人教初中数学八年级上册期末测试卷（困难）（含解析）

这是一份人教初中数学八年级上册期末测试卷（困难）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.七边形内角和的度数为( )
A. 360°B. 900°C. 1080°D. 1260°
2.在△ABC中，∠B=25°，∠C=40°，P是边BC上一点，若△ABP为直角三角形，则∠PAC的度数为
( )
A. 25°B. 35°C. 25°或50°D. 25°或35°
3.如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是( )
A. AD+BC=ABB. ∠AOB=90°
C. 与∠CBO互余的角有2个D. 点O是CD的中点
4.如图，△AOB≌△COD，A是C的对应点，那么下列结论中，不一定正确的是( )
A. ∠B=∠D
B. ∠AOB=∠COD
C. AC=BD
D. AB=CD
5.(3分)如图，正ΔABC的边长为4，过点B的直线l⊥AB，且ΔABC与△A'BC'关于直线l对称，D为线段BC'上一动点，则AD+CD的最小值是
( )
A. 6B. 12C. 8D. 10
6.如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是( )
A. 12a+23bB. 12a+bC. a+12 bD. 32 a
7.若2×22×2n=210，则n等于( )
A. 7B. 4C. 2D. 6
8.已知长方形的面积是6a3+9a2−3ab，一边长是3a，则它的邻边长是( )
A. 3a2−b+2a2B. 2a2+3a−bC. b+3a+2a2D. 3a2−b+2a
9.代数式(x−2)0+1x−3有意义，字母x的取值范围是( )
A. x≠2或x≠3B. 22且x≠3D. x≠2且x≠3
10.计算21−m2−1m+1的结果是( )
A. 1m+1B. −1m+1C. m+3m2−1D. 11−m
11.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE−∠C其中正确的是
( )
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
12.如图，在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上，过点E作EF⊥BC于点F，延长CB至点G，使BG=2FC，连接EG交AB于点H，EP平分∠GEC，交AD的延长线于点P，连接PH，PB，PG，若∠C=∠EGC+∠BAC，则下列结论：
①∠APE=12∠AHE；②PE=HE；③AB=GE；④S△PAB=S△PGE．
其中正确的有( )
A. ①②③
B. ①②③④
C. ①②
D. ①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多边形的边数为____．
14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B= ．
15.(−8)2015×0.1252016= ______ ．
16.已知2xyx+2y=23，3yz2y−z=−9，5xyzxy−yz+3zx=157，则x2+y2+z2=___________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=50°，则∠A=_____度，∠P=_____度；
(2)∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由；
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ．
18.(本小题8分)
已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．
(1)如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______ ；
(2)如图②，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式；
(3)如图③，∠ACB=90°，点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)，请直接写出点A的坐标．
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意线段PQ，给出如下定义；线段PQ各点到y轴距离的最大值叫做线段PQ的“轴距”，记作WPQ，例如，P(1,−2)，Q(3,1)，则线段PQ的“轴距”为3，记作WPQ=3．
(1)若A(−1,3)，B(2,1)，则线段AB的“轴距”WAB=______；
(2)把过点(2,0)且垂直于x轴的直线记作直线x=2，点C(m,−1)、D(m+2,2)关于直线x=2的对称点分别为点E、F，连接CD和EF．
①若WEF=3，则m的值为______；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，以|WCD−WEF|的值总不变，请直接写出此时m的取值范围．
20.(本小题8分)
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2．
再将“A”还原，得原式=(x+y+1)2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：(a+b)(a+b−4)+4；
(2)求证：若n为正整数，则式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方．
21.(本小题8分)
数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为ba．
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为 .生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式 ，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为 .根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式” ．
(3)请结合(2)探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2.
22.(本小题8分)
小明和小红在一本数学资料书上看到这样一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+ c−2a|+(b+c−5)2=0，求b的取值范围.”
