（尖子生培优）专题12商的变化规律的实际应用-四年级数学思维拓展培优讲义（通用版）

这是一份（尖子生培优）专题12商的变化规律的实际应用-四年级数学思维拓展培优讲义（通用版），共24页。试卷主要包含了小明说，解释说明商不变的规律等内容，欢迎下载使用。
有的放矢
能力巩固提升
1．小明说：“根据商不变性质，因为13÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。你同意小明的说法吗？请写出你的理由。
2．解释说明商不变的规律。
（1）根据64÷32＝2，写出一组商为2的除法算式（至少写3道）。
（2）根据你写的算式，说说它们的商为什么都是一样的？
3．计算980÷50时，李林是这样做的：
（1）他这样做的依据是什么？
（2）请你帮李林验算下，他的答案是否正确？如果不正确，帮他改正一下。
4．一个分数的分母不变，分子乘5，这个分数的大小有什么变化？如果分子不变，分母除以3呢？
5．我国是一个缺水的国家，人均淡水资源量约是2300立方米，世界人均淡水资源量约是9200立方米。世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的多少倍？
6．小红算完这个题组后，有了如下想法，她的想法对吗？写出你的理由。
7．小马虎在计算一个数除以6.85时，忘记写除数的小数点，结果得到的商是0.096，写出这个除法算式，并算一算正确的商是多少？
8．根据聪聪和明明的想法，完成“270÷45”的简便计算。
270÷45 270÷45
9．下面是小强计算400÷25的过程：
400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16
请你解释这样计算的理由。
10．计算下面三组题，计算后观察，你发现了什么？
540÷27＝ 144÷16＝ 180÷36＝
540÷9÷3＝ 144÷2÷8＝ 180÷6÷6＝
（1）请你用自己的语言描述你的发现。
（2）请你再写出一组算式验证你发现的规律。
11．一辆汽车每小时行50千米，行200千米需要多少小时？行400千米、600千米、800 千米呢？把下面的表格填写完整。
你有什么发现？把你的发现写在下面。
12．皮皮的外婆家养了很多猪。外婆问：“开始咱家养了6头猪，一个月吃了540千克饲料。如今，咱家养了18头猪，每个月大约要吃掉多少千克饲料？”你能想出几种做法。
13．王叔叔带900元买了25箱果汁，平均每箱果汁多少元？如果果汁的价钱降到原来的一半，王叔叔可以买多少箱？
14．我们已经学习了积的变化规律。想一想：有没有商的变化规律、和的变化规律、差的变化规律呢？请你选择其中的一个，先提出猜想，再进行验证。
我的猜想：
我的验证：
我的结论：
15．在计算275÷25时，小通是这样做的：
275÷25
（1）你能解释小通这样做的道理吗？请写一写。
（2）请你再举一个例子，说明这个道理是成立的。
16．学校要买25个篮球，每个102元。李老师带了3000元钱，够吗？同学们用不同的方法解决了这道题，谁的解答方法是不正确的？请说明错误的理由。
17．两数相除，得到的商是3，余数为20，如果被除数和除数同时扩大8倍，商是多少？余数是多少？你能从中发现什么？
18．善于观察分析，寻找规律，并根据数学基础知识加以分析验证。这是一个非常好的学习方法。下面是淘气计算400÷25的过程，观察思考。
400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16
①淘气是怎样算的？
②他这样算的目的是什么？
③这样算，正确吗？为什么？
④你能利用这样的思想方法计算下面各题吗？
6000÷125＝
2700÷15＝
19．小刚在计算一道除法题时，把除数15错看成了45，结果得到的商是24。
20．在探究0.4÷0.08如何计算时，两位同学分别想出了下面方法。
你认为（ ）的方法不合理，把原因写在下面。
综合拔高拓展
21．本学期我们学习了“商的变化规律”，积累了探索规律的经验。如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商会怎样变化？请你探索规律，并完成下面的问题。
如果：被除数÷除数＝100
那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝（ ）
举例：
我发现：
22．（1）计算下面两组题目的得数。
（2）你有什么发现？用语言或数学符号概括你发现的结论。
（3）试着从数学的角度分析这个结论背后的原因。
23．（1）计算时，四年级的张博同学想用商不变的规律计算，请你帮他把计算过程补充完整：＝÷（ ）＝（ ）。
（2）赵鹏也利用商不变的规律计算下面这道题：
