山东省聊城市茌平区茌平区实验中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份山东省聊城市茌平区茌平区实验中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（ ）
A. 500sinα米B. 米C. 500csα米D. 米
【答案】A
【解析】
详解】
，
.
故选A.
2. 如图，是的直径，是弦，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得出，，再由可得出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：是的直径，
．
，
．
故选：D．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟知直径所对的圆周角是直角．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）

A. (2，5)B. (5)C. (3，5)D. (3，6)
【答案】B
【解析】
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标的关系.
【详解】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2,0），D（5,0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1,2）
∴点C的横坐标为，纵坐标为
∴C
故选B.
【点睛】本题考查的是位似图形的与直角坐标系的关系，能够根据位似图形得出位似比是解题的关键.
4. 如图，将沿弦折叠，点C在上，点D在上，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了折叠的性质．作所对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质得，然后根据折叠的性质可得到的度数．
【详解】解：作所对的圆周角，如图，
，
，
沿弦折叠，点在上，点在上，
．
故选：A
5. 如图，在平面直角坐标系中，己知经过点E，B，C，O，且则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接，由，根据圆周角定理可得：是的直径，由，，，可得，，根据勾股定理可求，然后由圆周角定理可得，然后求出的值，即可得的值．
【详解】解：如图，连接，
，
是的直径，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A
6. 如图，CD是的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. AG=BGB. AB∥EFC. AD∥BCD. ∠ABC=∠ADC
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理，切线的性质，平行的判定，圆周角定理逐一作出判断．
【详解】解：选项A：∵CD是的直径，弦AB⊥CD于点G，∴由垂径定理可知：AG=BG．结论正确．
选项B：∵直线EF与相切与点D，∴EF⊥AD．∴AB∥EF．结论正确．
选项C：要AD∥BC，即要∠ABC=∠BAD，由圆周角定理，∠ABC=∠ADC，即要∠BAD =∠ADC，即要AG=DG，但没此条件．结论错误．
选项D：∵∠ABC和∠ADC是同弧所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC．结论正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解熟记定理是解题的关键．
7. 如图，是用一把直尺、含角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为含角的直角三角板斜边与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一的交点，若，则光盘的直径是（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．设三角板与圆的切点为，连接、，由切线长定理得出、，根据可得答案．
【详解】解：设三角板与圆切点为，连接、，
由切线长定理知，平分，
，
在中，，
光盘的直径为，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A. 与x轴相交，与y轴相切B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交D. 与x轴相切，与y轴相离
【答案】C
【解析】
【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（ ）
A. B. C. D. π
【答案】D
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AC=，AB=4，∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE，∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB=∠DAE，AE=AC=，AD=AB=4，∴∠CAE=∠DAB=90°，∴阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE=+×2×﹣﹣×2×=π．故选D．
点睛：本题考查了三角形、扇形面积，旋转的旋转，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是把求不规则图形的面积转化成求规则图形（如三角形、扇形）的面积．
10. 如图，的内切圆（圆心为点与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法不正确的是（ ）
A. 射线一定过点
B. 点是三条中线的交点
C. 若是等边三角形，则
D. 点是三条边的垂直平分线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心，掌握三角形的外心和内心的定义、基本尺规作图是解题的关键．根据基本尺规作图、三角形的内心的定义、外心的定义、等边三角形的性质判断即可．
【详解】解：圆是的内切圆，
点是三个内角平分线的交点，
由尺规作图可知，射线是的平分线，
射线一定过点，故选项说法正确，不符合题意；
点是三边垂直平分线的交点，故选项说法错误，符合题意；选项说法正确，不符合题意；
是等边三角形，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
，故C选项说法正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义， 根据定义解题即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
∴且，
解的：，
故答案为：2．
12. A，B，C是上的三点，经过点A，点B分别作的切线，两切线相交于点P，如果的度数=________
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的性质以及及圆内接四边形的性质，注意分情况讨论是解题关键．直接利用切线的性质结合圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出答案．
【详解】解：如图所示：连接，，
经过点，点分别作的切线，两切线相交于点，
若点C在优弧上，
，
，
，
，
若点C在劣弧上，
则，
综上所述：或．
故答案为：或．
13. 求边长为6的等边三角形的内切圆的半径_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．
【详解】解：如图：等边三角形，边长为6，
过点作，则，
因为，
所以．
故答案为：
14. 如图，扇形纸扇完全打开后，扇形的面积为，，则的长度为____________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积公式、解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设，则．由题意，解方程即可．
【详解】解：设，
．
由题意，
解得，（负值舍去），
．
故答案为：．
15. 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是______________.
【答案】
【解析】
【详解】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．
解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD=CD；
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠ABD==60°，
∴∠BAD=30°，AD=AB•cs30°=2×=，
∴a=2cm．
故选A．
“点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
16. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】证明，得出；证明，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解∶，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值，然后计算加减法即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式，然后计算加减法即可．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：
∵，
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19. 福山大面，被称为中国四大面条之一，据传已有三百年的历史，其早期是用香油浸泡过的砂陶碗（图①）盛装图②是从正面看到的一个砂陶碗的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深．求的长．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，
，
，
，
，
即的半径为．
20. 如图，正五边形的边长为3，以A为圆心，以为半径作弧，
（1）求弧的长度．
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积和弧长，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
（1）直接运用正五边形的性质及多边形内角和公式求出内角度数，再运用弧长公式计算即可；
（2）利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
【小问1详解】
五边形是正五边形，
；
∴
；
【小问2详解】
21. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【答案】AB=6m
【解析】
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】解：，
∴,即
，
即
解得，
解得，
即路灯A的高度AB为.
22. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
23. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图所示，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．

