2022年广东省东莞外国语学校中考数学一模试卷

这是一份2022年广东省东莞外国语学校中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，最小的数的是（ ）
A．7B．3.14C．﹣4D．﹣π
2．（3分）在春节假日期间，旅游局重点监测147家旅游景区，累计接待游客758.3万人次，其中“758.3万”用科学记数法表示为（ ）
A．7.583×106B．7.583×107C．75.83×106D．75.83×107
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．8−2=2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．（3分）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”，“牛”，“羊”，“马”，“鸡”，“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（ ）
A．羊B．马C．鸡D．狗
5．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．全国中学生每天完成作业时间的调查
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．对“新型冠状病毒”期间某航班内全体乘客人员体温情况的调查
6．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DEC．AB∥DED．BF＝EC
7．（3分）已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m的值等于（ ）
A．5B．﹣1C．3D．4
8．（3分）若﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，则mn的值是（ ）
A．2B．0C．4D．1
9．（3分）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝40°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线V＝x与双曲线y=1x交于A、B两点，P是以点C（﹣4，0）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（ ）
A．2B．1C．102D．10+12
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．（4分）分式方程：12x−23−x=0的解是 ．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，则tanA的值是 ．
14．（4分）抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ．
15．（4分）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：
①abc＜0；
②0＜−b2a＜12；
③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有 ．（填序号）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分，）
18．（6分）计算：（π﹣3.14）0﹣2cs45°−16+（14）﹣1．
19．（6分）先化简，再求值：（1+3x−1x+1）÷xx2−1，然后再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
20．（6分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，校教务处随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有多少人？
（2）求出图2中圆心角α的度数，并将图1条形统计图补充完整．
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有多少人．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
（1）求证：△HCE是等腰三角形．
（2）若AB＝4，求HD的长度．
22．（8分）某企业准备生产一批航天模型玩具投放市场，若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同．
（1）求该航天玩具模型每件的定价与成本价．
（2）若现按定价销售这种航天模型玩具600件，销售一部分后发现生意火爆，又将每件航天玩具模型提价10元，很快销售完，要想利润不低于22000元，提价前应最多销售多少件玩具？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b与y轴交于点P（0，3），与x轴交于点Q（4，0），与反比例函数y=ax相交于点M，N两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）作∠OPQ的角平分线PD交x轴于点D，连接DM，若PM＝MD，求a的值．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠BCD＝90°，以BC为直径作⊙O恰好与AD相切于点M．
（1）求证：AB+CD＝AD．
（2）连接OA、OD，求证：△ABO∽△OCD．
（3）如图2，若E为OB的中点，连接DE并延长交AB的延长线于F，当BE＝BF时，求出BFAB的值．
25．（10分）如图1，过原点的抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（3，3），与x轴的另一交点记为B，在x轴上有一定点C（103，0），抛物线上有一动点P在A、B之间运动，过点p且平行于x轴的直线交OA于点D，交AC于点E，AP的延长线交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接PC，当PC∥OA时，求点P的坐标．
（3）如图2，在第（2）问的条件下，抛物线上有一动点Q在O、A之间运动，过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分，当这两部分的面积比为1：3时，直接写出点Q的纵坐标．
2022年广东省东莞外国语学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，最小的数的是（ ）
A．7B．3.14C．﹣4D．﹣π
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣4＜﹣π＜7＜3.14，
∴所给的实数中，最小的数的是﹣4．
故选：C．
2．（3分）在春节假日期间，旅游局重点监测147家旅游景区，累计接待游客758.3万人次，其中“758.3万”用科学记数法表示为（ ）
A．7.583×106B．7.583×107C．75.83×106D．75.83×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：758.3万＝7583000＝7.583×106．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．8−2=2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用二次根式的运算，幂的乘方，完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵3，2不是同类二次根式，不能合并，