＝＝＝
你认为赵鹏这样做的结果对吗？请说明道理。
24．说理题。
根据商不变规律，计算940÷40时可以想成94÷4。下面是小红的计算过程，你认为小红说得对吗？请说明理由。
25．王丽在计算1.8除以一个两位小数时，发现：如果被除数不变，仅把除数当成整数来算，结果是0.024，这个两位小数是多少？
26．本学期我们通过观察、猜想、验证探究了商不变的规律。
（1）小林是一个爱思考的学生，他想：“既然除法有商不变的规律，那么减法会有类似的规律吗？”请观察下面这组算式：
我发现：（ ）。
（2）请你举例验证这个规律是否正确。（至少写出三个算式）
答：通过探究，我认为这个规律是（ ）的。（填正确或不正确）
27．根据第一行题的商快速写出下面两行题的商，再回答问题。
28÷7＝4 81÷9＝9
280÷70＝ 810÷90＝
2800÷700＝ 8100÷900＝
（1）被除数扩大10倍，要使商不变，除数应该（ ）。
（2）如果把除数扩大8倍，要使商不变，被除数应该（ ）。
28．200÷50的商是多少？如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是多少？如果被除数和除数同时缩小到原来的呢？
29．观察发现：
你发现什么规律：
。
30．已知A4纸每包约厚5厘米，可知规格是500张/包。算一算1亿张这样的A4纸摞起来大约有多厚？
31．有两捆同样规格的铁丝，其中一捆铁丝长5米，重250克。另一捆铁丝重1000克，这捆铁丝长多少米？
32．列竖式计算。
亮亮的想法：




在亮亮的算法中，横线上的这一步的依据是（ ），你的竖式算式和亮亮的算式的共同点是先把除数（ ），再计算。
33．除数是20，增加100以后，要使商不变，被除数应该要扩大多少倍？
34．佳佳在计算时，采用了下面的简便方法。他的做法对吗？请说明理由。
35．两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是多少？余数是多少？余数是原来的多少倍？（请举例说明）
36．两个数相除的商是15，如果被除数乘5，除数除以2，那么现在的商是多少？
37．小马虎在计算一道除法题时，把被除数25.6写成了256，结果比正确的商多1.8，正确的商是多少？
38．下面是妙妙计算的过程，观察计算的每一步，你受到什么启发？
你能用这个方法计算下面各题吗？

39．红红和亮亮谁说得对？你能验证一下并说明理由吗？
40．一个数除以500，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个0，这时商不变，还是5，但余数减少了99。原来的被除数和余数分别是多少？
41．根据商不变性质可知“9700÷300＝97÷3”，又因为“97÷3＝32……1”所以聪聪认为“9700÷300＝32……1”。你认同聪聪的观点吗？请在下面解释你的具体想法。
42．探索与发现。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？让我们一起来探索吧。
①（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等吗，请举个例子试试。
②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每条船乘坐4人，一共需要多少条船？ （用两种方法计算，验证是否相等）
③如果调换位置后，C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B还相等吗？请举例验证。
43．在计算“120÷15”时，为使计算简便，小英同学是这样做的：
（1）小英这样做对吗？为什么？
（2）如果用简便方法计算“210÷42”，你打算怎样计算？请你把计算过程写出来。
44．如图是小明计算820÷50时的过程与结果。他做得对吗？为什么？请说明你的理由。
参考答案
1．不同意，理由见详解
【分析】根据商不变性质可知，被除数和除数同时乘10，商不变，仍是6，余数要乘10，不是1，而是10。可以根据被除数＝除数×商＋余数验证小明的说法是否正确。
【详解】20×6＋1
＝120＋1
＝121
20×6＋10
＝120＋10
＝120
则我不同意小明的说法，因为被除数和除数同时乘10，商不变，余数也要乘10，正确计算应是：130÷20＝6……10。
【点睛】本题考查商不变的性质：被除数和除数同时扩大相同倍数，商不变，余数也同时扩大相同倍数。
2．见详解
【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。根据商的变化规律可解此题。