(1)小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度.”你知道小明是如何计算的吗?请帮他写出求解的过程．
(2)小红说：“我也看不出如何求b的取值范围，但我能用含b的式子表示c.”请帮小红写出过程．
(3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案.”你知道答案吗?请写出过程．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,3)，AB=BC，AB⊥BC，点B在x轴上．
(1)如图①，AC交x轴于点D，若∠DBC=10°，则∠ADB= ．
(2)如图①，若点B在x轴的正半轴上，点C的坐标为(1,−1)，求点B的坐标．
(3)如图②，若点B在x轴的负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM=45°，MF交直线AE于点M.若点B的坐标为(−1,0)，BM=5，求EM的长．
24.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，AD=BD=6厘米．
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，点P运动到BC的中点时，如果△BPD≌△CPQ，此时点Q的运动速度为多少．
(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点A(p,q)、B(m,n)(m≤n)满足是关于x的多项式x2+px+q能够因式分解为(x+m)(x+n)，则称点B是A的分解点．
例如A(3,2)、B(1,2)满足x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以B是A的分解点．
(1)在点A1(5,6)、A2(0,3)、A3(−2,0)中，请找出不存在分解点的点： ．
(2)点P、Q在纵轴上(P在Q的上方)，点R在横轴上，且点P、Q、R都存在分解点，若ΔPQR面积为6，请直接写出满足条件的ΔPOR的个数及每个三角形的顶点坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：七边形内角和的度数为(7−2)×180°=900°．
故选：B．
根据n边形内角和的度数为(n−2)×180°即可得到答案．
此题考查了多边形的内角和，熟练掌握n边形内角和公式是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查三角形的内角和定理，关键是分两种情况解答．
根据题意画出图形，进而利用三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：①如下图：
∵∠B=25°，∠C=40°，P是边BC上一点，
△ABP为直角三角形，当∠APB=90∘时，
∴∠PAC=90∘−40∘=50∘
②如下图：
△ABP为直角三角形，
当∠BAP=90∘时，
∴∠PAC=∠BAC−∠BAP
∵∠B=25°，∠C=40°，
∴∠BAC=180∘−25∘−40∘=115∘
∴∠PAC=∠BAC−∠BAP=115∘−90∘=25∘
∴∠PAC的度数为25°或50°
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，
∴AD=AE，BC=BE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO=AOAD=AE，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)，
∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，
同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，
∴∠AOB=12×180°=90°，故B选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；
∵OC=OD=OE，
∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵△AOB≌△COD，
∴∠B=∠D，∠AOB=∠COD，AB=CD，
即选项A、B、D都正确，不符合题意，
根据△AOB≌△COD不能推出AC=BD，应是AO=CO或BO=DO，即选项C错误，符合题意．
故选：C．
根据全等三角形的性质进行判断即可．
本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
5.【答案】C
【解析】连接 A'D ，先根据轴对称性得出△ A'BC' 也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出 CD=A'D ，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出 AD+A'D 取得最小值时，点 D 的位置，由此即可得出答案．
【解答】解：如图，连接 A'D ，
∵ΔABC 与△ A'BC' 关于直线 l 对称，
∴ △ A'BC'≅ΔABC ，
∴A'B=AB=4 ， ∠A'BC'=60∘ ，
∴∠CBD=180∘−∠ABC−∠A'BC'=60∘ ，
在 ΔBCD 和△ BA'D 中，
BC=BA'=4 ， ∠CBD=∠A'BD=60∘ ， BD=BD ，
∴ΔBCD≅ △ BA'D(SAS) ，
∴CD=A'D ，
∴AD+CD=AD+A'D
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点 D 与点 B 重合，即点 A ， D ， A' 共线时， AD+A'D 取得最小值，最小值为 AA'=AB+A'B=4+4=8 ，
即 AD+CD 的最小值为8．
故选： C ．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确找出 AD+A'D 取得最小值时，点 D 的位置是解题关键．
6.【答案】B
