2023年广东省东莞市宏远外国语学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省东莞市宏远外国语学校中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省东莞市宏远外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  年月日，工业和信息化部负责人在“世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成基站近万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设网络的国家．将数据万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的名学生的读书册数进行调查，结果如右表：
根据统计表中的数据，这名同学读书册数的众数，中位数分别是(    )册数册人数人 A. ， B. ， C. ， D. ，5.  关于的一元二次方程的两实数根，，满足，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 或6.  已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点，若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 10.  已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点下列说法正确的是(    )
线段的长度为；抛物线的对称轴为直线；是此抛物线的对称轴上的一个动点，当点坐标为时，的值最大；若是轴上的一个动点，是此抛物线上的一个动点，如果以，，，为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点有个．
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.  不透明袋子中装有个红球，个黑球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是______ ．12.  因式分解：______．13.  关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______．14.  若关于的不等式组有且仅有个整数解，的取值范围是______ ．15.  一个多边形的内角和与外角和的总和为，则这个多边形的边数为______ ．16.  如图，是半圆的直径，弦，相交于点，且，是一元二次方程的两根，则是______ ．
17.  如图，直线与轴交于点，与双曲线在第三象限交于、两点，且；下列等边三角形，，，的边，，，在轴上，顶点，，，在该双曲线第一象限的分支上，则 ______ ，前个等边三角形的周长之和为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
计算：．19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．20.  本小题分
成都“”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为已知建筑物的高约为米，请计算观景台的高的值．
结果精确到米；参考数据：，，
21.  本小题分
为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：优秀、良好、合格、不合格四个等级小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

本次抽样调查的样本容量是______ ，请补全条形统计图；
已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
该校共有名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．22.  本小题分
某运输公司有、两种货车，辆货车与辆货车一次可以运货吨，辆货车与辆货车一次可以运货吨．
请问辆货车和辆货车一次可以分别运货多少吨？
目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排、两种货车将全部货物一次运完、两种货车均满载，其中每辆货车一次运货花费元，每辆货车一次运货花费元请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．23.  本小题分
如图，在四边形中，，交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点．
求的值；
若，求证：四边形是矩形．
24.  本小题分
如图，是的外接圆，为直径，点为外一点，且，连接交于点，延长交于点．
证明：；
若，证明：是的切线；
在条件下，连接交于点，连接，若，求的长．
25.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的函数表达式；
如图，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
如图，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使∽若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴两旁的部分可以重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．  2.【答案】 【解析】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确；
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：万，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：因为共有个数据，
所以中位数为第、个数据的平均数，即中位数为，
由表格知数据出现了次，次数最多，所以众数为．
故选：．
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 5.【答案】 【解析】解：由题意得，
，
关于的一元二次方程的两实数根，，满足，
则，，
，解得或舍去，
，

，
原式．
故选：．
先根据根的判别式求得的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而求得或，从而求得，把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 6.【答案】 【解析】解：反比例函数中的，
该双曲线经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限即可得到答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
根据，，求出，，并利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出四边形的面积．
本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 8.【答案】 【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
，
∽，
，
，
则，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：如图，作于点，
由折叠可得：≌．
，，，
四边形为矩形，
，
，
又，
，，
在和中，
，
≌．
，
设，则，
在直角三角形中，由勾股定理有：，
即，解得：．
故．
故选：．
作于点，由折叠得，，再用”“证明≌得，在直角三角形中使用勾股定理建立方程求解即可．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并在直角三角形中运用勾股定理建立方程求解是解答此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点，
时，，当时，则，解得，，
，，，
，，
，故说法正确；
，
抛物线的对称轴为直线，故说法正确；
，，
直线为，
把代入得，，
当点坐标为时，的值最大，故说法错误；
当点在轴上方时，，则或，
当点在轴下方时，，则，
综上所述：点的坐标分别是或或，共个，故说法错误；
故选：．
求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据勾股定理求得，即可判断；根据对称轴方程求得对称轴，即可判断；求得直线的解析式，求得直线与对称轴的交点即可判断；分两种情况讨论根据平行四边形的性质求得的坐标，即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定，此题综合性强，有一定的难度．
 11.【答案】 【解析】解：袋子中共有个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为，
从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，
故答案为：．
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 12.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 13.【答案】且 【解析】解：去分母得：，
解得：，
关于的分式方程的解是正数，
，
，
，
，
，
的取值范围是且．
故答案为：且．
首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于的不等式，从而求得的范围．
本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
关于的不等式组有且仅有个整数解，
，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设多边形的边数为，根据题意列方程得，
，
，
．
故答案为：．
依题意，多边形的内角与外角和为，多边形的外角和为，根据内角和公式求出多边形的边数．
考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
解得，，
即，．
如图，连接，