【详解】（1）64÷32＝2，被除数，除数同时除以2，商不变：32÷16＝2
64÷32＝2，被除数，除数同时除以4，商不变：16÷8＝2
64÷32＝2，被除数，除数同时乘2，商不变：128÷64＝2（答案不唯一）
（2）根据商不变性质可得，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【点睛】商的变化规律
（1）被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
（2）除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），商就乘或除以这个数。
（2）被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商反而除以或乘这个数。
3．（1）见详解过程
（2）不正确；
改正如下：
【分析】（1）根据商不变的性质，在除法算式中，被除数、除数同时乘或除以几（0除外），商不变，所以980÷50可以看作98÷5，这样被除数和除数同时除以10，商不变，运用的是商不变的性质；
（2）在有余数除法中，当被除数、除数同时乘或除以几（0除外），商不变，但余数也随之乘或除以几（0除外），商×除数＋余数＝被除数，由此判断改正即可。
【详解】（1）依据是：980÷50可以看作98÷5，这样被除数和除数同时除以10，商不变，运用的是商不变的性质。
（2）19×50＋3
＝950＋3
＝953
所以他的答案不正确。
改正如下：
【点睛】本题主要考查商不变的规律在有余数的除法算式中的灵活应用。注意余数的变化。
4．见详解
【分析】分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。
商的变化规律：除数不变，被除数乘几，商就乘几；被除数除以几，商就除以几；
被除数不变，除数乘几，商反而除以几；除数除以几，商反而乘几。
【详解】（1）一个分数的分母不变，分子乘5，相当于除数不变，被除数乘5；
根据商的变化规律可知，商要乘5，即这个分数扩大到原来的5倍。
（2）如果分子不变，分母除以3，相当于被除数不变，除数除以3；
根据商的变化规律可知，商要乘3，即这个分数扩大到原来的3倍。
答：一个分数的分母不变，分子乘5，这个分数扩大到原来的5倍；如果分子不变，分母除以3，这个分数扩大到原来的3倍。
【点睛】根据分数与除法的关系以及商的变化规律，得出分子或分母变化，分数大小相应的变化。
5．4倍
【分析】求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。据此可知，要求世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的多少倍，用世界人均淡水资源量除以我国人均淡水资源量，再根据商的变化规律解答即可。
【详解】9200÷2300
＝（9200÷100）÷（2300÷100）
＝92÷23
＝4
答：世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的4倍。
【点睛】商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。
6．不对；理由见详解
【分析】计算700÷40时，被除数和除数末尾同时划掉1个0，商不变，所得余数末尾添上1个0后得到实际的余数。可以根据除法的验算方法判断小红想法是否正确，也可以根据两个算式的余数表示的意义判断，还可以根据商的变化规律进行判断。
【详解】她的想法不对。
理由：第一，我通过验算发现这样的想法不对。70÷4＝17……2，17×4＋2＝70，计算正确。17×40＋2＝682，则700÷40的结果不是17……2。17×40＋20＝700，700÷40的结果是17……20。
第二，70÷4的余数表示2个一，700÷40的余数表示2个十，二者只有商相同，余数是不同的；
第三，根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），只是商不变，余数会变。则70÷4与700÷40的商相同，余数不同。
【点睛】本题考查被除数和除数末尾有0的除法计算，计算时，被除数和除数末尾同时划掉几个0后，商不变，应在所得余数末尾添上相同个数的0，即可得到实际的余数。
7．9.6
【分析】商的变化规律：被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小多少倍；6.85的小数点没点，是扩大了100倍，此时的商相当于 除以了100，所以原来的商应该是0.096×100。
【详解】0.096×（685÷6.85）
＝0.096×100
