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物理选择性必修 第二册第二节 描述交变电流的物理量导学案及答案
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这是一份物理选择性必修 第二册第二节 描述交变电流的物理量导学案及答案，共25页。
3．掌握交变电流有效值与峰值的关系，会进行有效值的计算。
4．理解交变电流的图像意义，能从图像中获取相关信息。
知识点一 交变电流的周期和频率
1．周期：交变电流完成一次周期性变化的时间叫作它的周期。单位是s。
2．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数叫频率。单位是Hz。
3．周期T、频率f、角速度ω的关系：ω＝2πT＝2πf，T＝1f。
知识点二 交变电流的峰值和有效值
1．峰值：交变电流在一个周期内所能达到的最大值。
2．有效值
(1)定义：交变电流和恒定电流分别通过相同阻值的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，这一恒定电流的数值就是相应交变电流的有效值。
(2)应用：
①无特别说明的交变电流的电压、电流值是有效值。
②交流电表测量的交变电流的电压、电流值是有效值。
③交流电气设备铭牌上所标注的额定电压、额定电流指有效值。
3．正弦式交变电流有效值和峰值的关系
E＝Em2≈0.707Em。
I＝Im2≈0.707Im。
U＝Um2≈0.707Um。
知识点三 用图像描述交变电流
1．物理意义：描述交变电流(电动势e、电流i、电压u)随时间t(或角度ωt)变化的规律。
2．正弦式交变电流的图像
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于一个正弦式电流的峰值同周期、频率一样是不变的，但有效值是随时间不断变化的。(×)
(2)正弦式交变电流的正负两部分是对称的，所以有效值为零。(×)
(3)正弦式交变电流的有效值等于峰值的22倍。非正弦式交变电流的有效值不一定等于峰值的22倍。(√)
(4)只要是交变电流，其峰值就是有效值的2倍。(×)
(5)家用电器铭牌上标注的电流、电压都是指有效值。(√)
2．(多选)某交变电流的方向在1 s内改变100次，则其周期T和频率f分别为( )
A．T＝0.01 s B．T＝0.02 s
C．f＝100 Hz D．f＝50 Hz
[答案] BD
3．(多选)(2022·陕西延安第一中学高二期中)如图所示是一个正弦式交变电流的图像，下列说法正确的是( )
A．周期是0.2 s，电流的峰值是10 A
B．周期是0.25 s，电流的峰值是10 A
C．频率是5 Hz，电流的有效值是10 A
D．频率是5 Hz，电流的有效值是52 A
AD [由题图图像可知，交流电的周期T＝0.2 s，频率f＝1T＝5 Hz，交流电流的峰值为Im＝10 A，有效值I＝102 A＝52 A，故选A、D。]
(1)电磁打点计时器接到干电池上怎样调整也不打点，而接到学生电源的低压交流挡上就顺利打点，且每隔0.02 s打一个点。打点计时器打点时间间隔为什么为0.02 s？其时间间隔由什么决定？
提示：电磁式打点计时器的打点频率与工作电流频率相同，我国生产、生活用电的频率为50 Hz，所以打点计时器的打点时间间隔T＝1f＝0.02 s；时间间隔由电源的频率决定。
(2)如图甲、乙中电炉烧水，设其他条件都相同，水的质量相等，水的初温相同。若恒定电流用10 min 把水烧开，而交变电流也用10 min把水烧开。两种情况下电阻热量相同吗？交流电电流的有效值是多少？
提示：热量相同。有效值是3 A。
交变电流的周期和频率
1．周期和频率的物理意义：交变电流的周期与频率都是描述交变电流变化快慢的物理量。
2．周期T：交变电流完成一次周期性变化的时间，单位是s。周期越大，电流变化越慢；在一个周期内，电流的方向改变2次。
3．频率f：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹，符号为Hz，频率越大，电流变化越快。
4．周期和频率的关系：T＝1f或f＝1T。
【典例1】 关于交变电流的周期和频率，下列说法正确的是( )
A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s
C [根据周期的定义知选项A错误；因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期，B错误；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝1f＝150 s＝0.02 s，知选项D错误。]
(1)由交变电流的图像可直接获得的信息有：①该交变电流的最大值、周期；②任意时刻交变电流的数值。
(2)掌握角速度ω、周期T、转速n的关系。
ω＝2πT；ω＝2πn；n＝1T。
[跟进训练]
1．(多选)某小型发电机产生的交流电动势为e＝50sin 100πt(V)。对此电动势，下列表述正确的有( )
A．周期是0.02 s
B．t＝0时刻线圈平面与中性面重合
C．频率是5 Hz
D．最大值是50 V
ABD [周期是T＝2πω＝2π100π s＝0.02 s，频率为50 Hz，选项A正确，C错误；t＝0时刻e＝0，此时线圈平面与中性面重合，选项B正确；最大值是50V, D正确。]
交变电流的峰值和有效值
1．有效值的理解
(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应定义的，与电流的方向无关。
(2)“等效”理解：相同电阻、相同时间，产生相同热量。交变电流与多大的直流“效果”相同，有效值就是多大。
2．有效值的计算方法
(1)特殊值法：若按正(余)弦规律变化的电流，可利用交变电流的有效值与峰值间的关系求解，即E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
(2)定义法：当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解。
计算交变电流在一个周期内产生的热量Q⇨将热量Q用相应的物理量的有效值表示 Q＝I2Rt或Q＝U2Rt ⇨代入数值，求解有效值
3．几种常见交变电流的有效值
【典例2】 一根电阻丝接入100 V的直流，2 min内产生的热量为Q，同样的一根电阻丝接入正弦式交变电压，1 min内产生的热量也为Q，那么该交变电压的最大值为( )
A．1002 V B．200 V
C．502 V D．70 V
[思路点拨] 对于正弦式交流电产生的热量应由有效值来计算，即Q＝I有2Rt＝U有2Rt，且有效值与最大值之间的关系为U有＝22Um，据此本题求解就很明了了。
B [设该交变电压最大值为Um，则Q＝U2Rt1＝Um22Rt2，其中U＝100 V，t1＝2 min＝120 s，t2＝1 min＝60 s，解得Um＝200 V，故选B。]
求解有效值的一般步骤
(1)首先要分析交变电流的变化规律，在一个交变电流中可能存在几种形式的交流。
(2)一个交变电流中存在几种形式，可在一个周期内分段求出产生的热量，再求其和。
(3)正弦式交变电流的最大值和有效值的关系是：I＝Im2，U＝Um2，非正弦式交变电流不符合此关系。
(4)分段不同，矩形脉冲的交流的有效值不是算术平均值，而是分段用焦耳定律求解。
