山东省泰安市东平县实验中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析）

这是一份山东省泰安市东平县实验中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在平面直角坐标系中，反比例函数图象的两支曲线分别在（ ）.
A．第一、三象限；B．第二、四象限；C．第一、二象限；D．第三、四象限
2．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．在函数中自变量x取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为( )米
A．B．C．D．24
5．下列几何体：
其中，左视图是平行四边形的有（ ）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
6．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是( )
A．20海里B．40海里C．海里D．海里
7．已知，则函数和的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论：①；②；③；④当时，或．⑤其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
9．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个B．2个C．3 个D．4个
11．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（ ）
A．2B．4C．5D．7
二、填空题
12．二次函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到的，则 ， ．
13．如图，小阳发现电线杆 的影子落在土坡的坡面 和地面 上，量得 米，米，的坡度为：；且此时测得 米杆在地面上的影长为 米，则电线杆的高度为 米．
14．如图，在平面直角坐标系系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若， ，则k的值是 ．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cs∠EFC的值是 ．
17．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，…按此规律，写出tan∠BAnC＝ （用含n的代数式表示）．
三、解答题
18．（1）；
（2）．
19．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为元．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
20．如图，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积
(3)直接写出时，的取值范围；
(4)在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
21．某住宅小区有平行建设的南、北两栋高层建筑．冬至日正午，南楼在北楼墙面上形成的影子AF的高度为42米，此时太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）∠CAB＝35°，夏至日正午，南楼在水平地面形成的影子与北楼的距离DF为80米，此时太阳高度角∠CDE＝80°．求两楼间的距离．（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin80°≈0.98，cs80°≈0.175，tan80°≈5.6）
22．已知：如图，在中，＝，以为直径的与边相交于点，，垂足为点．
(1)求证：点是的中点；
(2)求证：是的切线；
(3)若的直径为，＝，求的长．
23．如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F
(1)求证：；
(2)求证：;
(3)若,求的值.
24．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值；
(3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由．
(4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．
（1）时，图象是位于一、三象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而减小．
（2）时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．
【详解】解：∵反比例函数，
∴图象的两支分别在第二、四象限．
故选：B．
2．B
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及确定圆的条件可进行排除选项．
【详解】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故①错误；
任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确；
∴真命题共有1个；
故选B．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识；根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零，即可求解．
【详解】解：由题意得：，，解得：．
故选：A．
4．B
【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的长度．
【详解】解：如图,过B作BE⊥AD于点E，
∵斜面坡度为1：2，AE=12，
∴BE=6，
在Rt△ABC中， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
5．B
【分析】判断各几何体的左视图，即可得到答案，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键.
【详解】解：圆柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；圆锥的左视图是三角形；棱柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；长方体的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
故左视图是平行四边形的有3个，
故选：B
6．D
【详解】解：如图，作AM⊥BC于M．
由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，
则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°，
∵BD∥CN，
∴∠BCN=∠DBC=20°，
∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴AB=AC，
∵AM⊥BC于M，
∴CM=BC=20海里，在直角△ACM中，
∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，
∴AC==（海里）．故选D．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
7．C
【分析】根据一次函数、反比例函数的系数与图像的关系分析即可．
【详解】∵，b=﹣1＜0，
∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故本题选C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的系数与图像的关系，熟练掌握此知识点是解答本题的关键．
8．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质；根据对称轴为可判断出①正确，当时，即可判断②，根据开口方向，以及与轴交点可得进而判断③，再求出点坐标，可得当时，或，即可判断④，根据函数图象可得最大值为，进而即可判断⑤．
【详解】解：对称轴为，
，
,
，故①正确；
点坐标为，
当时，，故②正确；
，
，故③错误
对称轴为，点坐标为，
点坐标为：，
当时，或，故④错误；
当时，函数值取得最大值为
即，故⑤正确
故选：C．
9．B
【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可；
【详解】解：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键．
10．D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出结论①正确；由点D是BC的中点，AD⊥BC得出AD为BC的中垂线，则可证明∠ODB＝∠C，OD∥AC，∠ODE＝∠CED＝90°，故④正确；由∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，可得∠EDA＝∠BDO，再利用∠ODB＝∠B可得∠EDA＝∠B，结论②正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，因AC＝AB，故AO为AC的一半，故结论③正确．
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故结论①正确；
连接OD，如图，
∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
∴ED是圆O的切线，故结论④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，故结论②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝AB，
∴OA＝AC，故结论③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．
11．A
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图所示
，
，
，
，
点在以为直径的上，当、、共线时最小，
在中，，，
，
，
．
最小值为．
故选：A．
12． 7
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟的系数对比则可，熟练掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：把，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得，
所以，，
故答案为；7．
13．
【分析】本题考查的是平行投影，坡度的含义，如图，延长与的延长线交于 过作于 利用坡度先求解 再利用同一时刻物高与影长成比例求解 从而可得答案.
【详解】解：如图，延长与的延长线交于 过作于