＝9.6
答：正确的商是9.6。
【点睛】本题考查小数除法、商的变化规律，解答本题的关键是掌握商的变化规律。
8．见详解
【分析】根据商的变化规律可知，聪聪的想法是被除数和除数同时除以一个相同的数，则被除数和除数可以同时除以9，被除数变为30，除数变为5，再进行计算。明明的想法是被除数和除数同时乘一个相同的数，则被除数和除数可以同时乘2，被除数变为540，除数变为90，再进行计算。
【详解】270÷45＝（270÷9）÷（45÷9）＝30÷5＝6
270÷45＝（270×2）÷（45×2）＝540÷90＝6
【点睛】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。
9．见详解
【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；据此可知，400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，小强在计算的过程中正确的应用了商的变化规律。
【详解】400÷25
＝（400×4）÷（25×4）
＝1600÷100
＝16
根据“被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变”可知，小强这样计算应用了商不变的性质，使计算简便。
【点睛】正确理解商的变化规律，是解答此题的关键。
10．20；9；5
20；9；5
（1）被除数除以除数，当除数可以写成两个数相乘的形式时，可以用被除数连续除以这两个数，商不变。
（2）360÷12＝30
360÷2÷6＝180÷6＝30
【分析】先根据整数除法计算出结果，再观察规律。
（1）观察上下两个算式，发现被除数相同，除数27＝9×3；16＝2×8；36＝6×6，商也相同，由此得出规律。
（2）按规律写出算式即可。（答案不唯一）
【详解】540÷27＝20 144÷16＝9 180÷36＝5
540÷9÷3＝60÷3＝20 144÷2÷8＝72÷8＝9 180÷6÷6＝30÷6＝5
（1）被除数除以除数，当除数可以写成两个数相乘的形式时，可以用被除数连续除以这两个数，商不变。
（2）360÷12＝30
360÷2÷6＝180÷6＝30
【点睛】一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。
11．4；8；12；16
我的发现：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。
【分析】时间＝路程÷速度，据此分别求出所需时间，填入表中即可；规律就是：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。
【详解】200÷50＝4（小时），400÷50＝8（小时），600÷50＝12（小时），800÷50＝16（小时）。填入表中如下：
我的发现：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。
【点睛】此题考查商的变化规律，以及速度、时间、路程的关系及应用。
12．1620千克
【分析】第一种方法，先求出每头猪一个月吃饲料的重量为540÷6千克，再用每头猪一个月吃饲料的重量乘猪的数量解答，即18头猪每个月大约要吃掉540÷6×18千克饲料。
第二种方法，一个月吃饲料的总重量÷猪的数量＝每头猪一个月吃饲料的重量，因为每头猪一个月吃饲料的重量是不变的，根据商的变化规律可知，猪的数量从6头变成18头，18÷6＝3，除数扩大了3倍，要使商不变，则被除数也扩大3倍，即18头猪一个月吃饲料的总重量变成540×3千克。
【详解】（1）540÷6×18
＝90×18
＝1620（千克）
（2）540×（18÷6）
＝540×3
＝1620（千克）
答：18头猪每个月大约要吃掉1620千克饲料。
【点睛】第一种方法考查的归一问题，先求单一量，再求总量；第二种方法考查商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。
13．36元；50箱
【分析】用王叔叔带的钱除以箱数等于每箱果汁的价钱；总价不变，单价降到原来的一半，根据商的变化规律，箱数要乘2。
【详解】900÷25＝36（元）
25×2＝50（箱）
答：平均每箱果汁36元，如果果汁的价钱降到原来的一半，王叔叔可以买50箱。
【点睛】熟练掌握总价、单价和数量及商的变化规律是解答本题的关键。
14．见详解
【分析】可以选择其中一个，先写出规律，再用算式进行验证。
【详解】我的猜想：商的变化规律是，除数不变，被除数乘（或除）几，商就乘（或除以）几；被除数不变，除数乘（或除以）几，商就除以（或乘）几；被除数和除数同时乘（或除以）几，商不变。