（1）求观景台的高度
（2）求塔的高度．（精确到0.1）
【答案】（1）
（2）塔的高度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用三角函数进行计算，即可解答；
（2）过点作，垂足为，设，则，由求得，，再利用三角函数列出方程求解即可．
【小问1详解】
在中
，
的长为；
【小问2详解】
过点作，垂足为，

设，则，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
∴塔的高度为
24. 如图，为的直径，与相切于交于E，点D是边的中点，连结．
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用．
（1）根据切线的判定定理只需证明即可；
（2）根据（1）中的证明过程，会发现，根据勾股定理求得的长，再由相似三角形的判定与性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接
是的直径
在中
是中点
即：
与相切于点B
与相切
【小问2详解】
由（1）得
在中

25. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
（1）求证：AB=AC；
（2）若BD=18，DE=2，求CD的长.
【答案】（1）证明如下
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平分，得，根据圆内接四边形的性质，得，平角的性质，等量代换，得，根据同弧所对的圆周角相等，得，再根据等角对等边，即可证明；
（2）过点作于点，得，根据平分，得，再根据，是公共边，得，得到，；又根据，得，得；最后根据，，即可求出的值．
【小问1详解】
∵平分
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
【小问2详解】
过点作于点
∴
∵平分
∴
∵
∴
又∵是公共边
∴
∴，
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等．
26. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E是上的一个动点，连接，交于点F．
（1）如图①，当时，求的值
（2）如图②，当平分时，求证：
（3）如图③，当E是的中点时，过点F作于点G，求证：
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，理解正方形的性质是关键．
（1）由四边形是正方形，得到，再证明，最后由相似三角形的性质求解即可；
（2）由四边形是正方形，于是得到，再证得，从而得出，再由等腰直角三角形的性质可得，最后得到结论．
（3）由及E是的中点得出，从而可得，再证得，最后由相似三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
解：在正方形中，
，
，，
；
【小问2详解】
证明：四边形是正方形，
，
平分，
，
，
，
，
，
中是等腰直角三角形，
，
；
【小问3详解】
证明：由（1）得，
，
是中点，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，