[跟进训练]
2．如图所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为( )
A．12I0 B．22I0 C．32I0 D．I0
C [由i-t图像知交变电流的周期T＝2 s。一个周期内：前半个周期电流的有效值：I1＝I02，后半个周期电流的有效值：I2＝I0。设交变电流的有效值为I，根据交变电流有效值的定义有I2RT＝I12RT2+I22RT2＝I022RT2+I02RT2，解得I＝32I0，故选项C正确。]
正弦式交变电流的图像
1．用图像描述交变电流的变化规律(在中性面时t＝0)
2．从图像中可以解读到以下信息
(1)交变电流的峰值Em、Im和周期T。
(2)两个特殊值对应的位置：
①e＝0(或i＝0)时：线圈位于中性面上；
e最大(或i最大)时：线圈平行于磁感线。
②e＝0(或i＝0)时，ΔΦΔt＝0，Φ最大。
e最大(或i最大)时，ΔΦΔt最大，Φ＝0。
(3)分析判断e、i大小和方向随时间的变化规律。
【典例3】 处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab垂直。在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合，如图所示，线圈的cd边离开纸面向外运动。若规定由a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i随时间t变化的图线是( )
A B
C D
[思路点拨] ①线圈从垂直中性面开始计时，产生的交变电流按余弦规律变化。②由楞次定律知前14周期产生正方向电流。
C [题图所示时刻cd边垂直切割磁感线，产生的感应电动势最大，此时感应电流最大，由楞次定律可判断电流方向为a→b→c→d→a，与规定的正方向相同，所以正确答案为C。]
图像的分析方法
一看：看“轴”、看“线”、看“斜率”、看“点”，并理解其物理意义。
二变：掌握“图与图”“图与式”和“图与物”之间的变通关系。
三判：在此基础上进行正确地分析和判断。
[跟进训练]
3．(多选)在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示；产生的交变电动势的图像如图乙所示，则( )
A．t＝0时穿过线框的磁通量为零
B．t＝0.01 s时线框的磁通量变化率为零
C．线框产生的交变电动势有效值约为220 V
D．线框产生的交变电动势频率为100 Hz
BC [t＝0时线框产生的感应电动势为零，线框处于中性面，穿过线框的磁通量最大，故A错误；t＝0.01 s 时线框产生的感应电动势为零，可知线框的磁通量变化率为零，故B正确；线框产生的交变电动势有效值约为E＝Em2＝3112 V≈220 V，故C正确；交变电动势的周期为0.02 s，则线框产生的交变电动势频率为f＝1T＝10．02 Hz＝50 Hz，故D错误。]
交变电流的四值比较
【典例4】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，π＝3.14，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝Em2＝3142 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，
即P外＝E2R＝3142210 W≈1.97×104 W。
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为e＝Emsin 30°＝314 V，
感应电流的瞬时值为i＝eR＝31410 A＝31.4 A。
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为
E＝NΔΦΔt，
平均感应电流为I＝NΔΦRΔt，
故通过导线横截面的电荷量为q＝IΔt＝NΔΦR＝NBL21-cs60°R＝0.1 C。
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A (3)0.1 C
应用交变电流四值时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。
[跟进训练]
4．交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机( )
A．电动势的峰值为10 V
B．电动势的有效值为9 V
C．交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为102 V
D．交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为202π V
D [因电压表示数为9 V，所以电路中的电流I＝99 A＝1 A，故电动势的有效值E＝I(r＋R)＝10 V，其最大值Em＝2E＝102 V，故A、B错误；线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0，C错误；转过90°的过程中的平均感应电动势，应用公式E＝nΔΦΔt求解，E＝nΔΦΔt＝nΦ2-Φ1Δt＝n0-BSπ2ω＝2nBSωπ，又nBSω＝102 V，故E＝202π V，D正确。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．使用交流的用电器铭牌上所标示的额定电压、额定电流的数值均为最大值
B．用交流电流表和电压表测得的数值是有效值
C．照明电路电压220 V指的是有效值
D．所有交变电流的有效值和最大值之间均存在E＝Em2、U＝Um2和I＝Im2的关系
BC [各种使用交流电的用电器铭牌上所标示的数值均为有效值，故A项错误；交流电表测得的数值为有效值，故B项正确；照明电路电压220 V指的是有效值，故C项正确；E＝Em2、U＝Um2、I＝Im2是正弦式交变电流有效值和最大值的关系，故D项错误。故正确答案为B、C。]
2．(多选)一个矩形线圈在匀强磁场中转动，产生的感应电动势为e＝2202sin 100πt(V)，则( )
A．交流电的频率是100π Hz
B．t＝0时，线圈位于中性面
C．交流电的周期是0.02 s
D．t＝0.05 s时，e有最大值
BC [由瞬时值表达式知：感应电动势按正弦规律变化，所以t＝0时，线圈位于中性面，角速度ω＝100π rad/s，因ω＝2πf，所以f＝ω2π＝100π2π Hz＝50 Hz，故A错误，B正确；由T＝1f得T＝150 s＝0.02 s，故C正确；当t＝0.05 s时，e＝2202sin 5π(V)＝0，故D错误。]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比Q甲Q乙等于( )
A．12 B．12 C．14 D．11
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流的有效值，题图甲的有效值为I1＝Im2，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得Q甲Q乙＝12，B正确。]
4．(2022·山东肥城第一高级中学高二期末)如图所示，空间中分布着磁感应强度大小为B的匀强有界磁场，EF是其左边界，一面积为S的n匝圆形金属线框垂直于磁场放置，圆形线圈的圆心O在EF上，若线框以角速度ω绕EF匀速转动，并从图示位置开始计时，则( )
