2023-2024学年江西省抚州市临川区九年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年江西省抚州市临川区九年级（上）期中数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．2.1＜x＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.5
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
4．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1且a≠0B．a＜1且a≠0C．a≤1D．a＜1
5．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．12C．12或16D．无法确定
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（ ）
A．②③④B．①②③C．①④D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与为雄鸟的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为 ．
8．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为 ．
9．关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝ 时，代数式为完全平方式．
10．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 ．
11．已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，则该菱形的面积是 ．
12．在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解一元二次方程．
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0．
14．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．
15．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）随机地抽取一张，求抽到偶数的概率；
（2）请你通过列表或画树状图分析：随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“4的倍数”的概率为多少？
16．已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．
17．如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+的值．
19．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？
（4）学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
六、（本大题共12分）
23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比
2．根据下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．2.1＜x＜2.2B．2.2＜x＜2.3C．2.3＜x＜2.4D．2.4＜x＜2.5
【分析】从表格中的数据可以看出，当x＝2.3时，y＝﹣0.01；当x＝2.4时，y＝0.06，函数值由负数变为正数，此过程中存在方程ax2+bx+c＝0的一个根．
解：∵当x＝2.3时，y＝﹣0.01；当x＝2.4时，y＝0.06，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是2.3＜x＜2.4，
故选：C．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似值，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
4．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1且a≠0B．a＜1且a≠0C．a≤1D．a＜1
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×1＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
∵方程ax2﹣2x+6＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤1且a≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．12C．12或16D．无法确定
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB，即可求出菱形的周长，
解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
当x1＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当x2＝4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，∴菱形的周长为4×4＝16．
故选：A．
【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，解本题的关键是确定出菱形的边长，难点是用三角形的三边关系判断符合条件的x的值，也是易错点．
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（ ）
A．②③④B．①②③C．①④D．①②③④
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，进而判断①正确；
根据ASA证明△AOE与△COF全等，进而判断②正确；
根据全等三角形的性质判断③④正确即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
∵BF⊥AC，
∴OM＝MC，
∴FM是OC的垂直平分线，
∴FO＝FC，故①正确；
∵OB＝CB，FO＝FC，FB＝FB，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴∠FOB＝∠FCB＝90°，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵△OBE≌△OBF≌△CBF，
∴③正确；
∵BC＝AD＝2，FM⊥OC，∠CBM＝30°，
∴BM＝3，故④正确；
故选：D．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与为雄鸟的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为 ．
【分析】列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．
解：
共8种情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，所以概率为．
故答案为．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键．
8．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为 30×（1+x）2＝56 ．
【分析】三月份的营业额＝一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
解：二月份的营业额为30×（1+x），
三月份的营业额为30×（1+x）×（1+x）＝30×（1+x）2，
即所列的方程为30×（1+x）2＝56，
故答案为30×（1+x）2＝56．
【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
9．关于x的代数式x2+（m+2）x+（4m﹣7）中，当m＝ 4或8 时，代数式为完全平方式．
【分析】此题考查了一次项的求法，一次项系数等于二次项系数的算术平方根与常数项的算术平方根的积得2倍，注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个．
解：∵m+2＝±2×1×，
∴（m+2）2＝4（4m﹣7），
∴m2﹣12m+32＝0，
∴（m﹣4）（m﹣8）＝0，
∴m1＝4，m2＝8
∴当m＝4或8时，代数式为完全平方式．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，一元二次方程的解法，解此题的关键是一次项的求解．
10．已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是 菱形 ．
【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF＝EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE＝EH，即可得出四边形EHFG是菱形．
【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴GF∥AD，GF＝AD，GE＝BC，EH∥AD，EH＝AD，
∴GF∥EH，GF＝EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD＝BC，
∴GE＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为：菱形．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法；熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系是解决问题的关键．
11．已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，则该菱形的面积是 24 ．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利菱形的面积即可求出答案．
解：∵x2﹣14x+48＝0，
∴x＝6或x＝8，
∴该菱形的对角线长分别为6或8，
∴菱形的面积＝，
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
