2022~2023学年江苏省苏州市实验中学校八年级上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市实验中学校八年级上学期期中考试数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源．下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.−27的立方根是( )
A. 3B. −3C. ±3D. −3 3
3.下列二次根式中最简二次根式是( )
A. 41B. 1 2C. 18D. 32
4.下列各式中计算正确的是( )
A. (−4)2=−4B. 3(−2)3=−2C. 36=±6D. − 52=−5
5.2 6， 27，5三个数的大小关系是
( )
A. 5< 27<2 6B. 27<5<2 6
C. 2 6<5< 27D. 27<2 6<5
6.下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④有理数与数轴上的点是一一对应的关系；其中真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠BAD=78°，则∠B的度数是( )
A. 34°B. 30°C. 28°D. 26°
8.在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠C的度数为
( )
A. 36°B. 45°C. 36°或45°D. 45°或72°
9.如图，在▵ ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2，则▵ ABC的面积是
( )
A. 3+ 22B. 1+ 2C. 2 2D. 2+ 2
10.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把▵ABD沿着AD翻折，得到▵AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=6，BF=4，▵ADG的面积为8，则点F到BC的距离为( )
A. 55B. 2 55C. 4 55D. 4 33
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若二次根式 x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12.已知 3=1.7320508⋯，将 3的数值精确到0.01为 ．
13.如图，在▵ABC中，∠BAC=90∘，∠BCA=30∘，AB=1，以BC为边构造如图所示的等边▵BCD，连接AD，则AD的长为 ．
14.在实数与 7，−39，117，3.14，− 16，2.020020002⋯中，无理数有 个．
15.如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，边AB在数轴上，A表示的数为−2，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为 ．
16.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，如果大正方形的边长是 26，小正方形的边长是 2，直角三角形的两直角边分别是a和b，则a+b的值为 ．
17.如图，在▵ABC中，∠A=32∘，分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD=CE，则∠BFC的度数为 ．
18.如图，在▵ABC中，AB=AC=m，BC=n，且满足 m−8+n−4 72=0，点Q是AC边上一动点，连接BQ，过点A和C分别作AM⊥BQ，CN⊥BQ，垂足分别为M，N，则当AM+CN取得最大值时，BQ的长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算：
(1) 52+ −32+3−8；
(2)2 12−3 13× 6．
20.求下列各式中x的值．
(1)x−12=4；
(2)x−23+64=0．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE//AB交AC于点E，连接DE．
(1)求AD的长；
(2)求DE的长．
22.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为17的正方形(正方形是四条边相等，四个内角都是90∘的四边形)；
(2)在图(2)中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为3 2，腰长为 5；
(3)在图(3)中，A、B均为格点，请画出一个格点C，使得∠CBA=45∘．
23.(本小题8分)
如图，在Rt▵ACB中，∠ACB=90∘，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50∘，∠ACE=30∘．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
24.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC=50°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB=∠ACF；