A．t＝2πω时，线框中的感应电流最大
B．t＝π2ω时，穿过线框的磁通量最大
C．线框中产生的交变电动势的最大值为nBSω
D．线框中产生的交变电动势的有效值为24nBSω
D [当t＝2πω时，即ωt＝2π时，线框回到题图所示位置，此时的感应电流最小，磁通量最大，A错误；当t＝π2ω，即ωt＝π2时，线圈转到与题图所示垂直的位置，此时磁通量为零，B错误；线框中产生的交变电动势的最大值为Em＝nBS2ω＝12nBSω，C错误；线框中产生的交变电动势的有效值为E＝Em2＝24nBSω，D正确。]
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．交变电流的周期和频率分别是什么？
提示：(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝2πω。
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝1f。
2．正弦式交变电流的函数表达式(从中性面开始计时)是什么？
提示：(1)电动势e＝Emsin ωt＝nBSωsin ωt。
(2)电流i＝Imsin ωt＝EmR+rsin ωt。
(3)电压u＝Umsin ωt＝Em·RR+rsin ωt。
3．什么叫有效值？
提示：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫作交变电流的有效值。
4．如何求有效值？
提示：计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫作交变电流的有效值。对于正弦式交流电，其有效值和峰值的关系为E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
课时分层作业(十) 描述交变电流的物理量
题组一 交变电流的峰值和有效值
1．下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数
B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压
D．220 V交流电压
C [交流电压表测量的电压值就是电压的有效值；保险丝熔断是因为电阻发热使温度超过了熔断值，而与电热相关的电流值就是指有效值；电容器的击穿是因为电压瞬时值超过了其击穿电压值，这是瞬时值，所以击穿电压表示的是电压最大值；220 V交流电压，是有效值。故应选C。]
2．下列关于交变电流的说法正确的是( )
A．若交变电流的峰值为5 A，则它的最小值为－5 A
B．用交流电流表测交变电流时，指针来回摆动
C．我国工农业生产和生活用的交变电流频率为50 Hz，故电流方向每秒改变100次
D．正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的峰值为20 A，频率为100 Hz
C [电流的负值表示电流方向与规定正方向相反，不表示大小，A项错误；交流电流表测交变电流时，显示的是有效值，指针不会来回摆动，B项错误；我国工农业生产和生活用的交变电流，周期为0.02 s，交流电方向一个周期改变两次，所以每秒改变100次，C项正确；由ω＝2πf，得正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的频率为 5 Hz，D项错误。]
3．在相同的时间内，某正弦交变电流通过一阻值为100 Ω的电阻产生的热量，与一电流为3 A的直流通过同一阻值的电阻产生的热量相等，则( )
A．此交变电流的有效值为3 A，最大值为32 A
B．此交变电流的有效值为32 A，最大值为6 A
C．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值不确定
D．电阻两端的交流电压的有效值为3002 V，最大值为600 V
A [根据交变电流有效值的定义知交变电流的有效值即为直流的电流值，为3 A。根据有效值与最大值的2倍关系，易知交变电流的最大值为32 A，故A正确，B错误；根据欧姆定律U＝IR，则有U有效＝I有效R，Um＝ImR，得电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为3002 V。故C、D错误。]
4．将正弦式交流电经过整流器处理后，得到的电流波形刚好去掉了半周，如图所示，它的有效值是( )
A．2 A B．2 A
C．22 A D．1 A
D [Q交＝Im22RT2＝2R×T2＝RT，Q直＝I2RT，Q交＝Q直，故I＝1 A，D正确。]
5．如图所示，正弦交流甲和方波交流乙的峰值、频率完全相同，把两电流分别输入完全相同的两个电阻中，经过相同的时间(足够长)后，两电阻中消耗的电能之比W甲∶W乙为( )
A．1∶2 B．1∶2
C．1∶1 D．1∶22
A [在一个周期T内，正弦交流电在电阻中消耗的电能为W甲＝I22Rt，方波交流电在电阻中消耗的电能为W乙＝I2Rt，所以W甲∶W乙＝1∶2，故A正确。]
6．(2022·内蒙古阿拉善盟第一中学高二期末)正方形金属线框MNQP的PQ边与匀强磁场的边界重合，匀强磁场垂直纸面向外且范围足够大，第一次将金属线框以速度v匀速拉进匀强磁场内(如图甲)；第二次金属框以PQ边为轴匀速转动，MN边的线速度大小为v，线框从上往下看逆时针旋转180°(如图乙)。设两个过程中线框中产生的焦耳热分别为Q1和Q2，则Q1Q2等于( )
A．4 B．8
C．4π D．8π
C [设正方形金属线框的边长为l，电阻为R，磁场的磁感应强度为B，题图甲产生的感应电动势为E1＝Blv，进入过程时间为t1＝lv，产生的热量为Q1＝E12Rt1＝B2l3vR；题图乙产生的为正弦式交变电流，感应电动势有效值为E＝Blv2，在磁场中转动时间为t2＝πl2v，产生的热量为Q2＝E2Rt2＝πB2l3v4R，联立解得Q1Q2＝4π，故选C。]
题组二 交变电流的图像
7．(多选)(2022·贵州凯里一中高二期中)如图甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线圈产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框总电阻为5 Ω，则( )
A．线圈的转速为100 r/s
B．当线框平面与中性面的夹角为45°时，线框产生的电动势的大小为22 V
C．在0～0.01 s时间内，通过线框某一横截面的电荷量约为4.0×10-2 C
D．线框转动一周，cd边产生的焦耳热为3.87 J
BC [由题图乙可知，周期为0.02 s，则线圈的转速为n＝f＝1T＝50 r/s，故A错误；由题图乙可知，周期为0.02 s，Emax＝222 V，角速度ω＝2πT＝100π rad/s，则该交变电流的瞬时表达式为e＝222sin 100πt(V)，矩形金属线框平面与中性面的夹角为45°，则e＝222sin 45°(V)＝22 V，故B正确；当t＝0.01 s时刻感应电动势等于零，所以穿过线框回路的磁通量最大，线框平面与中性面重合，矩形金属线框平面与磁感线垂直，从t＝0到t＝0.01 s时间内，磁通量变化量为ΔΦ＝2BS＝2Emaxω＝2×222100π Wb，通过线框某一截面的电荷量为q＝ΔΦR＝2×222100π×15 C≈4.0×10-2 C，故C正确；线框转动一周，cd边产生的焦耳热为Q＝14E2RT＝14×2225×0.02 J＝0.484 J，故D错误。]