我的验证：320÷16＝20
除数不变，被除数乘（或除）几，商就乘（或除以）几，640÷16＝40，160÷16＝10；
被除数不变，除数乘（或除以）几，商就除以（或乘）几，320÷32＝10，320÷8＝40；
被除数和除数同时乘（或除以）几，商不变，640÷32＝20，160÷8＝20；
我的结论：猜想正确。
【点睛】本题主要考查学生对商的变化规律、和的变化规律、差的变化规律的掌握，选取其中一个规律进行猜想和验证是解决本题的关键。
15．（1）被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。
（2）见详解
【分析】（1）商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变；
（2）按照商不变的规律写出算式即可。
【详解】（1）小通运用了除法中商不变的规律，将被除数和除数同时乘4，这样将被除数变成几千几百数，除数变成整百数，商不变，计算更加方便。
（2）用竖式计算210÷42，如下：
210÷42
＝（210÷7） ÷ （42÷7）
＝30÷6
＝5
所以商不变的规律是成立的。
（答案不唯一）
【点睛】熟练掌握商不变的规律是解答此题的关键。
16．妙想；因为他没有掌握乘法分配律的特点，脱式计算的第一步计算错误了。
【分析】单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，总价÷数量＝单价，此题中数量为25个，单价是102元，总价是3000元，依此计算并解答即可。
【详解】奇思是根据“总价÷单价＝数量”计算的：
102≈100
3000÷100＝30
即3000÷102≈30
30个＞25个，够，因此奇思的解答方法是正确的；
淘气是根据“总价÷数量＝单价”计算的：
3000÷25
＝（3000×4）÷（25×4）
＝12000÷100
＝120（元）
120元＞102元，够，因此淘气的解答方法是正确的；
妙想是根据“单价×数量＝总价”计算的：
25×102
＝25×（100＋2）
＝25×100＋25×2
＝2500＋50
＝2550（元）
2550元＜3000元，够，因此妙想的解答方法是不正确的；
答：妙想的解答方法是不正确的；因为他没有掌握乘法分配律的特点，脱式计算的第一步计算错误了。
【点睛】此题考查的是经济问题的计算，应熟练掌握乘法分配律的特点，商的变化规律，以及总价、单价、数量之间的关系。
17．3；160；商不变，余数与被除数、除数扩大的倍数相同
【解析】略
18．①淘气是根据商不变的规律进行计算；
（2）为了简便计算；
（3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
（4）48；180
【分析】（1）淘气根据商不变的规律，先算小括号里的，再算小括号外的；
（2）他这样算的目的是为了简便计算；
（3）这样算正确，因为根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
（4）根据商不变的规律，6000÷125被除数和除数同时乘8，2700÷15被除数和除数同时除以3，即可解答。
【详解】①淘气是根据商不变的规律进行计算；
（2）为了简便计算；
（3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
（4）6000÷125＝（6000×8）÷（125×8）＝48000÷1000＝48
2700÷15＝（2700÷3）÷（15÷3）＝900÷5＝180
【点睛】本题主要考查商不变规律的灵活应用，牢记规律，结合算式的特点，能正确进行解答。
19．72
【分析】由题意可知，把除数15错看成了45，被除数不变，所以先用得到的商乘上除数45，求出被除数，再用被除数除以除数15即可。
【详解】45×24÷15
＝1080÷15
＝72
答：正确的商是72。
【点睛】本题关键是理解题意，求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数即可。
20．亮亮，原因见详解
【分析】刚刚的方法是把0.4和0.08都看成以米为单位的数据，根据长度单位之间的换算，把单位米换算成厘米，小数转化为整数，按照整数的除法进行计算，方法正确；亮亮如果想要把被除数和除数同时转化为整数进行计算，根据商不变的性质，被除数和除数需要同时乘100，才能保证结果正确，据此答题即可。
【详解】由分析可知，亮亮的方法不合理，原因如下：
根据商不变的性质，被除数和除数需要同时乘100，正确的解法为：
0.4÷0.08
＝（0.4×100）÷（0.08×100）
＝40÷8
＝5