设 则


因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米，

而

同理可得：

故答案为：
14．3
【分析】先求出点坐标，利用，求出点横坐标，过点作轴，交轴于点，再利用，求出点纵坐标，即可求出值．
【详解】解：，
当时，，
∴，
∴，
过点作轴，交轴于点，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题考查已知图形面积求值．正确的求出一次函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积和锐角三角函数值求出点的坐标，是解题的关键．
15．30°
【详解】试题分析：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=；然后根据已知条件“AE=5，BE=1”求得⊙O的直径AB=6，从而知⊙O的半径OD=3，OE=2；最后利用勾股定理求得OH=1，再由30°角所对的直角边是斜边的一半来求∠AED．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH=CH=又∵AE=5，BE=1，∴AB=6，∴OA=OD=3（⊙O的半径）；∴OE=2；∴在Rt△ODH中，OH=1（勾股定理）；在Rt△OEH中，OH=∴∠OEH=30°，即∠AED=30°．故答案是：30°．
考点：本题考查了垂径定理
点评：此类试题属于难度一般的试题，待定系数法也是很重要的一种解决方法，考生要注意分析待定系数法的基本求法
16．##0.6
【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，cs∠BAF=，
∴cs∠EFC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念．
17．
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念总结规律解答．
【详解】解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4==，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴12××CH=，
解得，CH=，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=，
故答案为.
【点睛】根据条件找出潜在规律列出式子是解答本题的关键.
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据化简二次根式，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．(1)
(2)当售价定为每件34元，每个月的利润最大，最大的月利润是1960元
(3)当售价为每件32元，每个月的利润为1920元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，
（1）根据题意可得单件利润：元，销量：件，根据销售利润单件利润销量即可列出函数关系式，再根据题意得到x的取值；
（2）根据二次函数的解析式转换为顶点式，即可解答；
（3）令，得到一元二次方程，解方程，即可解答，
根据题意，找到正确的等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意可得单件利润：元，销量：件，
可得函数关系式，
每件售价不能高于35元，
，
与的函数关系式为；
（2）解：将化成顶点式为，
因为，
所以当时，y有最大值1960，
故当售价定为每件34元，每个月的利润最大，最大的月利润是1960元；
（3）解：当时，可得，
解得（舍去），
当时，，
所以当售价为每件32元，每个月的利润为1920元．
20．(1)
(2)
(3)或
(4)在轴上存在点或或使为直角三角形．
【分析】（1）联立一次函数和，解出点坐标，代入反比例函数解析式即可求出；
（2）联立和解出点坐标，进而设与轴交于点，根据即可求解．
（3）结合图象即可得出答案；
（4）假设在轴上存在使为直角三角形，用含的代数式表示，然后根据勾股定理分①；②；③三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：依题得
解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）∵
解得：或，即
设与轴交于点，
当时，，即，则,
∴
；
（3）结合图象可得当时，的取值范围是或；
（4）如图，假设在轴上存在使为直角三角形，

①，即
解得或；
② 即
解得：；
③即
解得：；
综上所述，在轴上存在点或或使为直角三角形．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，反比例函数和一次函数综合，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
21．100米
【分析】设两楼之间的距离为x米，则可表示出DE，分别在直角△CDE和直角△ABC中，利用锐角的正切函数关系可把EC，BC的长表示出来，列出方程，进而得出答案．
【详解】根据题意，设两楼之间的距离为x米，则DE=EF−FD=(x−80)米
由题意可得：四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=x米，BE＝AF＝42米
∵∠CAB＝35°，∠CDE＝80°，
∴在Rt△ABC中，BC＝x•tan35°，在Rt△DEC中，CE＝DE•tan80°＝（x﹣80）•tan80°，
∵BE＝CE﹣CB，
所以（x﹣80）•tan80°﹣x•tan35°＝42，
解得：x≈100，
答：两楼之间的距离为100米．
【点睛】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，借助三角函数把相关的量表示出来，然后建立方程．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质证明；
（2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（3）根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，又，
，
点是的中点；
（2）证明：连接，
，，
是的中位线，
，
又，
，即是的切线；
（3）解：，
，
，
在中，，，
，
，
在中，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理，三角形的中位线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）由D点为中点，易知OD垂直平分BC，又因AB为直径，所以∠ACB=90°，所以；（2）因为D点为中点，所以，可得，即有；（3）利用与，可得，设CD=，则DE=，，又因为，得到，所以，得到，就有
【详解】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径
∴即∠BFO=90°
又∵AB为的直径
∴
∴
(2)证明：∵D为弧BC的中点
∴
∴
∴
∴
即
(3)解：∵，
∴
设CD=，则DE=，
又∵
∴
∴
所以
又
∴
即
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、相似三角形证明与性质、三角函数的计算等知识点，综合程度比较高，第三问的关键在于将∠CDA换成∠CBA，利用三角形相似求得sin∠CBA
24．(1)抛物线的表达式为
(2)；周长最小值
(3)时，取得最大值为；
(4)存在，
【分析】（1）将点和点代入待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解；
（3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解；
（4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：将点和点代入得，
解得：
∴；
（2）解：∵，
对称轴为直线，
当时，，则，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：
∴直线的解析式为；
∵关于对称，
如图所示，连接交于点，连接，则点即为所求，
∵
∴当共线时，的周长最小，
∴当时，，则；

∵，，，
∴,，
∴的周长为；
（3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点，

设，
∵轴，的纵坐标等于的纵坐标，
∴的横坐标为，即
∴，
∵，，
∴
∵轴
∴
∴
∵：
∴
∴当时，即时，取得最大值为；
（4）解：依题意，设，则

∴
则当时，线段取得最大值
则，
又
∴
∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形，
∴
∴
解得：或
∴
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．