8．(多选)如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图乙中曲线a、b所示，则( )
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
AC [由题图乙知t＝0时两次转动产生的瞬时电动势都等于零，故A正确；由题图乙知两次转动所产生的交变电动势的周期之比Ta∶Tb＝2∶3，再由周期与转速的关系n＝1T得na∶nb＝3∶2，故B错误；因Ta＝4×10-2 s，故fa＝1Ta＝25 Hz，C正确；因Ema＝15 V，而Em＝NBSω＝2πNBST，故Emb＝TaTbEma＝10 V，Eb＝Emb2＝52 V，D错误。]
题组三 交变电流四值比较
9．如图所示，一交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动，线圈匝数N＝100，线圈电阻r＝3 Ω，ab＝cd＝0.5 m，bc＝ad＝0.4 m，磁感应强度B＝0.5 T，电阻R＝311 Ω，当线圈以n＝300 r/min的转速匀速转动时。取π＝3.14，求：
(1)感应电动势的最大值；
(2)t＝0时线圈在图示位置，写出此交变电流电动势瞬时值表达式；
(3)此电压表的示数是多少？
[解析] (1)电动势的最大值为Em＝NBωS＝NB·(2πn转)·(ab·bc)＝314 V。
(2)电动势瞬时值的表达式e＝Emsin ωt＝314sin 10πt(V)。
(3)UV＝RR+r×22Em≈220 V。
[答案] (1)314 V (2)e＝314sin 10πt(V) (3)220 V
10．(多选)(2021·浙江1月选考)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。则金属框转动一周( )
A．框内电流方向不变
B．电动势的最大值为Um
C．流过电阻的电荷量q＝2BL2R
D．电阻产生的焦耳热Q＝πUmBL2R
BD [由于滑环的作用，通过R的电流方向不变，但是框内的电流方向是变化的，A错误；由题图可知，由于线框没有电阻，所以电动势等于电阻两端的电压，B正确；因为流过R的电流方向不变，金属框转动半周，流过R的电荷量q′＝IΔt＝ERΔt＝ΔΦR＝2BL2R，所以金属框转动一周流过R的电荷量q＝2q′＝4BL2R，C错误；由Um＝BL2ω，解得ω＝UmBL2，金属框转动一周，电阻产生的焦耳热Q＝U2RT＝Um22R·2πω＝πUmBL2R，D正确。]
11．(2022·广东卷)如图所示是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1>n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是( )
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
B [根据E＝nΔΦΔt，两线圈中磁通量的变化率相等，但是匝数不等，则产生的感应电动势最大值不相等，有效值也不相等，根据P＝U2R，可知，两电阻的电功率也不相等，选项A、D错误；因两线圈放在同一个旋转条形磁铁的旁边，则两线圈产生的交流电的频率相等，选项B正确；当磁铁的磁极到达线圈附近时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，可知两线圈产生的感应电动势不可能同时达到最大值，选项C错误。]
12．有一交流发电机模型，用示波器观察到它产生的感应电动势波形如图所示，求：
(1)电动势的最大值和有效值；
(2)当t＝1200 s时，电动势的瞬时值，并指出此时线圈相对于磁场的位置；
(3)已知线圈面积为16 cm2，共25匝，计算匀强磁场的磁感应强度。
[解析] (1)由图像可知电动势的最大值Em＝5 V，根据正弦交流电的最大值和有效值的关系，有效值为：E＝22Em≈3.5 V。
(2)因为e＝Emsin ωt＝5sin 100πt(V)，当t＝1200 s时，
e＝5sin 100π×1200 V＝5 V，
这时线圈平面跟磁感线平行。
(3)由于Em＝nBSω，所以B＝EmnSω＝525×2π×50×16×10-4 T≈0.4 T。
[答案] (1)5 V 3.5 V (2)5 V 线圈平面跟磁感线平行 (3)0.4 T
13．如图所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转。已知匀强磁场的磁感应强度B＝52πT。若线框以ω＝100 π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V 12 W”的小灯泡供电，则：
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式。
(2)由题中所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
[解析] (1)线框转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝52π×0.02×100π V ＝102 V，
因线框转动从平行于磁感线位置开始计时，则感应电动势的瞬时值表达式为e＝Em cs ωt＝102cs 100πt(V)。
(2)由题意知灯泡的电阻R＝3 Ω，
线框产生的电动势的有效值E＝Em2＝10 V，灯泡两端电压U＝ER+rR＝5 V<6 V，故灯泡不能正常发光，其实际功率P＝U2R＝523 W＝253 W。
[答案] (1)e＝102cs 100πt(V) (2)不能 253 W
电流名称
电流图线
有效值
正弦式交
变电流
I＝Im2
正弦半
波电流
I＝Im2
正弦单向
脉动电流
I＝Im2
矩形脉
动电流
I＝tTIm
非对称性
交变电流
I＝12I12+I22
项目
函数
图像
说明
磁通量
Φ＝Φmcs ωt＝BS cs ωt
S为线圈的面积，N为线圈的匝数，r为线圈的电阻(内阻)，R为外电阻
电动势
e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt＝REmR+rsin ωt
电流
i＝Imsin ωt＝EmR+rsin ωt
项目
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝nBSω，Im＝EmR+r
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的电流值、电压值
E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)；
(2)交流电表的测量值；
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流；
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
E＝nΔΦΔt
I＝ER+r
计算通过电路横截面的电荷量
3．掌握交变电流有效值与峰值的关系，会进行有效值的计算。
4．理解交变电流的图像意义，能从图像中获取相关信息。
知识点一 交变电流的周期和频率
1．周期：交变电流完成一次周期性变化的时间叫作它的周期。单位是s。
2．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数叫频率。单位是Hz。