【点睛】掌握小数除法的计算方法是解题的关键。
21．400；举例和发现均见详解；（举例答案不唯一）
【分析】在商不为0的除法算式里，如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商就乘这两个相同数的积，依此解答。
【详解】2×2＝4，100×4＝400，
（被除数×2）÷（除数÷2）＝400
举例：400÷4＝100
（400×2）÷（4÷2）＝800÷2＝400
我发现：在商不为0的除法算式里，被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商要乘这两个相同数的积。
【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。
22．（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）按照小数乘法、除法的计算法则，计算出各算式的得数。
（2）观察左边的乘法算式，发现其中一个因数不变；观察右边的除法算式，发现被除数不变；结合计算结果以及各算式的特点，找出题中的规律，从而概括出发现的结论。
（3）根据积的变化规律、商的变化规律来解释。
【详解】（1）
（2）因数2.5不变，另一个因数越大，积就越大；另一个因数越小，积就越小。
被除数15.2不变，除数越大，商越小；除数越小，商反而越大。
（3）两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍；另一个因数缩小到原来的几分之一，积也缩小到原来的几分之一。
两数相除，被除数一定时，除数越大，商就越小；除数缩小到原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍。
【点睛】通过计算，发现积的变化规律、商的变化规律，并总结规律是解题的关键。
23．（1），28；
（2）赵鹏这样做的结果不对，因为在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。
【分析】商的变化规律：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几；被除数和除数都乘或者除以相同的数（0除外），商不变；有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数，据此解答。
【详解】（1）计算时，四年级的张博同学想用商不变的规律计算，请你帮他把计算过程补充完整：＝÷＝（28）。
（2）赵鹏也利用商不变的规律计算下面这道题：
＝＝＝
赵鹏这样做的结果不对，因为在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。
【点睛】本题考查商的变化规律，熟练掌握并灵活运用。
24．不对，理由见解析
【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）。
【详解】计算错误，正确的是：
940÷40＝23……20
【点睛】此题需要学生熟练掌握两位数除两、三位数的竖式计算方法。
25．0.75
【详解】1.8÷（0.024×100）
＝1.8÷2.4
＝0.75
答：这个两位小数是0.75。
26．（1）被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变
（2）40－20＝20
45－25＝20
50－30＝20
正确
【分析】根据被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。结合题意分析解答即可。
【详解】（1）我发现：被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。
（2）举例验证：
40－20＝20
45－25＝20
50－30＝20（答案不唯一）
答：通过探究，我认为这个规律是正确的。
【点睛】本题考查了商的变化规律知识以及减法计算知识，旨在考查学生观察算式之间的关系，总结规律，再依据规律解答。
27．4；9
4；9
（1）扩大10倍
（2）扩大8倍
【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。据此解答即可。
【详解】28÷7＝4 81÷9＝9
280÷70＝（280÷10）÷（70÷10）＝28÷7＝4 810÷90＝（810÷10）÷（90÷10）＝81÷9＝9
2800÷700＝（2800÷100）÷（700÷100）＝28÷7＝4 8100÷900＝（8100÷100）÷（900÷100）＝81÷9＝9