【解析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出△BAD≌△CAE，进而作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E'，此时AE'+FE'的值最小，最后依据△AEF周长的最小值=AF+FE'+AE'=AF+FM求值即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF= 12 a，BF=b，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)，
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E'，此时AE'+FE'的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM=AC，
∵BF⊥AC，
∴FM=BF=b，
∴△AEF周长的最小值=AF+FE'+AE'=AF+FM= 12 a+b，
故选：B．
本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出AE'+FE'的值最小．
7.【答案】A
【解析】解：∵2×22×2n=210，
∴1+2+n=10，
解得n=7，
故选：A．
根据同底数幂乘法的计算法则解答即可．
此题考查了同底数幂乘法的计算法则：底数不变，指数相加，熟记计算法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：(6a3+9a2−3ab)÷3a
=6a3÷3a+9a2÷3a−3ab÷3a
=2a2+3a−b．
故选：B．
利用整式的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意可得：x−2≠0，x−3≠0，
解得：x≠2且x≠3，
故选：D．
根据零指数幂，分式有意义的条件，列出不等式，求解即可．
本题考查零指数幂，分式有意义的条件，掌握零指数幂，分式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：21−m2−1m+1
=2(1+m)(1−m)−1m+1
=2(1+m)(1−m)−1−m(1+m)(1−m)
=1+m(1+m)(1−m)
=11−m．
故选：D．
根据异分母分式相加减法则计算，即可求解．
本题主要考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确;
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;
③证明2∠DBE=∠BAC−∠C，根据 ①的结论，证明结论正确;
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质判断即可．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
【解答】
解： ①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90∘，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90∘，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
①正确;
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确;
③∠ABD=90∘−∠BAC，
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90∘+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90∘+∠BAC，
∵∠CBD=90∘−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由 ①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠F，
∴∠F=12(∠BAC−∠C);
③正确;
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④错误;
综上，正确的有①②③．
故选A．
12.【答案】D
【解析】解：过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，
∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PM=PN，∠PAB=∠PAC，
∵PE平分∠GEC，PN⊥AC，PI⊥EH，
∴PI=PN，∠PEH=∠PEN，
∴PM=PN=PI，
∴∠PMH=∠PIH，
∵PH=PH，
∴∠PHM=∠PHI，
∴Rt△PMH≌Rt△PIH(HL)，
∴∠PHM=∠PHI，
设∠PEH=α，∠PAB=β，
∴∠PEN=α，∠BAN=β，
对于△APE，∠PEC=∠PAE+∠APE，
∴∠APE=α−β，
对于△AEH，∠HEC=∠BAC+∠AHE，
∴∠AHE=2α−2β，
∴∠APE=12∠AHE；故①正确；
∵∠AHE+∠MHE，∠PHM=∠PHI，
∴∠PHE=90°−α+β，
∴∠HPE=180°−α−(90°−α+β)=90°−β，
∴∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；
在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，
∵∠ECF=∠LCK，
∴△EFC≌△KLC(SAS)，
∴EF=LK，∠L=∠EFC=90°，
∵BG=2FC，FC=CL，
∴BG=FL，
∴FG=BL，
∴△GEF≌△BKL(SAS)，
∴∠EGF=∠KBC，GE=BK，
∵∠ACB=∠EGC+∠BAC，∠ACB=∠KBC+∠BKC，
∴∠BAC=∠BKC，
∴AB=BK，
∴GE=AB，故③正确；
∵S△PAB=12⋅AB⋅PM，S△PGE=12GE⋅PI，
又∵AB=GE，PM=PI，
∴S△PAB=S△PGE.故④正确．
故选：D．