(3)求证：EF2+BF2=2AC2．
25.(本小题8分)
定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
(1)若一个三角形的三边长分别是1， 5，2 6，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比(将比值按从小到大的顺序排列)；
(3)如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，BC=2 3，CD是AB边上的高，若▵BCD是“平方倍三角形”，求▵ACD的面积．
26.(本小题8分)
在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将▵ABP沿直线AP翻折至△APQ的 位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得▵B′EF，连接DB′，当▵DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】根据立方根的知识，直接开立方即可．
【详解】 3−27=−3 ．
故选B
【点睛】本题考查了立方根的知识，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
3.【答案】A
【解析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 41 是最简二次根式，故A符合题意．
B、原式 = 22 ，故B不符合题意．
C、原式 =3 2 ，故C不符合题意．
D、原式 = 62 ，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
4.【答案】B
【解析】根据平方根，立方根和算数术平方根的运算法则，分别化简四个选项再判断正误即可得到答案．
【详解】解：A、 (−4)2=4≠−4 ，故选项A错误；
B、 3−23=−323=−2 ，故选项B正确；
C、 36=6≠±6 ，故选项C错误；
D、 − 52=5≠−5 ，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方根，立方根和算术平方根，掌握开根号得到的数的特征，灵活运用所学知识是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】变形 2 6= 24 ， 5= 25 ，比较24，25，27的大小即可．
【详解】因为 2 6= 24 ， 5= 25 ，且24<25<27，
所以 2 6< 25< 27 即 2 6<5< 27 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】根据垂直平分线的判定定理，轴对称图形的定义，等腰三角形的判定，实数与数轴逐项分析判断即可求解．
【详解】①到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；
②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在直线，原命题是假命题；
③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
④实数与数轴上的点是一一对应的关系，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握垂直平分线的判定定理，轴对称图形的定义，等腰三角形的判定，实数与数轴是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形外角的性质得到∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AC的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，
∴∠ADB=2∠B，
∵∠BAD=78°，
∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°，
∴∠B=34°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质证得∠ADB=2∠B是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
【详解】解：设∠B=x°，则∠A=2x°，
当∠A是顶角时，∠A+2∠B=180°，
即：4x=180，
解得：x=45，
此时∠C=∠B=45°；
当∠A是底角时，2∠A+∠B=180°，
即5x=180，
解得：x=36°，
此时∠C=∠A=72°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解答本题的关键，难度不大．
9.【答案】D
【解析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=AC=2，∠ADC=45°，CD= 2 AC=2 2 ，再证明AD=BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=AC=2，∠ADC=45°，CD= 2 AC=2 2 ，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=22.5°，