3．周期T、频率f、角速度ω的关系：ω＝2πT＝2πf，T＝1f。
知识点二 交变电流的峰值和有效值
1．峰值：交变电流在一个周期内所能达到的最大值。
2．有效值
(1)定义：交变电流和恒定电流分别通过相同阻值的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，这一恒定电流的数值就是相应交变电流的有效值。
(2)应用：
①无特别说明的交变电流的电压、电流值是有效值。
②交流电表测量的交变电流的电压、电流值是有效值。
③交流电气设备铭牌上所标注的额定电压、额定电流指有效值。
3．正弦式交变电流有效值和峰值的关系
E＝Em2≈0.707Em。
I＝Im2≈0.707Im。
U＝Um2≈0.707Um。
知识点三 用图像描述交变电流
1．物理意义：描述交变电流(电动势e、电流i、电压u)随时间t(或角度ωt)变化的规律。
2．正弦式交变电流的图像
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于一个正弦式电流的峰值同周期、频率一样是不变的，但有效值是随时间不断变化的。(×)
(2)正弦式交变电流的正负两部分是对称的，所以有效值为零。(×)
(3)正弦式交变电流的有效值等于峰值的22倍。非正弦式交变电流的有效值不一定等于峰值的22倍。(√)
(4)只要是交变电流，其峰值就是有效值的2倍。(×)
(5)家用电器铭牌上标注的电流、电压都是指有效值。(√)
2．(多选)某交变电流的方向在1 s内改变100次，则其周期T和频率f分别为( )
A．T＝0.01 s B．T＝0.02 s
C．f＝100 Hz D．f＝50 Hz
[答案] BD
3．(多选)(2022·陕西延安第一中学高二期中)如图所示是一个正弦式交变电流的图像，下列说法正确的是( )
A．周期是0.2 s，电流的峰值是10 A
B．周期是0.25 s，电流的峰值是10 A
C．频率是5 Hz，电流的有效值是10 A
D．频率是5 Hz，电流的有效值是52 A
AD [由题图图像可知，交流电的周期T＝0.2 s，频率f＝1T＝5 Hz，交流电流的峰值为Im＝10 A，有效值I＝102 A＝52 A，故选A、D。]
(1)电磁打点计时器接到干电池上怎样调整也不打点，而接到学生电源的低压交流挡上就顺利打点，且每隔0.02 s打一个点。打点计时器打点时间间隔为什么为0.02 s？其时间间隔由什么决定？
提示：电磁式打点计时器的打点频率与工作电流频率相同，我国生产、生活用电的频率为50 Hz，所以打点计时器的打点时间间隔T＝1f＝0.02 s；时间间隔由电源的频率决定。
(2)如图甲、乙中电炉烧水，设其他条件都相同，水的质量相等，水的初温相同。若恒定电流用10 min 把水烧开，而交变电流也用10 min把水烧开。两种情况下电阻热量相同吗？交流电电流的有效值是多少？
提示：热量相同。有效值是3 A。
交变电流的周期和频率
1．周期和频率的物理意义：交变电流的周期与频率都是描述交变电流变化快慢的物理量。
2．周期T：交变电流完成一次周期性变化的时间，单位是s。周期越大，电流变化越慢；在一个周期内，电流的方向改变2次。
3．频率f：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹，符号为Hz，频率越大，电流变化越快。
4．周期和频率的关系：T＝1f或f＝1T。
【典例1】 关于交变电流的周期和频率，下列说法正确的是( )
A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s
C [根据周期的定义知选项A错误；因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期，B错误；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝1f＝150 s＝0.02 s，知选项D错误。]
(1)由交变电流的图像可直接获得的信息有：①该交变电流的最大值、周期；②任意时刻交变电流的数值。
(2)掌握角速度ω、周期T、转速n的关系。
ω＝2πT；ω＝2πn；n＝1T。
[跟进训练]
1．(多选)某小型发电机产生的交流电动势为e＝50sin 100πt(V)。对此电动势，下列表述正确的有( )
A．周期是0.02 s
B．t＝0时刻线圈平面与中性面重合
C．频率是5 Hz
D．最大值是50 V
ABD [周期是T＝2πω＝2π100π s＝0.02 s，频率为50 Hz，选项A正确，C错误；t＝0时刻e＝0，此时线圈平面与中性面重合，选项B正确；最大值是50V, D正确。]
交变电流的峰值和有效值
1．有效值的理解
(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应定义的，与电流的方向无关。
(2)“等效”理解：相同电阻、相同时间，产生相同热量。交变电流与多大的直流“效果”相同，有效值就是多大。
2．有效值的计算方法
(1)特殊值法：若按正(余)弦规律变化的电流，可利用交变电流的有效值与峰值间的关系求解，即E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
(2)定义法：当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解。
计算交变电流在一个周期内产生的热量Q⇨将热量Q用相应的物理量的有效值表示 Q＝I2Rt或Q＝U2Rt ⇨代入数值，求解有效值
3．几种常见交变电流的有效值
【典例2】 一根电阻丝接入100 V的直流，2 min内产生的热量为Q，同样的一根电阻丝接入正弦式交变电压，1 min内产生的热量也为Q，那么该交变电压的最大值为( )
A．1002 V B．200 V
C．502 V D．70 V
[思路点拨] 对于正弦式交流电产生的热量应由有效值来计算，即Q＝I有2Rt＝U有2Rt，且有效值与最大值之间的关系为U有＝22Um，据此本题求解就很明了了。
B [设该交变电压最大值为Um，则Q＝U2Rt1＝Um22Rt2，其中U＝100 V，t1＝2 min＝120 s，t2＝1 min＝60 s，解得Um＝200 V，故选B。]
求解有效值的一般步骤
(1)首先要分析交变电流的变化规律，在一个交变电流中可能存在几种形式的交流。
(2)一个交变电流中存在几种形式，可在一个周期内分段求出产生的热量，再求其和。
(3)正弦式交变电流的最大值和有效值的关系是：I＝Im2，U＝Um2，非正弦式交变电流不符合此关系。
(4)分段不同，矩形脉冲的交流的有效值不是算术平均值，而是分段用焦耳定律求解。
[跟进训练]
2．如图所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为( )
A．12I0 B．22I0 C．32I0 D．I0
C [由i-t图像知交变电流的周期T＝2 s。一个周期内：前半个周期电流的有效值：I1＝I02，后半个周期电流的有效值：I2＝I0。设交变电流的有效值为I，根据交变电流有效值的定义有I2RT＝I12RT2+I22RT2＝I022RT2+I02RT2，解得I＝32I0，故选项C正确。]
正弦式交变电流的图像
1．用图像描述交变电流的变化规律(在中性面时t＝0)
2．从图像中可以解读到以下信息
(1)交变电流的峰值Em、Im和周期T。
(2)两个特殊值对应的位置：