过点P分别作GE，AB，AC的垂线，垂足分别为I，M，N，根据角平分线的性质定理可知，PM=PN=PI，易证PH平分∠BGE，即∠PHM=∠PHI.设∠PEH=α，∠PAB=β，由外角的性质可得∠APE=α−β，∠AHE=2α−2β，所以∠APE=12∠AHE；故①正确；由外角的性质可得∠PHE=90°−α+β，由三角形内角和可得，∠HPE=180°−α−(90°−α+β)=90°−β，所以∠PHE≠∠HPE，即PE≠HE；故②不正确；在射线AC上截取CK=EC，延长BC到点L，使得CL=FC，连接BK，LK，易证△EFC≌△KLC(SAS)，所以EF=LK，∠L=∠EFC=90°，易证FG=BL，所以△GEF≌△BKL(SAS)，所以∠EGF=∠KBC，GE=BK，由外角的性质可知，∠BAC=∠BKC，所以AB=BK=GE，故③正确；因为S△PAB=12⋅AB⋅PM，S△PGE=12GE⋅PI，且AB=GE，PM=PI，所以S△PAB=S△PGE.故④正确．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形外角的性质定理，作出辅助线，构造全等是解题关键．
13.【答案】5或6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数即可得解．
【解答】
解：
设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，少加的内角为180°−a，
则(n−2)⋅180°=600°−α+180°−α，
180°n−360°=780°−2α，
α=570°−90°n，
∵0°<α<180°
∴0°<570°−90°n<180°，
∴133∵n只能为整数，
∴n=5或6，
故答案为：5或6．
14.【答案】45°或30°
【解析】解：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=12∠CFD=22.5°，∠DEB=2x，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．
此时∠B=2x=45°；
图1说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠EDB=∠DEB=2x，∠B=180°−4x，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°−4x，
解得x=37.5°，
此时∠B=180°−4x=30°．
图2说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=12(180°−2x)，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+12(180°−2x)，
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述，∠B=45°或30°．
故答案为：45°或30°．
先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
15.【答案】−0.125
【解析】解：原式=−82015×0.1252015×0.125=−0.125，
故答案为：−0.125．
根据幂的乘方法则把原式变形，根据积的乘方法则计算即可．
本题考查的是积的乘方和幂的乘方运算，掌握积的乘方法则和幂的乘方法则是解题的关键．
16.【答案】11
【解析】【试题解析】
【分析】
本题是一道多元高次方程组，考查了利用倒数法化简降次，换元法的运用，加减消元法和代入消元法的运用以及求代数值的方法，首先把已知的每一个等式转化成其倒数形式，再进行约分化简，然后解方程组，为了使解题简单，使用换元法设1x=A,1y=B,1z=C,最后解一道关于A、B、C的三元一次方程组求出其A、B、C值，从而可求出x、y、z，最后代入a2+b2+c2中即可求解．
【解答】
解：原方程组变形为
x+2y2xy=322y−z3yz=−19xy−yz+3zx5xyz=715,
方程组化简为：12×1y+1x=3223×1z−13×1y=−1915×1z−15×1x+35×1y=715,
设1x=A,1y=B,1z=C,
原方程变形为：
12B+A=3223C−13B=−1915C−15A+35B=715,
解得：A=1B=1C=13,
所以有x=1y=1z=3,
经检验，所得未知数的值都满足分式分母不等于0．
x2+y2+z2=1+1+9=11．
故答案为11．
17.【答案】解：【探究】(1)50，115；
(2) ∠P−12∠A=90°；理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠P+12(∠ABC+∠ACB)=180°，
∴∠P+12(180°−∠A)=180°，
∴∠P−12∠A=90°；
故答案为：∠P−12∠A=90°；
【应用】∠Q=90°−12∠A．
【解析】【探究】
解：(1)∵∠ABC=80°，∠ACB=50°，
∴∠A=1880°−80°−50°=50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP=12∠ABC，∠BCP=12∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP=12(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°，
∴∠P=180°−65°=115°，
故答案为：50，115；
(2)见答案；
【应用】
解：∠Q=90°−12∠A.理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ=12(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC，
∠BCQ=12(180°−∠ACB)=90°−12∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q=180°−(∠CBQ+∠BCQ)=180°−(90°−12∠ABC+90°−12∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)，
又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠Q=12(180°−∠A)=90°−12∠A；
