山东省临沂市沂南县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省临沂市沂南县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x＝0B．x（x﹣3）＝0C．D．y﹣x2＝4
2．（3分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如若关于x的方程x2+ax+6＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9B．5C．3D．﹣3
4．（3分）已知⊙O的半径为10，OP＝8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不确定
5．（3分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）
A．1＜x＜2B．﹣1＜x＜1C．﹣7＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜5
6．（3分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+3）2﹣2
C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2
7．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上，若BC＝5，A′C＝3，则AB′的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≠0C．k≤1D．k＞1
9．（3分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
10．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于﹣6
（多选）11．（3分）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；③连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．∠COD＝3∠MND
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣4与y轴的交点坐标是 ．
14．（3分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，则2020﹣2022年买书资金的平均增长率是 ．
15．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为 cm．
16．（3分）一副三角板按如图所示放置，将含30°角的三角板固定，含45°角的三角板绕A点旋转，保持∠1为锐角，旋转过程中有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝45°，则AC∥DE．③若∠4＝∠B，则AC∥DE；④若∠1＝15°，则BC∥DE．其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是2，求另一个根及k的值．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
19．（8分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
20．（10分）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
（2）当﹣1＜x＜2时，观察图象，直接写出函数值y的取值范围．
21．（10分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
23．（12分）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱最大高度；
（2）又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围．
2023-2024学年山东省临沂市沂南县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x3+2x＝0B．x（x﹣3）＝0C．D．y﹣x2＝4
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断．
【解答】解：A．x3+2x＝0，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
B．x（x﹣3）＝0是一元二次方程，符合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．y﹣x2＝4含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（3分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）如若关于x的方程x2+ax+6＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9B．5C．3D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入关于x的方程，把一元二次方程化成关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+ax+6＝0有一个根为﹣3，
∴（﹣3）2+（﹣3）a+6＝0，
9﹣3a+6＝0，
3a＝15，
a＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解：解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
4．（3分）已知⊙O的半径为10，OP＝8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不确定
【分析】根据题意得⊙O的半径为10，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O内．
【解答】解：∵OP＝8、r＝10，
∴OP＜r，
则点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
5．（3分）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）
A．1＜x＜2B．﹣1＜x＜1C．﹣7＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜5
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2．
故选：A．
【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
6．（3分）将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x+3）2﹣2
C．y＝（x﹣3）2+2D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2+2．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
7．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，此时点A在边B′C上，若BC＝5，A′C＝3，则AB′的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据旋转的性质可得B'C＝BC＝5，AC＝A'C＝3，即可得到答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C，
∴B'C＝BC＝5，AC＝A'C＝3，
∴AB'＝B'C﹣AC＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后，对应边相等、对应角相等．
8．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k≠0C．k≤1D．k＞1
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4•9k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36k＞0，
解得：k＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3.5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，根据函数的对称性和增减性，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+2，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，
∵C（3.5，y3）关于直线x＝3的对称点是（1.5，y3），且﹣1＜1.5＜2＜3，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
10．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．当x＞2时，y的值随x的增大而减小
D．这个函数的最小值小于﹣6
【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x＝，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x＞时，y随x增大而增减小，故C错误，不符合题意；
由对称性可知，在x＝处取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
（多选）11．（3分）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；③连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．∠COD＝3∠MND
【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题．
【解答】解：A、CD＝MC，＝，因此∠COM＝∠COD，故A符合题意；
B、连接ON，由OM＝ON＝MN，得到∠MON＝60°，而＝＝，因此∠AOB＝∠MON＝20°，故B符合题意；
C、由OM＝ON，∠OMK＝∠ONL，∠MOK＝∠NOL，得到△OMK≌△ONL（ASA），因此OK＝OL，得到∠OKL＝∠OLK，由OC＝OD，得到∠OCD＝∠ODC，则∠OKL＝∠OCD，得到MN∥CD，
故C符合题意；
D、由圆周角定理得到∠COD＝∠MOD，故D不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
【分析】由抛物线开口方向及对称轴的位置可判断①，由顶点坐标为（﹣1，﹣2）可判断②④，由x＝﹣3时y＞0及抛物线的对称性可得x＝1时y＞0，从而判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，①正确；
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根，②正确；