∴A选项的结论不正确；
∵（﹣2a2）3＝﹣8a6，
∴B选项的结论不正确；
∵8−2=22−2=2，
∴C选项的结论正确；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的结论不正确．
故选：C．
4．（3分）中国讲究五谷丰登，六畜兴旺，如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有六畜：“猪”，“牛”，“羊”，“马”，“鸡”，“狗”，将其围成一个正方体后，则与“牛”相对的是（ ）
A．羊B．马C．鸡D．狗
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“猪”相对的字是“羊”；
“马”相对的字是“鸡”；
“牛”相对的字是“狗”．
故选：D．
5．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对华为某型号手机电池待机时间的调查
B．全国中学生每天完成作业时间的调查
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查
D．对“新型冠状病毒”期间某航班内全体乘客人员体温情况的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．对华为某型号手机电池待机时间的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B．全国中学生每天完成作业时间的调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C．对全国中学生观看春节电影《长津湖之水门桥》情况调查，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
D．对“新型冠状病毒”期间某航班内全体乘客人员体温情况的调查，适合采用全面调查方式，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DEC．AB∥DED．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（3分）已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则m的值等于（ ）
A．5B．﹣1C．3D．4
【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出m的值．
【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
则b=1k+b=3，
解得：k=2b=1，
故一次函数解析式为：y＝2x+1，
则x＝2时，y＝2×2+1＝5．
故m＝5．
故选：A．
8．（3分）若﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，则mn的值是（ ）
A．2B．0C．4D．1
【分析】依据同类项的相同字母指数相同列方程求解即可．
【解答】解：单项式﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，
∴m＝2，2+n＝4，
∴m＝2，n＝2．
∴mn＝22＝4．
故选：C．
9．（3分）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝40°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOA，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝40°，
∴∠BOA＝2∠C＝80°，
∵OA＝OB
∴∠BAD=12×（180°﹣80°）＝50°，
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线V＝x与双曲线y=1x交于A、B两点，P是以点C（﹣4，0）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（ ）
A．2B．1C．102D．10+12
【分析】确定OM是△ABP的中位线，则求线段OM最大值，只要求得线段BP的最大值即可．
【解答】解：连接BP，点O是AB的中点，则OM是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线时，PB最大，则OM=12BP最大，
∵直线V＝x与双曲线y=1x交于A、B两点，
∴B（﹣1，﹣1），
∵C（﹣4，0），
∴BC=(−1+4)2+(−1−0)2=10，
∵半径长为1，
∴BP的最大值为10+1，
∴OM的最大值为：10+12，
故选：D．
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
12．（4分）分式方程：12x−23−x=0的解是 x=35 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：12x−23−x=0，
3﹣x﹣4x＝0，
解得：x=35，
检验：当x=35时，2x（3﹣x）≠0，
∴x=35是原方程的根，
故答案为：x=35．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=12，则tanA的值是 33 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA=12，
∴∠A＝30°，
∴tanA＝tan30°=33，
故答案为：33．
14．（4分）抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣1） ．
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣1．
所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）．
故答案是：（1，﹣1）．
15．（4分）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 5+53 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE=12AD＝5，
∴AE=AD2−DE2=102−52=53，
∴△DEF周长＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+53，
故答案为：5+53．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=5，BC＝2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 1−π4 ．
【分析】先根据勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．
【解答】解：根据题意可知AC=AB2−BC2=(5)2−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1﹣（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，
故答案为：1−π4．
17．（4分）如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：
①abc＜0；
②0＜−b2a＜12；