①e＝0(或i＝0)时：线圈位于中性面上；
e最大(或i最大)时：线圈平行于磁感线。
②e＝0(或i＝0)时，ΔΦΔt＝0，Φ最大。
e最大(或i最大)时，ΔΦΔt最大，Φ＝0。
(3)分析判断e、i大小和方向随时间的变化规律。
【典例3】 处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab垂直。在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合，如图所示，线圈的cd边离开纸面向外运动。若规定由a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i随时间t变化的图线是( )
A B
C D
[思路点拨] ①线圈从垂直中性面开始计时，产生的交变电流按余弦规律变化。②由楞次定律知前14周期产生正方向电流。
C [题图所示时刻cd边垂直切割磁感线，产生的感应电动势最大，此时感应电流最大，由楞次定律可判断电流方向为a→b→c→d→a，与规定的正方向相同，所以正确答案为C。]
图像的分析方法
一看：看“轴”、看“线”、看“斜率”、看“点”，并理解其物理意义。
二变：掌握“图与图”“图与式”和“图与物”之间的变通关系。
三判：在此基础上进行正确地分析和判断。
[跟进训练]
3．(多选)在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示；产生的交变电动势的图像如图乙所示，则( )
A．t＝0时穿过线框的磁通量为零
B．t＝0.01 s时线框的磁通量变化率为零
C．线框产生的交变电动势有效值约为220 V
D．线框产生的交变电动势频率为100 Hz
BC [t＝0时线框产生的感应电动势为零，线框处于中性面，穿过线框的磁通量最大，故A错误；t＝0.01 s 时线框产生的感应电动势为零，可知线框的磁通量变化率为零，故B正确；线框产生的交变电动势有效值约为E＝Em2＝3112 V≈220 V，故C正确；交变电动势的周期为0.02 s，则线框产生的交变电动势频率为f＝1T＝10．02 Hz＝50 Hz，故D错误。]
交变电流的四值比较
【典例4】 在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，π＝3.14，求：
(1)外力驱动线圈转动的功率；
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；
(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。
[解析] (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V
感应电动势的有效值为E＝Em2＝3142 V
外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，
即P外＝E2R＝3142210 W≈1.97×104 W。
(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为e＝Emsin 30°＝314 V，
感应电流的瞬时值为i＝eR＝31410 A＝31.4 A。
(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为
E＝NΔΦΔt，
平均感应电流为I＝NΔΦRΔt，
故通过导线横截面的电荷量为q＝IΔt＝NΔΦR＝NBL21-cs60°R＝0.1 C。
[答案] (1)1.97×104 W (2)314 V 31.4 A (3)0.1 C
应用交变电流四值时的注意事项
(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。
(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。
(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。
[跟进训练]
4．交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机( )
A．电动势的峰值为10 V
B．电动势的有效值为9 V
C．交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为102 V
D．交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为202π V
D [因电压表示数为9 V，所以电路中的电流I＝99 A＝1 A，故电动势的有效值E＝I(r＋R)＝10 V，其最大值Em＝2E＝102 V，故A、B错误；线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0，C错误；转过90°的过程中的平均感应电动势，应用公式E＝nΔΦΔt求解，E＝nΔΦΔt＝nΦ2-Φ1Δt＝n0-BSπ2ω＝2nBSωπ，又nBSω＝102 V，故E＝202π V，D正确。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．使用交流的用电器铭牌上所标示的额定电压、额定电流的数值均为最大值
B．用交流电流表和电压表测得的数值是有效值
C．照明电路电压220 V指的是有效值
D．所有交变电流的有效值和最大值之间均存在E＝Em2、U＝Um2和I＝Im2的关系
BC [各种使用交流电的用电器铭牌上所标示的数值均为有效值，故A项错误；交流电表测得的数值为有效值，故B项正确；照明电路电压220 V指的是有效值，故C项正确；E＝Em2、U＝Um2、I＝Im2是正弦式交变电流有效值和最大值的关系，故D项错误。故正确答案为B、C。]
2．(多选)一个矩形线圈在匀强磁场中转动，产生的感应电动势为e＝2202sin 100πt(V)，则( )
A．交流电的频率是100π Hz
B．t＝0时，线圈位于中性面
C．交流电的周期是0.02 s
D．t＝0.05 s时，e有最大值
BC [由瞬时值表达式知：感应电动势按正弦规律变化，所以t＝0时，线圈位于中性面，角速度ω＝100π rad/s，因ω＝2πf，所以f＝ω2π＝100π2π Hz＝50 Hz，故A错误，B正确；由T＝1f得T＝150 s＝0.02 s，故C正确；当t＝0.05 s时，e＝2202sin 5π(V)＝0，故D错误。]
3．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比Q甲Q乙等于( )
A．12 B．12 C．14 D．11
B [计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流的有效值，题图甲的有效值为I1＝Im2，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得Q甲Q乙＝12，B正确。]
4．(2022·山东肥城第一高级中学高二期末)如图所示，空间中分布着磁感应强度大小为B的匀强有界磁场，EF是其左边界，一面积为S的n匝圆形金属线框垂直于磁场放置，圆形线圈的圆心O在EF上，若线框以角速度ω绕EF匀速转动，并从图示位置开始计时，则( )
A．t＝2πω时，线框中的感应电流最大
B．t＝π2ω时，穿过线框的磁通量最大
C．线框中产生的交变电动势的最大值为nBSω