（1）被除数扩大10倍，要使商不变，除数应该扩大10倍。
（2）如果把除数扩大8倍，要使商不变，被除数应该扩大8倍。
【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。
28．4；4；4
【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。
【详解】200÷50＝4
（200×10）÷（50×10）
＝2000÷500
＝4
（200÷10）÷（50÷10）
＝20÷5
＝4
答：200÷50的商是4，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商还是4，如果被除数和除数同时缩小到原来的，商还是4。
【点睛】本题考查商不变的性质，熟记商不变的性质是解题的关键。
29．2；2；2；2；在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商的大小不变。
【分析】先分别计算出每个算式的商，然后再根据计算出结果进行观察，再写出发现的规律即可。
【详解】6÷3＝2
60÷30＝2
600÷300＝2
6000÷3000＝2
从上往下观察：
从下往上观察：
因此我发现：在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商的大小不变。
【点睛】此题考查的是根据算式发现商的变化规律，应熟练掌握。
30．1000000厘米
【分析】先求出1亿张纸共多少包，再用包数乘每包厚度，求出1亿张纸的总厚度。
【详解】100000000÷500＝1000000÷5＝200000（包）
200000×5＝1000000（厘米）
答：1亿张这样的A4纸摞起来大约有1000000厘米厚。
【点睛】熟练掌握商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。
31．20米
【分析】用1000除以250求出1000克里面有几个250克，再乘5即可解答。
【详解】1000÷250×5
＝4×5
＝20（米）
答：这捆铁丝长20米。
【点睛】本题还可以用250除以5求出1米重多少克，再用1000除以1米重多少克即可解答。
32．竖式见详解；商的变化规律；变成整数
【分析】除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；通过比较竖式算式和亮亮的算式，从而找出它们的共同点，那就是都要先把除数变为整数以后，再去计算。
【详解】
亮亮的想法：
在亮亮的算法中，横线上的这一步的依据是商的变化规律，你的竖式算式和亮亮的算式的共同点是先把除数变成整数，再计算。
【点睛】此题的解题关键是通过列竖式和商的变化规律，让学生更深刻的理解小数除法的算理。
33．6倍
【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；据此解答即可．
【详解】除数是20，增加100，是120，扩大了120÷20=6倍，要使商不变，被除数也要扩大6倍．
答：被除数应该要扩大6倍．
34．对，理由见详解
【分析】根据的计算过程可知，被除数和除数同时除以9，将算式简化为，再进行计算。这应是运用了商的变化规律。
【详解】佳佳的做法对，因为被除数和除数除以一个不为0的数，商不变。
【点睛】本题考查商的变化规律的灵活运用，商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。
35．商为8；余数为15；余数是原来的3倍。
【分析】根据商不变规律可知：如果被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外），则商不变，余数相应的也扩大相同的倍数，据此解答即可。
【详解】举例：
53÷6＝8……5
53×3＝159
6×3＝18
159÷18＝8……15
15÷5＝3
答：商是8，余数是15，余数是原来的3倍。
【点睛】此题考查了商不变的规律，关键是明确商和余数的变化规律即可。
36．150
【分析】根据商的变化规律可知，除数不变，被除数乘5，商乘5。被除数不变，除数除以2，商乘2。则如果被除数乘5，除数除以2，商应乘5，再乘2。据此解答。
【详解】15×5×2＝150
【点睛】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。
37．0.2
【分析】由于除数不变，被除数扩大10倍，商就扩大10倍，可得多的1.8是正确商的10－1倍，据此解答。
【详解】256÷25.6＝10
1.8÷（10－1）
＝1.8÷9
＝0.2
答：正确的商是0.2.
