点是线段上一动点，若是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______．
22．综合与实践
小许是个爱动脑筋的学生，她在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：如图1，长方形中放置个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
(1)小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积．
解决问题：
请按照小许的思路完成上述问题：
(2)动手实践：解决完上面的问题后，小许在家里找了张形状大小都相同的卡片，恰好拼成了一个大的长方形如图所示，打乱后又拼成如图那样的大正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，求每个小长方形的面积．请给出解答过程．
23．综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，
图1 图2
(1)______，点的坐标为______；
(2)小朱发现，请说明你的理由；
(3)如图2，点在直线上，过点作轴的平行线交直线与点，若点的横坐标为，则是的一半，请通过计算说明原因；
(4)若点关于轴的对称点为，点是直线上的一个动点，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：A、金额是随着数量的变化而变化，是变量，不符合题意；
B、数量会根据李师傅加油多少而改变，是变量，不符合题意；
C、单价是不变的量，是常量，符合题意；
D、金额是变量，单价是常量，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量即：常量是固定不变的量，变量是变化的量，本题属于基础题型．
2．C
【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是理解方程的解即为能使方程成立的未知数的值．将代入方程得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵是关于，的方程的一个解，
∴，
解得：，
∴常数为．
故选：D．
4．B
【分析】根据直线经过一、二、四象限，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：直线经过一、二、四象限，
，，
，
直线的图象经过一、二、三象限，
选项B中图象符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
5．A
【分析】本题考查一次函数的增减性，理解“时，随的增大而减小”即可解题．
【详解】解：，
随的增大而减小，
，
．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，直接根据表格中的有序实数对，列方程组求函数解析式即可，代入点坐标时注意要选择值变化有规律的点，再去验证表格中哪些值不符合，直接选出正确答案．
【详解】解：由题可知，设一次函数解析式为；
根据值变化的规律性，，，是以为间隔逐渐减小的，
所以把，代入解析式中；
∴；
解得：，；
∴；
当时，；
∴函数值是错误的；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．依据题意，先求出节链条的长度，节链条的总长度，节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
节链条的长度为，
节链条的总长度为：，
节链条的总长度为，
∴节链条总长度，
∴与的关系式是：．
故选：C．
8．C
【分析】根据方程组中2个方程表示的意义即可求解．
【详解】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y，
表示若2人坐一辆车，则9人需要步行，
表示三人坐一辆车，则有两辆空车，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征．解题的关键是熟知一次函数的性质，根据平移规律、一次函数的性质及函数图像上点的坐标特征对各选项依次作出判断即可．
【详解】解：A．的图象向下平移个单位长度可得到，即的图像，故此选项符合题意；
B．对于一次函数
∵，，
∴的图像经过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
C．对于一次函数与正比例函数，
∵，
∴两个函数中，的值均随着值的增大而减小，故此选项不符合题意；
D．对于一次函数，
当时，，
∴的图像不经过点，故此选项不符合题意．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、折叠的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式，先求出，，得出，，，由折叠的性质可得：，，则，设，则，，由勾股定理可得，求出的值即可得出的坐标，最后由待定系数法求直线的解析式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，当时，，解得，
，，
，，
，
由折叠的性质可得：，，
，
设，
，则，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质．解题的关键是根据一次函数的性质并结合题意得出，这时可任设一个满足条件的的值，然后将点代入函数关系式中求得常数项即可．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图像不过第一象限，
∴，
∴可选取，则一次函数的解析式可表示为，
∵一次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴此时一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
【详解】解：将点代入，
得，
，
原方程组的解为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由“十位上的数字与个位上的数字之和为15”可得，这个两位数表示为，对调个位与十位上的数字表示为，根据“得到的新数比原数小27”可得方程“”，组成方程组即可．
【详解】解：根据“它的十位上的数字与个位上的数字之和为15，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小27”，
可得：
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一次函数在初中物理光的反射中的应用，设点B的坐标为．过点B作垂直于y轴的直线，过点C作交于点D，根据轴对称的性质得到，设入射光线所在直线的解析式为，再结合求出所在直线的解析式，即可求出点B的坐标．
【详解】解：如图，过点B作垂直于y轴的直线，过点C作交于点D，
由题意得：点C与点D关于对称，
设点B的坐标为，则，设入射光线所在直线的解析式为，
，解得，
所在直线的解析式为，
，
，解得，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据阶梯电价收费标准列出y关于x的函数关系式即可．
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，
（1）此方程采用代入消元法最简单，可以直接把①代入②，即可消去未知数，然后解方程即可；
（2）将方程①②消去未知数，然后解方程即可；
掌握代入消元法和加减消元法的特点并灵活运用解法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
将①代入②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
∴原方程组的解是；
（2）
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
17．(1)，
(2)图形见解析
(3)
【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像，利用图像解不等式，
（1）分别令，求解即可；
（2）先列表再描点，然后根据两点确定一条直线画出函数图像即可；
（3）根据函数图像好可得出结论；
熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，
当时，得，
∴，
当时，得，
解得：，
∴，
∴点坐标为，点坐标为；
（2）列表：
描点，连线（如图）
（3）由（2）知，当时，一次函数的图像在轴的上方，
∴当时，．
故答案为：．
18．老李家去年种植苹果的成本为60000元，收入为80000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设老李家去年种植苹果的成本为x元，收入为y元，去年种植苹果的成本和收入相抵后，赚了20000元．再由成本比去年减少5%，收入比去年增加20%，结果今年比去年多赚了19000元．列方程组即可解答.