∴∠DAB=22.5°，
∴∠B=∠DAB，
∴AD=BD=2，
∵AD=AC，AE⊥CD，
∴DE=CE，
∴ AE=12CD= 2,
∴△ABC的面积 =12⋅BC⋅AE=12× 2×(2+2 2)=2+ 2 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】根据 DG=GE ，可得 S▵ADE=16 ，再由折叠的性质可得 ▵ADB≌▵ADE ， BE⊥AD ，从而得到 S▵ABD=S▵ADE=16 ，再由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解： ∵DG=GE ，
∴S▵ADG=S▵AEG=8 ，
∴S▵ADE=16 ，
由翻折可知， ▵ADB≌▵ADE ， BE⊥AD ，
∴S▵ABD=S▵ADE=16 ， ∠BFD=90∘ ，
∴ 12⋅AF+DF⋅BF=16 ，
∴ 12⋅6+DF×4=16 ，
∴DF=2 ，
∴DB= BF2+DF2= 42+22=2 5 ，
设点 F 到 BD 的距离为 h ，则有 12⋅BD⋅h=12⋅BF⋅DF ，
∴2 5h=4×2 ，
∴h=4 55 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】1.73
【解析】根据近似数的精确度求解．
【详解】解：由题意得，将 3 的数值精确到0.01为1.73．
故答案为：1.73．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．
13.【答案】 7
【解析】根据 ∠BCA=30∘ ，可得 BC=2AB=2 ，从而得到 AC= 3 ，再由 ▵BCD 是等边三角形，可得 BC=CD=2 ， ∠BCD=60∘ ，从而得到 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=90∘ ，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解： ∵∠BAC=90∘ ， ∠BCA=30∘ ， AB=1 ，
∴BC=2AB=2 ，
∴ AC= BC2−AB2= 3= 3 ，
∵▵BCD 是等边三角形，
∴BC=CD=2 ， ∠BCD=60∘ ，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=90∘ ，
在 Rt▵ACD 中， AD= AC2+CD2= 32+22= 7 ，
故答案为： 7 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】先根据平方根的定义化简，再根据无理数的定义，即可求解．
【 详解】解： − 16=−4 ，
无理数 7 ， −39 ， 2.020020002⋯ ，共有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是是无理数是解题的关键．
15.【答案】 10−2
【解析】根据长方形的性质得到 BC=AD=1,∠ABC=90∘ ，根据勾股定理求出 AC ，再求出答案即可．
【详解】解： ∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴∠ABC=90∘ ，
∵AB=3 ， AD=BC=1 ，
∴AC= AB2+BC2= 32+12= 10 ，
∵AM=AC= 10 ， OA=2 ，
∴OM=AM−OA= 10−2 ，
∴ 点 M 表示点数为 10−2 ．
故答案为： 10−2 ．
【点睛】此题主要考查了数轴与实数，勾股定理等知识点，能求出 AM 的长度是解题的关键．
16.【答案】5 2
【解析】图中小正方形的边长是 (a−b) ，图中直角三角形的面积是 12ab ，根据面积的和差可得 ab=12 ，再根据完全平方公式即可求得答案．
【详解】解：由题意得 12ab×4+ 2× 2=26 ，
∴ab=12 ，
∵a+b2=a−b2+4ab ， a−b= 2 ，
∴a+b2=2+4×12=50 ，
∴a+b=5 2 (负值已舍)，
故答案为： 5 2 ．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】106∘
【解析】连接 DE ，由作法得 MN 垂直平分 AC ，从而得到 DE=CE=AE ，进而得到 ∠EDA=∠A=32∘ ，再由 BD=CE ，可得 BD=ED ，从而得到 ∠DBE=∠DEB ，进而得到 ∠DBE=12∠ADE=16∘ ，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：连接 DE ，如图，
由作法得 MN 垂直平分 AC ，
∴E 点为 AC 的中点，
∵CD⊥AB ，
∴∠ADC=∠BDC=90∘ ，
∴DE=CE=AE ，
∴∠EDA=∠A=32∘ ，
∵BD=CE ，
∴BD=ED ，
∴∠DBE=∠DEB ，
∵∠EDA=∠DBE+∠DEB ，
∴∠DBE=12∠ADE=16∘ ，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=16∘+90∘=106∘ ．
故答案为： 106∘ ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