D．线框中产生的交变电动势的有效值为24nBSω
D [当t＝2πω时，即ωt＝2π时，线框回到题图所示位置，此时的感应电流最小，磁通量最大，A错误；当t＝π2ω，即ωt＝π2时，线圈转到与题图所示垂直的位置，此时磁通量为零，B错误；线框中产生的交变电动势的最大值为Em＝nBS2ω＝12nBSω，C错误；线框中产生的交变电动势的有效值为E＝Em2＝24nBSω，D正确。]
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．交变电流的周期和频率分别是什么？
提示：(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T＝2πω。
(2)频率(f)：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹(Hz)。
(3)周期和频率的关系：T＝1f。
2．正弦式交变电流的函数表达式(从中性面开始计时)是什么？
提示：(1)电动势e＝Emsin ωt＝nBSωsin ωt。
(2)电流i＝Imsin ωt＝EmR+rsin ωt。
(3)电压u＝Umsin ωt＝Em·RR+rsin ωt。
3．什么叫有效值？
提示：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫作交变电流的有效值。
4．如何求有效值？
提示：计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解。
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫作交变电流的有效值。对于正弦式交流电，其有效值和峰值的关系为E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2。
课时分层作业(十) 描述交变电流的物理量
题组一 交变电流的峰值和有效值
1．下列提到的交流电，不是指有效值的是( )
A．交流电压表的读数
B．保险丝熔断电流
C．电容器击穿电压
D．220 V交流电压
C [交流电压表测量的电压值就是电压的有效值；保险丝熔断是因为电阻发热使温度超过了熔断值，而与电热相关的电流值就是指有效值；电容器的击穿是因为电压瞬时值超过了其击穿电压值，这是瞬时值，所以击穿电压表示的是电压最大值；220 V交流电压，是有效值。故应选C。]
2．下列关于交变电流的说法正确的是( )
A．若交变电流的峰值为5 A，则它的最小值为－5 A
B．用交流电流表测交变电流时，指针来回摆动
C．我国工农业生产和生活用的交变电流频率为50 Hz，故电流方向每秒改变100次
D．正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的峰值为20 A，频率为100 Hz
C [电流的负值表示电流方向与规定正方向相反，不表示大小，A项错误；交流电流表测交变电流时，显示的是有效值，指针不会来回摆动，B项错误；我国工农业生产和生活用的交变电流，周期为0.02 s，交流电方向一个周期改变两次，所以每秒改变100次，C项正确；由ω＝2πf，得正弦交变电流i＝20sin 10πt(A)的频率为 5 Hz，D项错误。]
3．在相同的时间内，某正弦交变电流通过一阻值为100 Ω的电阻产生的热量，与一电流为3 A的直流通过同一阻值的电阻产生的热量相等，则( )
A．此交变电流的有效值为3 A，最大值为32 A
B．此交变电流的有效值为32 A，最大值为6 A
C．电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值不确定
D．电阻两端的交流电压的有效值为3002 V，最大值为600 V
A [根据交变电流有效值的定义知交变电流的有效值即为直流的电流值，为3 A。根据有效值与最大值的2倍关系，易知交变电流的最大值为32 A，故A正确，B错误；根据欧姆定律U＝IR，则有U有效＝I有效R，Um＝ImR，得电阻两端的交流电压的有效值为300 V，最大值为3002 V。故C、D错误。]
4．将正弦式交流电经过整流器处理后，得到的电流波形刚好去掉了半周，如图所示，它的有效值是( )
A．2 A B．2 A
C．22 A D．1 A
D [Q交＝Im22RT2＝2R×T2＝RT，Q直＝I2RT，Q交＝Q直，故I＝1 A，D正确。]
5．如图所示，正弦交流甲和方波交流乙的峰值、频率完全相同，把两电流分别输入完全相同的两个电阻中，经过相同的时间(足够长)后，两电阻中消耗的电能之比W甲∶W乙为( )
A．1∶2 B．1∶2
C．1∶1 D．1∶22
A [在一个周期T内，正弦交流电在电阻中消耗的电能为W甲＝I22Rt，方波交流电在电阻中消耗的电能为W乙＝I2Rt，所以W甲∶W乙＝1∶2，故A正确。]
6．(2022·内蒙古阿拉善盟第一中学高二期末)正方形金属线框MNQP的PQ边与匀强磁场的边界重合，匀强磁场垂直纸面向外且范围足够大，第一次将金属线框以速度v匀速拉进匀强磁场内(如图甲)；第二次金属框以PQ边为轴匀速转动，MN边的线速度大小为v，线框从上往下看逆时针旋转180°(如图乙)。设两个过程中线框中产生的焦耳热分别为Q1和Q2，则Q1Q2等于( )
A．4 B．8
C．4π D．8π
C [设正方形金属线框的边长为l，电阻为R，磁场的磁感应强度为B，题图甲产生的感应电动势为E1＝Blv，进入过程时间为t1＝lv，产生的热量为Q1＝E12Rt1＝B2l3vR；题图乙产生的为正弦式交变电流，感应电动势有效值为E＝Blv2，在磁场中转动时间为t2＝πl2v，产生的热量为Q2＝E2Rt2＝πB2l3v4R，联立解得Q1Q2＝4π，故选C。]
题组二 交变电流的图像
7．(多选)(2022·贵州凯里一中高二期中)如图甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线圈产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框总电阻为5 Ω，则( )
A．线圈的转速为100 r/s
B．当线框平面与中性面的夹角为45°时，线框产生的电动势的大小为22 V
C．在0～0.01 s时间内，通过线框某一横截面的电荷量约为4.0×10-2 C
D．线框转动一周，cd边产生的焦耳热为3.87 J
BC [由题图乙可知，周期为0.02 s，则线圈的转速为n＝f＝1T＝50 r/s，故A错误；由题图乙可知，周期为0.02 s，Emax＝222 V，角速度ω＝2πT＝100π rad/s，则该交变电流的瞬时表达式为e＝222sin 100πt(V)，矩形金属线框平面与中性面的夹角为45°，则e＝222sin 45°(V)＝22 V，故B正确；当t＝0.01 s时刻感应电动势等于零，所以穿过线框回路的磁通量最大，线框平面与中性面重合，矩形金属线框平面与磁感线垂直，从t＝0到t＝0.01 s时间内，磁通量变化量为ΔΦ＝2BS＝2Emaxω＝2×222100π Wb，通过线框某一截面的电荷量为q＝ΔΦR＝2×222100π×15 C≈4.0×10-2 C，故C正确；线框转动一周，cd边产生的焦耳热为Q＝14E2RT＝14×2225×0.02 J＝0.484 J，故D错误。]
8．(多选)如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速，绕与磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图像如图乙中曲线a、b所示，则( )