【详解】解：设老李家去年种植苹果的成本为x元，收入为y元，
根据题意，得，
解得
答：老李家去年种植苹果的成本为60000元，收入为80000元．
19．(1)
(2)，，的实际意义是小王150秒之后的跑步速度为每秒5米
(3)300
(4)或350
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能够利用待定系数法求出函数解析式．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用待定系数法求函数解析式，结合图象说明实际意义；
（3）联立方程组求出交点即可；
（4）分两种情况讨论，即可．
【详解】（1）解：设射线对应的函数表达式为，
将代入得：，
解得，
，
故答案为：；
（2）设射线对应的函数表达式为，
将、代入得：
，
解得，
，
的实际意义是小王150秒之后的跑步速度为每秒5米；
（3）联立方程组，
解得，
，
小王追上小赵时距离终点300米，
（4）根据题意得：当小王没追上小赵时，
，
解得：，
当小王追上并超过小赵时，
，
解得：，
综上：或350小王和小赵跑过的路程恰好相差50米.
20．(1)购进宸宸60个，琮琮40个，莲莲80个
(2)，W最大
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组和函数关系式是解题的关键．
（1）设购进宸宸x个，琮琮y个，则购进莲莲个，根据总个数为180个，总花费为11800元列出方程组求解即可；
（2）购进琮琮件，则购进莲莲件，购进宸宸件，根据总利润 （宸宸售价宸宸进价）宸宸销售量（琮琮售价琮琮进价）琮琮销售量（莲莲售价莲莲进价）莲莲销售量，列出W关于m的关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购进宸宸x个，琮琮y个，则购进莲莲个，
根据题意，得
解得
答：购进宸宸60个，琮琮40个，莲莲80个．
（2）解：由题意得，
∵，
∴W随着m的增大而减小，
又∵，
∴当时，W最大．
21．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）先确定，，可得，，由“K字”模型知，则，，，求出点的坐标，建立二元一次方程组并求解即可求出直线的表达式；
（2）过点作交直线于点，过点作轴于点，根据等角对等边可得，由“K字”模型知，则，，求出点，建立二元一次方程组并求解即可得出直线的表达式；
（3）过点作轴于点，设，则，根据等腰直角三角形的性质可得，由“K字”模型知，则，，求出点，再代入直线的解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，得；当时，得，
∴，，
∴，，
∵将直线绕点逆时针旋转，得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；；
（2）过点作交直线于点，过点作轴于点，
∵将直线绕点顺时针旋转得到直线，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，轴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
故答案为：；
（3）过点作轴于点，设，则，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
又∵，轴，
∴，
∴，，
∴，
∵点是线段上一动点，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数的综合运用，考查了旋转的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定和性质等知识点，正确理解“字”模型并运用模型解决问题是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，
（1）设小长方形的长为、宽为，根据图示可以列出方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去个小长方形的面积得到阴影部分的面积即可；
（2）设小长方形的长为，宽为，根据“长方形的对边相等及小正方形的边长为”列出方程组，求解后再根据长方形的面积公式即可得出答案；
根据图示找出数量关系并列出方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得，
∴
答：阴影部分的面积为；
（2）设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得：，
∴
答：每个小长方形的面积为．
23．(1)2，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)存在，或
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
（1）先求出点的坐标，再将点的坐标代入即可得出的值，令从而得出，再令，得到，求解即可得到点的坐标；
（2）由（1）可得，，，再求出、、的长，最后由勾股定理逆定理进行计算即可；
（3）先求出，再由轴，得出的纵坐标为3，从而可求出，得出，再由，即可得出答案；
（4）分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在线段的延长线上时；利用三角形的面积公式，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：一次函数图象分别交轴、轴于点，
当时，，当时，，解得，
，，
一次函数的图象经过点，并与轴交于点，
将代入得：，
一次函数的解析式为：，
当时，，
解得：，
，
故答案为：2，；
（2）解：由（1）可得，，，
，，，
在中，，
∴是直角三角形，；
（3）解：把代入中，得，
∴，
∵轴，
的纵坐标为3，
把代入中，得，
解得，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（4）解：点关于轴的对称点为，
，
，
点是直线上的一个动点，
设，
当点在线段上时，，
，
，
，
解得：，不符合题意，舍去；
当点在线段的延长线上时，，
，
，
，
解得：，此时，故；
当点在线段的延长线上时，，
，
，
，
解得：，此时，故；
综上所述，存在点，使，或．
x
…
0
1
2
…
y
…
9
5
1
…
山西省居民电价表
用户分类
分档
电量（度）
电价（元/度）
执行周期
一户一表
居民用户
第一挡
（双月电量340度及以内）
0.477
居民阶梯电价以“双月”为周期执行
第二档
（双月电量超过340度但不超过520度）
0.527
第三档
521及以上
（双月电量521度及以上）
0.777
宸宸
琮琮
莲莲
进价（元/个）
60
65
70
售价（元/个）
90
90
90