【点睛】解答本题的明确的是除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。
38．除法算式中，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。
22；40
【分析】根据算式400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16可以看出，是利用除法中被除数和除数同时乘一个不为0的数，商不变的规律，使算式的被除数和除数变成容易计算的成百成千的数。据此进行解答。
【详解】受到的启发：除法算式中，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。
550÷25
＝（550×4）÷（25×4）
＝2200÷100
＝22
1000÷25
＝（1000×4）÷（25×4）
＝4000÷100
＝40
【点睛】本题考查了学生对商不变的规律的掌握与运用。
39．亮亮；理由见解析
【分析】余数中的2在十位上，十位的2表示2个十，所以余数应是20，验证时先求出商与除数的积，再加余数。
【详解】740÷60＝12……20
60×12＋20
＝720＋20
＝740
答：亮亮说得对。
【点睛】在有余数的除法中，被除数＝商×除数＋余数。
40．原来的被除数为2600，余数为100。
【分析】根据商不变规律：如果被除数和除数同时扩大到原数的几倍或者缩小到原数的几分之几，则商不变，余数也要相应的同时扩大到原数的几倍或者缩小到原数的几分之几，据此解答即可。
【详解】根据分析可得，99÷99＝1；
则现在的余数为1，原来的余数为100；
被除数：500×5＋100
＝2500＋100
＝2600
答：原来的被除数为2600，余数为100。
【点睛】此题考查了商不变的规律，关键是明确：被除数＝除数×商＋余数。
41．不认同；见详解
【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数也乘或除以相同的数。
【详解】9700÷300＝97÷3，被除数和除数同时乘100，商不变。9700÷300＝97÷3符合商不变的规律；
97÷3＝32……1，被除数和除数同时乘100，余数也要乘100，9700÷300＝32……100。
所以我不认同聪聪的观点。
【点睛】熟练掌握商不变的规律是解题关键。运用商不变规律进行简单运算时，尤其要注意余数的变化。
42．①相等，例子见详解
②11条
③不相等，例子见详解
【分析】①令A＝4，B＝6，C＝2，代入数值计算，比较（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C是否相等。
②第一种方法：先求出总人数24＋20＝44（人），每条船乘坐4人，用总人数除以每条船乘坐的人数，求出共需要多少条船；第二种方法，分别计算出男生、女生各需要的船的条数，再相加。
③令C＝72，A＝18，B＝6，代入数值计算，比较C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B是否相等。
【详解】①令A＝4，B＝6，C＝2
（A＋B）÷C
＝（4＋6）÷2
＝10÷2
＝5
A÷C＋B÷C
＝4÷2＋6÷2
＝2＋3
＝5
所以（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等。
②第一种方法：
（24＋20）÷4
＝44÷4
＝11（条）
第二种方法：
24÷4＋20÷4
＝6＋5
＝11（条）
答：一共需要11条船。
③令C＝72，A＝18，B＝6
C÷（A＋B）
＝72÷（18＋6）
＝72÷24
＝3
C÷A＋C÷B
＝72÷18＋72÷6
＝4＋12
＝16
所以C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B不相等。
【点睛】本题属于探索类题目，可以发现：除以同一个数可以用分配律，被除数是同一个数则不能用分配律，除法的分配律不具有普遍适用性。
43．（1）对；因为她是根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。
（2）210÷42＝（210÷7）÷（42÷7）＝30÷6＝5
【分析】在计算三位数除以两位数时，为了计算简便，可使用商不变的规律进行计算，在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变；依此进行解答即可。
【详解】（1）小英这样做对，因为她是根据商不变的规律进行解答的，商不变的规律是在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变。
（2）210÷42
＝（210÷7）÷（42÷7）
＝30÷6
＝5
【点睛】熟练掌握商不变的规律是解答此题的关键。
44．错误；理由见解析
【分析】根据在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数；据此解答即可。
【详解】根据商不变的规律，计算被除数和除数末尾都有0的除法会更简便，把被除数和除数末尾都去掉相同个数的0，商不变，但余数会发生变化，去掉几个0，余数末尾就要添上几个0。由此可知，原式中给出的820÷50＝16……2计算错误，正确的应该在余数后面添上被除数和除数同时去掉的1个0，即820÷50＝16……20。
【点睛】本题主要考查商不变的规律在有余数除法中的灵活应用。
在除法中，若除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）儿；若被除数不变，除数来（或除以）几，商反而除以（或乘）几；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
这些都是商的变化规律，运用商的变化规律可以判断商的变化情况，也可以运用商不变的性质使一些除法计算简便。
行驶的路程/千米
200
400
600
800
行驶的时间/时
奇思：
300010230
↓
100
30＞25
答：李老师的钱够。
淘气：
300025
＝（30004）（254）
＝12000100
＝120（元）
120＞102
答：李老师的钱够。
妙想：
25102
＝251002
＝25002
＝5000（元）
3000＜5000
答：李老师的钱不够。
20－10＝10
25－15＝10
30－20＝10
行驶的路程/千米
200
400
600
800
行驶的时间/时
4
8
12
16