A．两次t＝0时刻线圈平面均与中性面重合
B．曲线a、b对应的线圈转速之比为2∶3
C．曲线a表示的交变电动势频率为25 Hz
D．曲线b表示的交变电动势有效值为10 V
AC [由题图乙知t＝0时两次转动产生的瞬时电动势都等于零，故A正确；由题图乙知两次转动所产生的交变电动势的周期之比Ta∶Tb＝2∶3，再由周期与转速的关系n＝1T得na∶nb＝3∶2，故B错误；因Ta＝4×10-2 s，故fa＝1Ta＝25 Hz，C正确；因Ema＝15 V，而Em＝NBSω＝2πNBST，故Emb＝TaTbEma＝10 V，Eb＝Emb2＝52 V，D错误。]
题组三 交变电流四值比较
9．如图所示，一交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动，线圈匝数N＝100，线圈电阻r＝3 Ω，ab＝cd＝0.5 m，bc＝ad＝0.4 m，磁感应强度B＝0.5 T，电阻R＝311 Ω，当线圈以n＝300 r/min的转速匀速转动时。取π＝3.14，求：
(1)感应电动势的最大值；
(2)t＝0时线圈在图示位置，写出此交变电流电动势瞬时值表达式；
(3)此电压表的示数是多少？
[解析] (1)电动势的最大值为Em＝NBωS＝NB·(2πn转)·(ab·bc)＝314 V。
(2)电动势瞬时值的表达式e＝Emsin ωt＝314sin 10πt(V)。
(3)UV＝RR+r×22Em≈220 V。
[答案] (1)314 V (2)e＝314sin 10πt(V) (3)220 V
10．(多选)(2021·浙江1月选考)发电机的示意图如图甲所示，边长为L的正方形金属框，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动，阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示。其他电阻不计，图乙中的Um为已知量。则金属框转动一周( )
A．框内电流方向不变
B．电动势的最大值为Um
C．流过电阻的电荷量q＝2BL2R
D．电阻产生的焦耳热Q＝πUmBL2R
BD [由于滑环的作用，通过R的电流方向不变，但是框内的电流方向是变化的，A错误；由题图可知，由于线框没有电阻，所以电动势等于电阻两端的电压，B正确；因为流过R的电流方向不变，金属框转动半周，流过R的电荷量q′＝IΔt＝ERΔt＝ΔΦR＝2BL2R，所以金属框转动一周流过R的电荷量q＝2q′＝4BL2R，C错误；由Um＝BL2ω，解得ω＝UmBL2，金属框转动一周，电阻产生的焦耳热Q＝U2RT＝Um22R·2πω＝πUmBL2R，D正确。]
11．(2022·广东卷)如图所示是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1>n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是( )
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
B [根据E＝nΔΦΔt，两线圈中磁通量的变化率相等，但是匝数不等，则产生的感应电动势最大值不相等，有效值也不相等，根据P＝U2R，可知，两电阻的电功率也不相等，选项A、D错误；因两线圈放在同一个旋转条形磁铁的旁边，则两线圈产生的交流电的频率相等，选项B正确；当磁铁的磁极到达线圈附近时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，可知两线圈产生的感应电动势不可能同时达到最大值，选项C错误。]
12．有一交流发电机模型，用示波器观察到它产生的感应电动势波形如图所示，求：
(1)电动势的最大值和有效值；
(2)当t＝1200 s时，电动势的瞬时值，并指出此时线圈相对于磁场的位置；
(3)已知线圈面积为16 cm2，共25匝，计算匀强磁场的磁感应强度。
[解析] (1)由图像可知电动势的最大值Em＝5 V，根据正弦交流电的最大值和有效值的关系，有效值为：E＝22Em≈3.5 V。
(2)因为e＝Emsin ωt＝5sin 100πt(V)，当t＝1200 s时，
e＝5sin 100π×1200 V＝5 V，
这时线圈平面跟磁感线平行。
(3)由于Em＝nBSω，所以B＝EmnSω＝525×2π×50×16×10-4 T≈0.4 T。
[答案] (1)5 V 3.5 V (2)5 V 线圈平面跟磁感线平行 (3)0.4 T
13．如图所示，在匀强磁场中有一个内阻r＝3 Ω、面积S＝0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转。已知匀强磁场的磁感应强度B＝52πT。若线框以ω＝100 π rad/s的角速度匀速转动，且通过电刷给“6 V 12 W”的小灯泡供电，则：
(1)若从图示位置开始计时，求线框中感应电动势的瞬时值表达式。
(2)由题中所给已知条件，外电路所接小灯泡能否正常发光？如不能，则小灯泡实际功率为多大？
[解析] (1)线框转动时产生感应电动势的最大值
Em＝BSω＝52π×0.02×100π V ＝102 V，
因线框转动从平行于磁感线位置开始计时，则感应电动势的瞬时值表达式为e＝Em cs ωt＝102cs 100πt(V)。
(2)由题意知灯泡的电阻R＝3 Ω，
线框产生的电动势的有效值E＝Em2＝10 V，灯泡两端电压U＝ER+rR＝5 V<6 V，故灯泡不能正常发光，其实际功率P＝U2R＝523 W＝253 W。
[答案] (1)e＝102cs 100πt(V) (2)不能 253 W
电流名称
电流图线
有效值
正弦式交
变电流
I＝Im2
正弦半
波电流
I＝Im2
正弦单向
脉动电流
I＝Im2
矩形脉
动电流
I＝tTIm
非对称性
交变电流
I＝12I12+I22
项目
函数
图像
说明
磁通量
Φ＝Φmcs ωt＝BS cs ωt
S为线圈的面积，N为线圈的匝数，r为线圈的电阻(内阻)，R为外电阻
电动势
e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt
电压
u＝Umsin ωt＝REmR+rsin ωt
电流
i＝Imsin ωt＝EmR+rsin ωt
项目
物理含义
重要关系
适用情况
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某一时刻的受力情况
最大值
最大的瞬时值
Em＝nBSω，Im＝EmR+r
确定电容器的耐压值
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的电流值、电压值
E＝Em2，U＝Um2，I＝Im2
(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)；
(2)交流电表的测量值；
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流；
(4)保险丝的熔断电流
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围面积与时间的比值
E＝nΔΦΔt
I＝ER+r
计算通过电路横截面的电荷量
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