培优点6　带电粒子在立体空间的运动（含解析）--2024年高考物理大二轮复习讲义

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粒子在立体空间常见运动及解题策略
例1 如图，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点eq \f(L,2)处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大。
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例2 (2023·江苏盐城市高级实验中学三模)真空中的立方体区域棱长为L，按如图方式建立空间直角坐标系，底面中心处有一点状放射源S，仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射带正电粒子，粒子的速度大小均为v，电荷量为q，质量为m。abfe面放有一个接收屏，用以接收粒子。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场，使接收屏上恰好没有收到任何粒子。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)现在正方体内再加竖直向上的匀强电场，要使所有从S发出的粒子刚好都能从上表面中心P离开，求出所有满足条件的电场强度E的大小；
(3)若电场强度E的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe屏向左沿z轴负方向平移eq \f(L,4)(图中未画出)，求打在abfe屏上的粒子中x坐标最大值和最小值对应点的坐标(x，y，z)。
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培优点6 带电粒子在立体空间的运动
例1 (1)eq \f(mv02,qL) (2)eq \f(\r(2)＋1mv0,qL)
解析 (1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示
粒子从O1点进入右边磁场，则
L＝v0t
eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)at2
qE＝ma
联立方程解得E＝eq \f(mv02,qL)
(2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴正方向夹角为θ，如图所示，则
vy＝at，v＝eq \r(v02＋vy2)
tan θ＝eq \f(vy,v0)
故tan θ＝1
即有θ＝45°，v＝eq \r(2)v0
在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，如图所示，则qvB＝meq \f(v2,R)
又根据几何关系R＋Rcs 45°＝L
解得B＝eq \f(\r(2)＋1mv0,qL)。
例2 (1)eq \f(4mv,qL) (2)eq \f(8mv2,qLn2π2)(n＝1,2,3，…)
(3)(eq \f(2＋\r(3),4)L，eq \f(1,4)L，eq \f(3,4)L)
(eq \f(1,4)L，eq \f(1,16)L，eq \f(3,4)L)
解析 (1)所有粒子恰好被束缚在正方形abcO区域内，由几何关系得r＝eq \f(L,4)，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝meq \f(v2,r)，解得B＝eq \f(4mv,qL)
(2)粒子做圆周运动的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(πL,2v)，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向上由运动学规律得L＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)(nT)2，解得E＝eq \f(8mv2,qLn2π2)(n＝1,2,3，…)
(3)粒子运动的俯视图如图所示，
由图可知，当打在屏上的位置P1与S的连线SP1为粒子轨迹的直径时，射出粒子的横坐标为最大值，此时横坐标为x1＝eq \f(2＋\r(3),4)L，粒子运动的时间为t1＝eq \f(1,2)T，此时对应的纵坐标为y1＝eq \f(1,2)eq \f(qE,m)t12，解得y1＝eq \f(L,4)，故坐标为(eq \f(2＋\r(3),4)L，eq \f(1,4)L，eq \f(3,4)L)。
由图所示，当粒子运动轨迹恰与abfe面相切时，射出粒子的横坐标为最小值，此时横坐标为x2＝eq \f(L,4)，此时粒子运动的时间为t2＝eq \f(1,4)T，此时对应的纵坐标为y2＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)t22，解得y2＝eq \f(1,16)L，故坐标为(eq \f(1,4)L，eq \f(1,16)L，eq \f(3,4)L)。
运动类型
解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型
将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动
旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内
把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动