适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数解答题专项6导数的综合应用课件

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习上篇六大核心专题主攻专题6函数与导数解答题专项6导数的综合应用课件，共60页。

增分1　利用导数证明不等式
考点一　构造函数,利用最值证明不等式例1(2023新高考Ⅰ,19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;
(1)解 f'(x)=aex-1,x∈R.①当a≤0时,f'(x)<0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.②当a>0时,令f'(x)=0,得随x的变化,f'(x),f(x)的变化如下表:
所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln a).
增分技巧构造函数利用最值证明不等式在证明不等式f(x)>0(f(x)<0)时,可通过证明f(x)min>0(f(x)max<0)来实现,因此关键是求出函数f(x)的最小值(最大值).在求函数f(x)的最值时,主要利用导数通过单调性及极值求得,有以下几种情形:(1)直接求得f(x)的最值,且最值是一个具体的实数.(2)求得f(x)的最值,且最值是一个含有参数的代数式,再说明该代数式的最值大于0(小于0).(3)通过隐零点求得f(x)的最值,再说明含有隐零点的最值表达式大于0(小于0).
(2021全国乙,理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a;
考点二　放缩法构造函数证明不等式例2(2022新高考Ⅱ,22)已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;
(1)解 当a=1时,f(x)=xex-ex,f'(x)=xex.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.
(2)解 函数g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x≥0),由题意得g(x)≤g(0)=0对∀x≥0恒成立.又g'(x)=eax+axeax-ex,g'(0)=0.令h(x)=g'(x),h'(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex,则h'(0)=2a-1.①若h'(0)=2a-1>0,
增分技巧放缩法证明不等式在证明不等式时,若直接证明比较困难,可将不等式中的部分项进行放大或缩小,然后证明放缩后的不等式成立,再根据不等式的传递性证明原不等式成立.常用的放缩技巧有:(1)ex≥x+1;(2)ex-1≥x;(3)lnx≤x-1;(4)ln(x+1)≤x等.
考点三　分拆转化函数证明不等式例3(2023海南海口模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex.
增分技巧1.若直接通过求导求函数的最值比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.2.在证明过程中,等价转化是关键,如g(x)min≥f(x)max成立,从而可得f(x)≤g(x)恒成立.3.有时候不易变形为两个一般函数,也可以选取函数式中的一部分当作新的函数,对其进行分析,从而达到对整个函数性质的研究.
增分2　不等式恒成立或有解问题
考点一　分离法求参数的取值范围
增分技巧分离参数法来确定不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离,化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式.(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值.(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min,得到λ的取值范围.
(2023广东珠海模拟)已知函数f(x)=lnx-ax-2(a∈R),g(x)=xex-x-a(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
考点二　等价转化法解不等式恒成立问题
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sinx<0,求a的取值范围.
增分技巧1.对于不等式恒成立问题,若不易分离参数或分离后难以求最值,解题时常用参数表示极值点,进而用参数表示出函数的最值,求解不等式得参数的范围,体现转化思想.2.解题过程中,参数的不同取值对函数的极值、最值有影响,应注意对参数的不同取值范围进行分类讨论.
考点三　不等式能成立条件下求参数的取值范围例3(2023山东青岛模拟)已知函数f(x)=ex-a-lnx.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;(2)若存在x0∈[e,+∞),使f(x0)<0成立,求a的取值范围.
增分技巧不等式能成立问题的解题关键点   
增分技巧不等式中“任意”“存在”问题的求解规律一般地,已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],(1)若∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],总有f(x1)已知函数f(x)=(x-4)ex-x2+6x,g(x)=lnx-(a+1)x,a>-1.(1)求f(x)的极值;(2)若存在x1∈[1,3],对任意的x2∈[e2,e3],使得不等式g(x2)>f(x1)成立,求实数a的取值范围.(参考数据:e3≈20.09)
解 (1)由f(x)=(x-4)ex-x2+6x,得f'(x)=ex+(x-4)ex-2x+6=(x-3)ex-2x+6=(x-3)(ex-2),令f'(x)=0,得x=3,或x=ln 2,易知ln 2<3,x,f'(x),f(x)的变化关系如下表所示,
由表可知,当x=ln 2时,f(x)取得极大值,且极大值为f(ln 2)=(ln 2-4)eln 2-(ln 2)2+6ln 2=-(ln 2)2+8ln 2-8,当x=3时,f(x)取得极小值,且极小值为f(3)=(3-4)e3-32+18=9-e3.