故答案为：∠Q=90°−12∠A．
【探究】(1)由三角形内角和定理进行计算即可；
(2)由角平分线定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得∠CBQ=90°−12∠ABC，∠BCQ=90°−12∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
18.【答案】(1)DE=BD+CE；
(2)DE=BD+CE的数量关系不变，
理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE=∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEABA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE．
(3)过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)，
∴OC=2，ON=1，BN=2，
∴CN=3，
由(1)可知，△ACM≌△BCN，
∴AM=CN=3，CM=BN=2，
∴OM=OC+CM=4，
∴点A的坐标为(−4,3)．
【解析】(1)证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AD=CE，BD=AE，结合图形证明结论．
∵∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEABA=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE，
(2)根据三角形的外角性质得到∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．
(3)过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据(1)的结论得到△ACM≌△BCN，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19.【答案】(1)2；
(2)①1或5；
②m≥3或m≤1．
【解析】解：(1)如图1中，
∵线段AB上点B到y轴的距离=2最大，
∴WAB=2．
故答案为：2；
(2)①如图2−1中，
∵C(m,−1)，D(m+2,2)，
∴C，D关于直线x=2的对称点E(4−m,−1)，F(2−m,2)，
∵WEF=3，
∴4−m=3，
∴m=1．
如图2−2中，∵WEF=3，
∴2−m=−3，
∴m=5．
综上所述，满足条件的m的值为1或5；
故答案为：1或5；
②如图3−1中，
当2−m≤−1时，即m≥3，|WCD−WEF|=|m+2−(m−2)|=4=定值，
如图3−2中，当m≤−1时，|WCD−WEF|=|−m−(4−m)|=4=定值．
综上所述，满足条件的m的范围为：m≥3或m≤−1．
(1)画出图形，根据PQ的“轴距”的定义求解即可；
(2)①分两种情形，画出图形，构建方程求解即可；
②分两种情形，构建不等式求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段PQ的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义．
20.【答案】(1)解：设A=a+b，
∴(a+b)(a+b−4)+4
=A(A−4)+4
=A2−4A+4
=(A−2)2，
∴(a+b)(a+b−4)+4=(a+b−2)2；
(2)证明：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1，
设B=n2+3n，
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=B(B+2)+1
=B2+2B+1
=(B+1)2
∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方．
【解析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，整体思想、换元思想是解题的关键．
(1)设A=a+b，将所求的式子变形为A2−4A+4，再由完全平方公式分解因式即可；
(2)先将所求的式子变形为(n2+3n)(n2+3n+2)+1，设B=n2+3n，则原式=(n2+3n+1)2，根据n为正整数，可知n2+3n+1也为正整数，则式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方．
21.【答案】解：(1)ba+m，ba+m(2)b+ma+m，b+ma+m>ba;
(3)证明：由(2)可知c+ca+b+c>ca+b，a+aa+b+c>ab+c，b+ba+b+c>ba+c
∴c+ca+b+c+a+aa+b+c+b+ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∴2c+2a+2ba+b+c>ca+b+ab+c+ba+c
∵2c+2a+2ba+b+c=2
∴ca+b+ab+c+ba+c<2．
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
(1)根据题意列出代数式，即可解答;
(2)根据题意列出代数式，即可解答;
(3)由(2)可知c+ca+b+c>ca+b，a+aa+b+c>ab+c，b+ba+b+c>ba+c，再根据不等式的基本性质，即可解答．
【解答】
解：(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为ba+m．
ba+m−ba=ab−ba+maa+m=−bmaa+m<0
则ba+m生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式ba+m(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为b+ma+m;
∵b+ma+m−ba=ab+m−ba+maa+m=ma−baa+m>0
∴b+ma+m>ba．
根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”b+ma+m>ba．