③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根．
其中结论正确的有 ②④ ．（填序号）
【分析】结合二次函数的图象，利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判定即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴−b2a＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0．
∴①的结论不正确；
∵函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+m2，
∵1＜m＜2，
∴0＜m−12＜12．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a，
∴0＜−b2a＜12．
∴②的结论正确；
∵点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，
A（﹣2，y1）到抛物线的对称轴的距离大于B（2，y2）到抛物线的对称轴的距离，
∴y1＞y2，
∴③的结论不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0，必有两个不相等的实数根，
∴④的结论正确，
结论正确的有：②④，
故答案为：②④．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分，）
18．（6分）计算：（π﹣3.14）0﹣2cs45°−16+（14）﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣2×22−4+4
＝1−2．
19．（6分）先化简，再求值：（1+3x−1x+1）÷xx2−1，然后再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再结合分式有意义的条件，选取合适的整数x的值，代入求值．
【解答】解：原式＝（x+1x+1+3x−1x+1）⋅(x+1)(x−1)x
=x+1+3x−1x+1⋅(x+1)(x−1)x
＝4x﹣4，
∵（x+1）（x﹣1）≠0，且x≠0，
∴x≠±1且x≠0，
又∵﹣2＜x＜3，
∴整数x可以取2，
当x＝2时，原式＝4×2﹣4＝4．
20．（6分）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，校教务处随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数有多少人？
（2）求出图2中圆心角α的度数，并将图1条形统计图补充完整．
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有多少人．
【分析】（1）根据1小时的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用0.5小时的人数除以抽查的人数，再乘以360度，即可求出圆心角α的度数；用1.5小时的人数所占的百分比乘以抽查的人数即可求出1.5小时的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时所占的百分比，即可求出该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数．
【解答】解：（1）根据题意得：12÷30%＝40（人），
答：本次调查的学生人数有40人；
（2）图2中圆心角α的度数是：360°×640=54°，
1.5小时的人数是：35%×40＝14（人），
补图如下：
（3）根据题意得：600×14+840=330（人），
答：该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有330人．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H．
（1）求证：△HCE是等腰三角形．
（2）若AB＝4，求HD的长度．
【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠BEC＝∠ECD，根据翻折可得∠BEC＝∠GEC，进一步可得∠ECD＝∠GEC，即可得证；
（2）设HD＝x，根据正方形的性质，可得HC＝4+x，HG＝2+x，在△HGC中根据勾股定理，可得（x+4）2＝42+（x+2）2，解方程即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ECD，
根据翻折，可得∠BEC＝∠GEC，
∴∠ECD＝∠GEC，
∴HE＝HC，
∴△HCE是等腰三角形；
（2）设HD＝x，
∵AB＝4，
∴BC＝CD＝4，
∵E为AB的中点，
∴EB＝2，
根据翻折，GC＝BC＝4，EG＝EB＝2，
∵HC＝4+x，
∴HE＝4+x，
∴HG＝4+x﹣2＝2+x，
在Rt△HGC中根据勾股定理，
得（x+4）2＝42+（x+2）2，
解得x＝1，
∴HD＝1．
22．（8分）某企业准备生产一批航天模型玩具投放市场，若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同．
（1）求该航天玩具模型每件的定价与成本价．
（2）若现按定价销售这种航天模型玩具600件，销售一部分后发现生意火爆，又将每件航天玩具模型提价10元，很快销售完，要想利润不低于22000元，提价前应最多销售多少件玩具？
【分析】（1）设该航天玩具模型每件的定价为m元，成本价为n元，根据“若按定价销售该玩具，每件可获利30元；若按定价的八折销售该玩具6件与将定价降低10元销售该玩具3件获得利润相同”建立方程组，求解即可；
（2）设提价前应销售x件玩具，根据利润不低于22000元，建立不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设该航天玩具模型每件的定价为m元，成本价为n元，
根据题意得，m−n=306(0.8m−n)=3×(30−10)，解得m=100n=70，
∴该航天玩具模型每件的定价为100元，成本价为70元；
（2）设提价前应销售x件玩具，则提价后销售（600﹣x）件玩具，
根据题意可知，30x+（30+10）×（600﹣x）≥22000，
解得，x≤200，
∴提价前应最多销售200件玩具．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b与y轴交于点P（0，3），与x轴交于点Q（4，0），与反比例函数y=ax相交于点M，N两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）作∠OPQ的角平分线PD交x轴于点D，连接DM，若PM＝MD，求a的值．
【分析】（1）将P（0，3），Q（4，0）代入y＝kx+b，解方程即可；
（2）由角平分线的定义和等腰三角形的性质得DM∥PO，则△MDQ∽△POQ，得MDPO=MOPQ，可得MD，QD的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）将P（0，3），Q（4，0）代入y＝kx+b得：
b=34k+b=0，
∴b=3k=−34，
∴一次函数的解析式为y=−34x+3；
（2）∵PD平分∠OPQ，PM＝MD，
∴∠OPD＝∠DPQ＝∠PDM，
∴DM∥PO，
∴∠MDQ＝∠POQ＝90°，
在Rt△POQ中，PQ=PO2+OQ2=5，
设PM＝MD＝x，
∴MQ＝5﹣x，
∵DM∥PO，
∴△MDQ∽△POQ，
∴MDPO=MOPQ，
∴x3=5−x5，
∴x=158，