18.【答案】8
【解析】过点 A 作 AJ⊥BC 于点 J ，过点 B 作 BK⊥AC 于点 K ，根据非负数 性质可得 AB=AC=8 ， BC=4 7 ，从而得到 BJ=JC=2 7 ，再由勾股定理可得 AJ=6 ，再由三角形的面积可得 BK=3 7 ，然后根据 S▵ABC=S▵ABQ+S▵BCQ ，可得 BQ 的值最小时， AM+CN 的值最大，即可求解．
【详解】解：过点 A 作 AJ⊥BC 于点 J ，过点 B 作 BK⊥AC 于点 K ．
∵ m−8+n−4 72=0 ，
又 ∵ m−8≥0 ， n−4 72≥0 ，
∴m=8 ， n=4 7 ，
∴AB=AC=8 ， BC=4 7 ，
∵AJ⊥BC ，
∴BJ=JC=2 7 ，
∴AJ= AB2−BJ2= 82−2 72=6 ，
∵ 12⋅BC⋅AJ=12⋅AC⋅BK ，
∴BK=6×4 78=3 7 ，
∵S▵ABC=S▵ABQ+S▵BCQ ， AM⊥BQ ， CN⊥BQ ，
∴ 12×4 7×6=12⋅BQ⋅AM+12⋅BQ⋅CN ，
∴BQ⋅AM+CN=24 7 ，
∴BQ 的值最小时， AM+CN 的值最大，
根据垂线段最短可知 BQ 的最小值为 3 7 ，
∴AM+CN 的最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，非负数的性质是解题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：原式 =5+3+−2
=8−2
=6
【小题2】
解：原式 =2 12× 6−3 13× 6
=2 12×6−3 13×6
=12 2−3 2
=9 2 ．

【解析】1. 先根据平方根，算术平方根，立方根的 性质化简，再计算，即可求解
2. 先计算乘法，然后合并，即可求解．
20.【答案】【小题1】
解：开平方，得 x−1=±2 ，
解得 x=3 或 x=−1
【小题2】
解：移项，得 x−23=−64 ，
开立方，得 x−2=−4 ，
解得 x=−2 ．

【解析】1. 利用平方根的性质解答
2. 利用立方根的性质解答，即可求解．
21.【答案】【小题1】
解： ∵AB=AC ， AD 平分 ∠BAC ，
∴AD 垂直平分 BC ，
∴∠ADB=90∘ ， BD=12BC=6 ，
在 Rt▵ABD 中，由勾股定理得，
AD= AB2−BD2= 102−62=8
【小题2】
解： ∵DE//AB ，
∴∠BAD=∠ADE ，
∵AD 平分 ∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAD ，
∴∠CAD=∠ADE ，
∴DE=AE ，
∵∠CAD+∠C=∠ADE+∠EDC=90∘ ，
∴∠EDC=∠C ，
∴DE=CE ，
∴DE=AE=CE ，
∴DE=12AC=5 ．

【解析】1. 根据等腰三角形的性质可得 AD 垂直平分 BC ，再由勾股定理，即可求解
2. 根据 DE//AB 和 AD 平分 ∠BAC ，可得 DE=AE ，从而得到 ∠EDC=∠C ，进而得到 DE=CE ，再由直角三角形的性质，即可求解．
22.【答案】【小题1】
解：如图1中，正方形 ABCD 即为所求；
根据作法得： ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ ， AB=BC=CD=AD= 12+42= 17 ，
∴该四边形为正方形，
∴该四边形的面积为 172=17
【小题2】
解：如图2中， ▵ABC 即为 所求．
根据作法得： AB=AC= 12+22= 5,BC= 32+32=3 2
【小题3】
解：如图3中，点 C 即为所求．
根据作法得： BC=AC= 12+22= 5,AB= 32+12= 10 ，
∴ BC2+AC2=AB2 ，
∴ ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠CBA=∠CAB=45∘ ．

【解析】1. 根据要求作一个边长为 17 的正方形即可
2. 根据要求作出图形即可
3.
解：如图3中，点 C 即为所求．
根据作法得： BC=AC= 12+22= 5,AB= 32+12= 10 ，
∴ BC2+AC2=AB2 ，
∴ ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠CBA=∠CAB=45∘ ．
23.【答案】【小题1】
证明： ∵∠ACB=90∘ ，点 M 为边 AB 的中点，
∴MC=MA=MB ，
∴∠MCA=∠A ， ∠MCB=∠B ，
∵∠A=50∘ ，
∴∠MCA=50∘ ， ∠MCB=∠B=40∘ ，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80∘ ，
∵∠ACE=30∘ ，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80∘ ，
∴∠MEC=∠EMC ，
∴CE=CM
【小题2】
解： ∵AB=4 ，
∴CE=CM=12AB=2 ，
∵EF⊥AC ， ∠ACE=30∘ ，
∴EF=12CE=1 ，
∴FC= CE2−EF2= 22−12= 3 ．

【解析】1. 根据直角三角形的性质可得 MC=MA=MB ，根据外角的性质可得 ∠MEC=∠A+∠ACE ， ∠EMC=∠B+∠MCB ，根据等角对等边即可得证