(3)见答案．
22.【答案】解：(1)|b+c−2a|+(b+c−5)2= 0，
∴b+c−2a=0且b+c−5=0，
∴2a=5，
解得a=52；
(2)|b+c−2a|+(b+c−5)2=0，
∴b+c−2a=0且b+c−5=0，
由b+c−5=0，
得c=5−b；
(3)由三角形的三边关系，得：
当5−b≥52，即b≤52时，b+52>5 −b，
∴54当5−b<52，即b>52时，5−b+52> b，
∴52∴b的取值范围为54
【解析】本题考查三角形的三边关系，非负数的性质，已知三角形的两边，则第三边a的取值范围是“两边之差(1)根据平方和绝对值的非负性，可得b+c−2a=0且b+c−5=0，把b+c看作一个整体，两个方程相减即可得a的值．
(2)由b+c−5=0，直接移项，可得用含b的代数式表示c的式子．
(3)由(1)(2)可知，a=52，c=5−b，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，列不等式组，求出b的取值范围．
23.【答案】【小题1】
55°
【小题2】
解：如图①，过点A作AG⊥x轴，过点C作CH⊥x轴，垂足分别为G，H．
∵AG⊥x轴，CH⊥x轴，
∴∠AGB=∠BHC=90°．
∴∠GAB+∠ABG=90°．
∵AB⊥BC，
∴∠HBC+∠ABG=90°．
∴∠GAB=∠HBC．
在△AGB和△BHC中， ∠AGB=∠BHC,∠GAB=∠HBC,AB=BC,
∴△AGB≌△BHC．
∴BG=CH．
∵A(3,3)，C(1,−1)，
∴OG=3，CH=1．
∴OB=OG+BG=OG+CH=3+1=4．
∴B(4,0)
【小题3】
解：如图②，在AM上截取AN=OB，连接FN．
∵A(3,3)，AE⊥x轴，AF⊥y轴，
∴易得OF=AF=AE=3，∠AFO=∠A=90°．
在△BOF和△NAF中， OB=AN,∠BOF=∠A=90∘,OF=AF,
∴△BOF≌△NAF．
∴∠BFO=∠NFA，BF=NF．
∵∠BFM=∠BFO+∠OFM=45°，
∴∠NFA+∠OFM=45°．
∵∠AFO=90°，
∴∠NFM=∠AFO−(∠NFA+∠OFM)=90°−45°=45°．
∴∠BFM=∠NFM．
在△BFM和△NFM中， BF=NF,∠BFM=∠NFM,FM=FM,
∴△BFM≌△NFM．
∴BM=NM．
∵BM=5，B(−1,0)，
∴MN=5，BO=AN=1．
∴EM=MN+AN−AE=5+1−3=3．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
24.【答案】解：(1)①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3厘米，
∵PC=BC−BP=9−3=6(厘米)，
∴PC=BD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
BP=CQ∠B=∠CBD=PC,
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
②∵P的速度不等于Q的速度，
∴BP≠CQ，
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=4.5厘米，
∵∠B=∠C，
若△BPD≌△CPQ，
只能是CQ=BD=6厘米，
点P的运动时间t=4.53=1.5(秒)，
此时Q的运动速度是61.5=4(厘米/秒)．
(2)因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，
即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇．
依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24，
此时P运动了24×3=72(厘米)，
又因为△ABC的周长为12+12+9=33(厘米)，72=33×2+6，
所以点P，Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【解析】(1)①根据SAS即可证明．
②若△BPD≌△CPQ，只能是CQ=BD=6，根据速度，时间之间的关系解决问题即可．
(2)因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，构建方程即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】【小题1】
A2
【小题2】
∵P ， Q 在纵轴上， P ， Q 都存在分解点，
∴P ， Q 的纵坐标只能是0， −1 ， −4 ， −16 ，
当 R1(1,0) 时， ∵ΔPQR 的面积为6，
∴PQ=12 ，
∵P 在 Q 的上方，
∴P1(0,−4) ， Q1(0,−16) ，
同法当 R2(−1,0) 时，可得 P2(0,−4) ， Q2(0,−16) ，
当 R3(3,0) 时，可得 P3(0,0) ， Q3(0,−4) ，不符合题意；
当 R4(−3,0) 时，可得 P4(0,0) ， Q4(0,−4) ，不符合题意；
当 R5(4,0) 时，可得 P5(0,−1) ， Q5(0,−4) ，
当 R6(−4,0) 时，可得 P6(0,−1) ， Q6(0,−4) ，
当 R7(12,0) 时，可得 P7(0,0) ， Q7(0,−1) ，不符合题意；
当 R8(−12,0) 时，可得 P8(0,−1) ， Q8(0,−4) ，
综上所述， ΔPQR 的个数为4．

【解析】1.
解：(1)对于 A1(5,6) ， x2+5x+6=(x+2)(x+3) ，
故 B1(2,3) 是 A1 的分解点；
对于 A3(−2,0) ， x2−2x=x(x−2) ，
故 B3(−2,0) 是 A3 的分解点；
∵x2+3 无法分解，
∴ 点 A2 不存在分解点，
故答案为： A2 ；
2. 因为 P ， Q 在纵轴上， P ， Q 都存在分解点，推出 P ， Q 的纵坐标只能是0， −1 ， −4 ， −16 ，当 R1(1,0) 时，由 ΔPQR 的面积为6，推出 PQ=12 ，由 P 在 Q 的上方，推出 P1(0,−4) ， Q1(0,−16) ，同法可求其余各个点．