∵DM∥OP，
∴ODOQ=PMPQ，
∴OD4=85，
∴OD=32，
∴M（32，158），
∴a=158×32=4516．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠BCD＝90°，以BC为直径作⊙O恰好与AD相切于点M．
（1）求证：AB+CD＝AD．
（2）连接OA、OD，求证：△ABO∽△OCD．
（3）如图2，若E为OB的中点，连接DE并延长交AB的延长线于F，当BE＝BF时，求出BFAB的值．
【分析】（1）连接OM，求得AB与CD都与⊙O相切，再根据切线长定理求解即可；
（2）连接OA、OD，根据全等三角形的性质得出，∠AOB＝∠AOM，∠COD＝∠MOD，进而得到∠BAO＝∠COD，结合∠ABO＝∠DCO＝90°，即可判定△ABO∽△OCD；
（3）作AG⊥CD于点G，根据题意得到△BEF是等腰直角三角形，进而得到△DCE是等腰直角三角形，则CD＝CE，设BE＝BF＝x，AB＝y，CE＝CD＝3x，AD＝y+3x，BC＝AG＝4x，DG＝3x﹣y，AF＝x+y，根据勾股定理得到y=43x，据此即可得解．
【解答】（1）证明：连接OM，
∵∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵AB∥CD，
∴BC⊥AB，
∴AB与CD都与⊙O相切，
∵⊙O与AD相切于点M，
∴AB＝AM，DC＝DM，
∴AB+CD＝AM+DM＝AD；
（2）证明：连接OA、OD，
在Rt△ABO和Rt△AMO中，
OA=OAOB=OM，
∴Rt△ABO≌Rt△AMO（HL），
∴∠AOB＝∠AOM，
同理Rt△CDO≌Rt△MDO（HL），
∴∠COD＝∠MOD，
∵∠AOM+∠MOD+∠AOB+∠COD＝180°，
∴2（∠AOM+∠MOD）＝180°，
∴∠AOM+∠MOD＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝90°，
∵∠AOB+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠COD，
又∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴△ABO∽△OCD；
（3）解：∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BFE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠BFE＝45°，
又∵∠DCO＝90°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CD＝CE，
作AG⊥CD于点G，
∵AG⊥CD，BC⊥CD，
∴AG∥BC，
∵AB∥CD，
∴AB＝CG，AG＝BC，
设BE＝BF＝x，AB＝y，
∵E为OB的中点，
∴CE＝CD＝3x，
∴AD＝AB+CD＝y+3x，BC＝AG＝4x，DG＝CD﹣CG＝3x﹣y，AF＝x+y，
在Rt△ADG中，DG2+AG2＝AD2，
∴（3x﹣y）2+（4x）2＝（y+3x）2，
∴y=43x，
∴BFAB=xy=34．
25．（10分）如图1，过原点的抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（3，3），与x轴的另一交点记为B，在x轴上有一定点C（103，0），抛物线上有一动点P在A、B之间运动，过点p且平行于x轴的直线交OA于点D，交AC于点E，AP的延长线交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接PC，当PC∥OA时，求点P的坐标．
（3）如图2，在第（2）问的条件下，抛物线上有一动点Q在O、A之间运动，过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分，当这两部分的面积比为1：3时，直接写出点Q的纵坐标．
【分析】（1）运用待定系数法设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，把O（0，0）代入即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，根据PC∥OA，可求得直线PC的解析式为y＝x−103，联立求解即可得出点P的坐标；
（3）过点P作PD∥x轴，交OA于点D，可求得S△OAP＝5，设Q（x，n），且n＞0，当0＜n≤53时，设过点Q且平行于x轴的直线交OA于点M，交OP于点N，如图2，求出点M、N的坐标，可得MN＝2n，S△OMN=12×2n×n＝n2，再由题意可得S△OMNS△OAP=14，建立方程求解即可得出答案；当53＜n＜3时，设过点Q且平行于x轴的直线交OA于点M，交AP于点N，如图3，可得MN=−52n+152，S△AMN=54（n﹣3）2，由题意可得S△AMNS△OAP=14，即4S△AMN＝S△OAP，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（3，3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3，
∵该抛物线经过原点O（0，0），
∴0＝a（0﹣3）2+3，
解得：a=−13，
∴y=−13（x﹣3）2+3=−13x2+2x，
故该抛物线的解析式为y=−13x2+2x．
（2）设直线OA的解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：3k＝3，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
∵PC∥OA，
∴设直线PC的解析式为y＝x+b，把C（103，0）代入得：103+b＝0，
解得：b=−103，
∴直线PC的解析式为y＝x−103，
由−13x2+2x＝x−103，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝5，
∴P（5，53）．
（3）过点P作PD∥x轴，交OA于点D，
∵P（5，53），直线OA的解析式为y＝x，
∴D（53，53），
∴PD＝5−53=103，
∴S△OAP=12DP×3=12×103×3＝5，
设Q（x，n），且n＞0，
当0＜n≤53时，设过点Q且平行于x轴的直线交OA于点M，交OP于点N，如图2，
∵直线OA的解析式为y＝x，
∴M（n，n），
设直线OP的解析式为y＝mx，
则5m=53，
解得：m=13，
∴直线OP的解析式为y=13x，
∴N（3n，n），
∴MN＝3n﹣n＝2n，
∴S△OMN=12×2n×n＝n2，
∵过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分的面积比为1：3，
∴S△OMNS△OAP=14，
∴n25=14，
∵n＞0，
∴n=52；
当53＜n＜3时，设过点Q且平行于x轴的直线交OA于点M，交AP于点N，如图3，
设直线AP的解析式为y＝dx+e，
则3d+e=35d+e=53，
解得：d=−23e=5，
∴直线AP的解析式为y=−23x+5，
∴N（−32n+152，n），
∴MN=−32n+152−n=−52n+152，
∴S△AMN=12×（−52n+152）×（3﹣n）=54（n﹣3）2，
∵过点Q且平行于x轴的直线把△OAP分割为两部分的面积比为1：3，
∴S△AMNS△OAP=14，即4S△AMN＝S△OAP，
∴4×54（n﹣3）2＝5，
解得：n＝4或2，
∵53＜n＜3，
∴n＝2；
综上所述，点Q的纵坐标为52或2．
x
0
1
2
y
1
3
m
x
0
1
2
y
1
3
m