2. 根据 CE=CM 先求出 CE 的长，再利用勾股定理求出 FC 的长．
24.【答案】【小题1】
解：(1)∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=50°+90°=140°，
∴∠AEB=(180°−140°)÷2=20°
【小题2】
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中，
AF=AF∠BAF=∠CAFAB=AC ，
∴△BAF≌△CAF(SAS)，
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF
【小题3】
∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，
即EF2+BF2=2AC2．

【解析】1. 根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可
2. 根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案
3. 根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案．
25.【答案】【小题1】
解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．
理由： ∵12+2 62=25 ， 5× 52=25 ，
∴22+2 262=5× 52 ，
∴ 这个三角形是“平方倍三角形”．
【小题2】
解：设直角边长为 a ， b ，斜边为 c ，
∵▵ABC 为“平方倍三角形”
∴a2+b2=c2 ，且 c2+a2=5b2 ，
∴2a2+b2=5b2 ，
∴b= 22a ，
∴c= 62a ，
∴b:a:c=1: 2: 3 ；
【小题3】
解： ∵▵BCD 是“平方倍三角形”，
由(2)知， ▵BCD 的三边比为 1: 2: 3 ，
∴CD=2 ， BD=2 2 或 CD=2 2 ， BD=2 ，
当 CD=2 ， BD=2 2 时，设 AD=x ，由勾股定理得，
22+x2=2 2+x2−2 32 ，
解得 x= 2 ，
∴AD= 2 ，
∴▵ACD 的面积为 12×2× 2= 2 ，
当 CD=2 2 ， BD=2 时，设 AD=x ，由勾股定理得，
2 22+x2=2+x2−2 32 ，
解得 x=4 ，
∴AD=4 ，
∴▵ACD 的面积为 12×4×2 2=4 2 ，
综上： ▵ACD 的面积为 2 或 4 2 ．

【解析】1. 根据“平方倍三角形”的定义，即可求解
2. 设直角边长为 a ， b ，斜边为 c ，根据“平方倍三角形”的定义，可得 2a2+b2=5b2 ，从而得到 b= 22a ， c= 62a ，即可求解；
3. 由(2)知， ▵BCD 的三边比为 1: 2: 3 ，从而得到 CD=2 ， BD=2 2 或 CD=2 2 ， BD=2 ，再结合勾股定理，即可求解．
26.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：如图，当 DE=DB′ 时，过点 D 作 DJ⊥EB′ 于点 J ．
∵DE=DB′ ， DJ⊥EB′ ，
∴EJ=JB′ ，
∵DE⊥EF ，
∴∠BEF+∠DEA=90∘ ， ∠FEB′+∠DEB′=90∘ ，
∵∠BEF=∠B′EF ，
∴∠DEJ=∠DEA ，
∵∠A=∠DJE=90∘ ， DE=DE ，
∴▵DEA≌▵DEJAAS ，
∴AE=EJ=JB′ ，
∵EB=EB′ ，
∴BE=2AE ，
∵AB=5 ，
∴AE=13AB=53 ；
如图，当 DE=EB′ 时，
设 BE=EB′=DE=x ，则 AE=5−x ，
∵ DE2=AD2+AE2 ，
∴ x2=42+5−x2 ，
∴x=4110 ，
∴AE=AB−BE=5−4110=910 ．
综上所述， AE 的长为 53 或 910 ；
【小题3】
解：如图，当点 M 在线段 AB 上时，
∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴AB/​/CD ，
∴∠CDM=∠AMD ，
∵∠AMD=∠A′MD ，
∴∠CDM=∠CMD ，
∴CD=CM=5 ，
∵∠CBM=90∘ ，
∴BM= CM2−BC2= 52−42=3 ，
∴AM=AB−BM=5−3=2 ．
如图，当点 M 在 AB 的延长线上时，同法可证 CD=CM=5 ，
∵∠CBM=90∘ ， CB=4 ，
∴BM= CM2−CB2= 52−42=3 ，
∴AM=AB+BM=5+3=8 ．
综上所述，满足条件的 AM 的长为2或8．

【解析】1. 根据折叠的性质可得 AB=AQ=5 ，再由勾股定理，即可求解
解： ∵ 四边形 ABCD 是长方形，
∴∠D=90∘ ，
由翻折变换的性质可知 AB=AQ=5 ，
∵AD=4 ，
∴DQ= AQ2−AD2= 52−42=3 ，
故答案为：3；
2. 分两种情况讨论：当 DE=DB′ 时，过点 D 作 DJ⊥EB′ 于点 J .先证明 ▵DEA≌▵DEJ ，可得 AE=EJ=JB′ ，从而得到 BE=2AE ，可求出 AE ，当 DE=EB′ 时，设 BE=EB′=DE=x ，则 AE=5−x ，根据 DE2=AD2+AE2 ，求出x，即可求解；
3. 分两种情况讨论：当点 M 在线段 AB 上时，当点 M 在 AB 的延长线上时，即可求解．