12．在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为 12或6或2 ．
【分析】分三种情况：BE、CF不相交；BE、CF相交，但点E、F在线段AD上；BE、CF相交，且点E点在D右侧，点F在点A左侧．①当BE、CF不相交时，根据题意可得AE＝EF＝DF＝AB＝4，则BC＝3AE＝12；②当BE、CF相交，但点E、F在线段AD上时，根据题意可得AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，AF+EF+EF+DE＝8，解得AF＝2，则BC＝3AF＝6；③当BE、CF相交，且点E在点D右侧，点F在点A左侧时，根据题意可得AB＝AE＝4，DF＝CD＝4，AF+AD+AD+DE＝8，解得AD＝2，则BC＝2．
解：①当BE、CF不相交时，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AE＝EF＝DF＝AB＝4，
∴BC＝3AE＝12；
②当BE、CF相交，但点E、F在线段AD上时，如图，
∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AE＝EF＝DF，
同理可证：，
∵AB＝AE＝4，CD＝DF＝4，
∴AF+EF+EF+DE＝8，
∴AF＝2，
∴BC＝3AF＝6；
③当BE、CF相交，且点E在点D右侧，点F在点A左侧时，如图，
∵点A，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AF＝AD＝DE，
同理可证：，
∵AB＝AE＝4，DF＝CD＝4，
∴AF+AD+AD+DE＝8，
∴AD＝2，
∴BC＝AD＝2；
综上，BC的长为12或6或2．
故答案为：12或6或2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边性质和等腰三角形的判定是解题关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解一元二次方程．
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（2x+1）2﹣4（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1﹣4）＝0，
2x+1＝0或2x+1﹣4＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
14．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形．
【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
【解答】证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
同理，AB＝AF，
∴BE＝AF．
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴▱ABEF是菱形，
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是先证明四边形ABEF是平行四边形．
15．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）随机地抽取一张，求抽到偶数的概率；
（2）请你通过列表或画树状图分析：随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“4的倍数”的概率为多少？
【分析】（1）先求出这组数中偶数的个数，再利用概率公式解答即可；
（2）根据题意列举出能组成的数的个数及组成的两位数是4的倍数的个数，再利用概率公式解答．
解：（1）∵随机地抽取一张，所有可能的情况是：1，2，3三种，且它们出现的可能性相等，而结果出现偶数的有2一种，
∴P（奇数）＝；
（2）根据题意画树状图如下：
则组成的两位数有：12、13、21、23、31、32，其中是4的倍数的有12、32，
∴所求概率P＝＝．
【点评】本题主要考查了树状图法与列表法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
16．已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求作．
（2）连接AC交BD于点O，作在AP交BC于点E，作直线OE交AD于点F，连接CF交BD于点Q，点Q即为所求作．
解：（1）如图，点Q即为所求作．
（2）如图，点Q即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
【分析】把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程求解即可．
解：设水渠的宽度为xm，由题意得：
（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6．
解得x1＝105（不含题意，舍去），x2＝1．
∴x＝1．
答：水渠的宽度为1m．
【点评】此题主要考查一元二次方程的应用，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；
（2）可化简得原式＝a+﹣1，然后通分后再次代入后化简即可．
解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2＝2020a﹣1，
∴a2＝2020a﹣1，
∴2a2﹣4040a﹣3
＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3
＝4040a﹣2﹣4040a﹣3
＝﹣5；
（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+
＝a+﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝2020﹣1
＝2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000，
（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ABF≌△DAE（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
设AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝＝x，
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 40 人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？
（4）学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？
【分析】（1）由“C”等级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以“D”等级的人数所占的比例得出扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，再求出B”层级的人数，补全条形统计图即可；
（3）由全校共有学生人数乘以“A”层级的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，再由概率公式求解即可．
解：（1）接受问卷调查的学生共有：16÷40%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：，
“B”层级的人数为：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）估计“A”层级的学生约有：（人）；
（4）画树状图得：
共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为，
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图、扇形统计图等知识．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【分析】（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．分两种情形讨论①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，分别求解即可；
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，由四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，推出PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，推出t＝4或16，可得24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，解方程即可解决问题；
解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
六、（本大题共12分）
23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD＝BF＝；然后由CF＝BF﹣BC＝即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF＝90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD＝＝，
∴BF＝，
∴CF＝BF﹣BC＝﹣1；
（3）解：如图2，∵CF＝﹣1，BH＝CF
∴BH＝﹣1，
①当BH＝BP时，则BP＝﹣1，
∵∠PBC＝45°，
设P（x，x），
∴2x2＝（﹣1）2，
解得x＝1﹣或﹣1+，
∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；
②当BH＝HP时，则HP＝PB＝﹣1，
∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（﹣1，﹣1）；
③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）或（﹣1，﹣1）或（，）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2+bx+c
﹣0.12
﹣0.03
﹣0.01
0.06
0.18
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2+bx+c
﹣0.12
﹣0.03
﹣0.01
0.06
0.18