(2)由(1)知,f(x)在[1,3]上单调递减,所以当x∈[1,3]时,f(x)min=f(3)=9-e3,于是若存在x1∈[1,3],对任意的x2∈[e2,e3],使得不等式g(x2)>f(x1)成立,则ln x-(a+1)x>9-e3在[e2,e3]上恒成立,其中a>-1,
增分3　利用导数研究函数的零点问题
考点一　判断(证明)函数零点个数例1(2021新高考Ⅱ,22)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)只有一个零点.
(1)解 f'(x)=ex+(x-1)·ex-2ax=xex-2ax=x(ex-2a).①当a≤0时,令f'(x)=0得x=0.
增分技巧1.利用导数求函数零点的常用方法(1)构造函数g(x)(其中g'(x)易求,且g'(x)=0可解),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数;(2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数零点的个数.2.求解函数零点(方程根)的个数问题的三个步骤第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象;第三步:结合图象求解.
解 (1)当a=1时,f(x)=(x-3)ex- (x2-4x),f'(x)=(x-2)ex-e(x-2)=(x-2)(ex-e),当x<1时,f'(x)>0;当12时,f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
考点二　根据函数零点个数求参数范围例2(12分)(2022全国乙,理21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.
若a<-1,则g(0)<0,又g(-1)=1>0,g(1)=1>0,当x>1时,g(x)>0恒成立,所以存在唯一的x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使g(x)=0.所以f(x)在区间(-1,x1),(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,所以f(x1)>f(0)=0,f(x2)0恒成立;当x∈(0,x2)时,f(x)<0恒成立. 7分令h(x)=xe-x,则h'(x)=e-x(1-x),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x>1时,01时,axe-x>a.取x=e-a,因为a<-1,0e>x2,所以f(e-a)>ln(1+e-a)+a>lne-a+a=0. 9分
又f(x2)<0,所以f(x)在区间(x2,+∞)内只有一个零点,即f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点. 10分由h'(x)=e-x(1-x),知当-10,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,所以当-1-e.又a<-1,所以axe-x<-ae.取x=e3a-1∈(-1,0),则f(e3a-1)0,所以f(x)在区间(e3a-1,x1)内只有一个零点,即f(x)在区间(-1,0)内只有一个零点.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1). 12分
【教师讲评】1.先确定切点坐标,再利用导数几何意义求斜率,进而求切线方程;2.本题条件中a的范围没有限制,所以需要全面考虑.求导后对参数a合理分类,并对x按(-1,0),(0,+∞)两部分研究讨论.否定和肯定并用,否定只需要说明某一区间上零点个数不满足题意即可;肯定则要证明两个区间都恰有一个零点.如a≥0时,只需说明f(x)在(0,+∞)上没有零点即可排除.
增分技巧根据函数零点情况求参数的取值范围问题的解法(1)将函数中的参数λ与变量分离,得λ=g(x),转化为研究方程λ=g(x)根的个数问题,然后利用导数研究函数g(x)的最值或值域,结合图象,根据直线y=λ与函数g(x)的图象交点的个数确定参数λ的取值范围.(2)直接研究函数f(x)的单调性与极值情况,必要时分类讨论,同时结合函数零点存在定理建立不等式求解.(3)转化为两个熟悉函数的图象的位置关系问题,再根据零点个数进一步构建不等式求解.
(1)解 (方法一)f(x)的定义域为(0,+∞),
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)≥f(1)=e+1-a,若f(x)≥0,则e+1-a≥0,即a≤e+1,所以a的取值范围为(-∞,e+1].(方法二)由f(x)≥0,得ex-ln x+x-ln x-a≥0,令t=x-ln x,t≥1,则et+t-a≥0,即a≤et+t,令g(t)=et+t,t∈[1,+∞),则g'(t)=et+1>0,故g(t)=et+t在区间[1,+∞)上单调递增,故g(t)min=g(1)=e+1,即a≤e+1,所以a的取值范围为(-∞,e+1].