由图象可得x＝﹣3时，y＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，③正确．
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝﹣2，
∴a﹣c＝2，④正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣4与y轴的交点坐标是 （0，﹣4） ．
【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x＝0，解方程．
【解答】解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣4，求得y＝﹣4，
则抛物线y＝﹣x2+2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时，认真审题，根据二次函数与一元二次方程的关系来解答．
14．（3分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，则2020﹣2022年买书资金的平均增长率是 20% ．
【分析】设2020﹣2022年买书资金的平均增长率是x，利用2022年该学校用于购买图书的费用＝2020年该学校用于购买图书的费用×（1+2020﹣2022年买书资金的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设2020﹣2022年买书资金的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴2020﹣2022年买书资金的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为 2.5 cm．
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故答案为：2.5
【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（3分）一副三角板按如图所示放置，将含30°角的三角板固定，含45°角的三角板绕A点旋转，保持∠1为锐角，旋转过程中有下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝45°，则AC∥DE．③若∠4＝∠B，则AC∥DE；④若∠1＝15°，则BC∥DE．其中正确的有 ①③④ ．（填序号）
【分析】由同角的余角相等可判断①，求解∠5＝∠E+∠2＝105°从而可判断②，证明∠4＝∠C可判断③，画好∠1＝15°的示意图，证明∠B＝∠5可判断④，从而可得答案．
【解答】解：由题意可得：∠1+∠2＝90°＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①符合题意；
如图，∵∠2＝45°，∠E＝60°，
∴∠5＝∠E+∠2＝105°，
∴∠5≠∠CAB，
∴AC与DE不平行，故②不符合题意；
∵∠4＝∠B＝45°，∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，
∴AC∥DE，故③符合题意；
如图，当∠1＝15°时，点A，
∴∠EAB＝90°﹣15°＝75°，
∴∠5＝60°+75°＝135°，
∵∠B＝45°，
∴∠B+∠5＝180°，
∴DE∥BC，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是2，求另一个根及k的值．
【分析】将x＝2代入原方程可求出k值，设方程的另一个根为x1，再利用两根之积等于即可求出x1的值．
【解答】解：将x＝2代入原方程得：22+k×2﹣2＝0，
∴k＝﹣1．
设方程的另一个根为x1，
依题意得：2⋅x1＝﹣2，
∴x1＝﹣1．
∴方程的另一个根为﹣1，k值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是牢记两根之积等于．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，并写出C1的坐标；
（2）以O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出C2的坐标．
【分析】（1）根据中心对称的性质找到A，B，C的对称点A1，B1，C1，顺次连接得到△A1B1C1，根据坐标系写出点的坐标即可求解；
（2）根据中心对称的性质找到A，B，C的旋转后的点A2，B2，C2，顺次连接得到△A2B2C2，根据坐标系写出点的坐标即可求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
C1（4，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
C2（﹣1，﹣4）．
【点评】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键．
19．（8分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件童服装应降价多少元？
（2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件童服装应降价x元，根据单件利润×销售量＝总利润列方程求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式判断根的情况即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件童服装应降价x元，
根据题意，得（80﹣50﹣x）（200+20x）＝7500，
整理，得x2﹣20x+75＝0，
解得x1＝5，x2＝15，
∵尽可能让利于顾客，
∴x＝15，
答：每件童服装应降价15元；
（2）该店铺每周不可能盈利10000元，理由为：
设该店铺每周可能盈利10000元，则（80﹣50﹣x）（200+20x）＝10000，
整理，得x2﹣20x+200＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×200＝﹣400＜0，
∴所列方程没有实数根，
故该店铺每周不能盈利10000元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
20．（10分）已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
（2）当﹣1＜x＜2时，观察图象，直接写出函数值y的取值范围．
【分析】（1）将函数解析式化成顶点式，然后确定对称轴和顶点坐标，根据对称轴，在对称轴的左右两边各选两个点最为横坐标x的值，然后代入求出函数值y，然后填入表格，根再描点连续即可；
（3）根据函数图象直接写成答案即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4）；对称轴为直线x＝1，
列表，
描点，连线，
（2）根据函数图象可得，﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y≤4．
【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、画二次函数的图象、二次函数与不等式的关系等知识点，正确画出二次函数图象是解答本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度数．
【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，那么∠FAG＝52°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠AGE＝∠FGC＝∠FAG+∠F＝77°．
【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，
∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，
∴∠FAG＝∠BAE＝52°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，
∴∠AGE＝77°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；
（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，且OD为圆O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD＝BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：，
又S△ACD＝AC•ED＝AD•CD，
即×5×ED＝×4×3，
∴．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．
23．（12分）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）．
（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱最大高度；
（2）又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围．
【分析】（1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
②依据二次函数的性质求最大值即可；
（2）根据题意可知当x＝8时y＞2.3，当x＝18时y＜2.2以及对称轴直线x＜9即可判断．
【解答】解：（1）①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为y＝ax2+bx，
把x＝2，y＝0.88和x＝6，y＝2.16代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.02x2+0.48x；
②y＝﹣0.02x2+0.48x＝﹣0.02（x﹣12）2+2.88；
当x＝12时，函数有最大值y＝2.88，
答：喷水头喷出的水柱最大高度2.88米；
（2）∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
∴当x＝8时，y＞2.4，
即﹣0.04×82+8b＞2.4，
解得b＞0.62；
∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，
∴当x＝18时，y＜1.8，
即﹣0.04×182+18b＜1.8，
解得b＜0.82；
∴常数b的范围为0.62＜b＜0.82．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．x
﹣1
0
1
2
3
4
y
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
…
y
…
…
x
0
2
6
10
12
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
x
﹣1
0
1
2
3
4
y
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
…
y
…
…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
x
0
2
6
10
12
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88