，，
∽，
．
为半圆的直径，
．
．
故答案为：．
连接，解方程求出，的长，证∽，根据相似三角形的性质得到与的关系，即可求解．
本题考查了求余弦，解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
 17.【答案】   【解析】解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于，

，
当时，，
即点的坐标为，
当时，，
即点坐标为，
，
在中，，
．
直线与双曲线在第三象限交于、两点，
，
整理得：，
由根与系数的关系得：，
即，
，
，
同理可得：，
，
解得：．
由题意可以假设，
，
，
，
即第一个三角形的周长为，
设，
，
解得：，
，
即第二个三角形的周长为，
设，
由题意，
解得，
即第三个三角形的周长为，
，
第四个三角形的周长为，
前个等边三角形的周长之和为：，
故答案为：，．
设直线与轴交于点，作轴于，轴于首先证明，可得，，由直线与双曲线在第三象限交于点、两点，可得，整理得，，由韦达定理得：，即，由此构建方程求出即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，掌握规律型问题等知识，学会探究规律的方法是解题的关键
 18.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后先算乘法，再算加减得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
 19.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
 20.【答案】解：过点作于点，

根据题意可得四边形是矩形，
，米，
在中，
，
，
，
在中，，
，
米．
答：观景台的高的值约为米． 【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，，，再根据锐角三角函数可得的长，进而可得的值．
 21.【答案】

解：等级的学生有：人．
由题意画出列表如下：

由列表可得，在等可能的条件下，所有的情况共有种，符合条件的情况有种，
所以恰好回访到一男一女的概率为．

解：样本中优秀的占比为，
可以估计该校名学生中的优秀的占比为．
估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：人． 【解析】解：由条形统计图可得等级的人数为人，由扇形统计图可得等级的人数占比为，
样本容量为，．
故答案为：．
见答案
见答案

由已知等级的人数为人，所占百分比为，可得样本容量；利用样本容量可求，等级的人数；
列表求得概率；
利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论．
本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确的理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键．
 22.【答案】解：设辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨，
根据题意得：，
解得：，
答：辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨；
设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，
则：


，
，
随的增大而减小．
、两种货车均满载，
，都是大于或等于的整数，
，
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
货车辆，货车辆；
货车辆，货车辆；
货车辆，货车辆；
随的增大而减小，
费用越少，越大，
故方案费用最少． 【解析】设辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨，根据辆货车与辆货车一次可以运货吨，辆货车与辆货车一次可以运货吨列出方程组解答即可；
设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，列出的一次函数表达式，化简得随的增大而减小；根据、两种货车均满载，得，都是大于或等于的整数，分类列举得到符合题意得方案，最后根据费用越少，越大得到费用最少的方案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，解题的关键是：根据，都是大于或等于的整数得出符合题意的运输方案．
 23.【答案】解：，
．
，
∽．
．
是的中点，
．
．
是的中点，
．
．
，，
∽．
．

证明：，，
四边形是平行四边形．
，，
．
，
垂直平分．
．
四边形是矩形． 【解析】首先证明，再证明∽即可解决问题；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
本题考查矩形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 24.【答案】证明：连接．
，，
垂直平分线段，
．
证明：设，
是直径，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
是的切线．

解：如图，过点作于，于．
，
由可知，，，
，
，
连接，易证∽，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
． 【解析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
首先证明垂直平分线段，利用垂径定理可得结论．
设，通过计算证明，推出∽即可解决问题．
如图，过点作于，于想办法求出，即可解决问题．
 25.【答案】解：设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

，
∽，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
符合条件的点的坐标为或
，
直线的解析式为，
设，
当点在直线右侧时，如图，过点作轴于点，过点作直线于点，

，，，
，，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，，
，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得舍去或．

当点在直线左侧时，
由的方法同理可得点的坐标为．
此时点的坐标为 【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设抛物线的解析式为为，将点的坐标代可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明∽，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
设，当点在直线右侧时，如图，过点作轴于点，过点作直线于点，得出，将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可，当点在直线左侧时，由的方法同理可得点的坐标为，代入抛物线的解析可得出答案．