新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点18排列组合与二项式定理小题突破（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点18排列组合与二项式定理小题突破（附解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．C eq \\al(\s\up1(45),\s\d1(400)) ·C eq \\al(\s\up1(15),\s\d1(200)) 种B．C eq \\al(\s\up1(20),\s\d1(400)) ·C eq \\al(\s\up1(40),\s\d1(200)) 种
C．C eq \\al(\s\up1(30),\s\d1(400)) ·C eq \\al(\s\up1(30),\s\d1(200)) 种D．C eq \\al(\s\up1(40),\s\d1(400)) ·C eq \\al(\s\up1(20),\s\d1(200)) 种
2．[2023·全国甲卷]有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A.120B．60
C．40D．30
3．[2023·全国乙卷]甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种B．60种
C．120种D．240种
4．[2023·北京卷]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中x的系数为( )
A．－80B．－40
C．40D．80
5．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种B．24种
C．36种D．48种
6．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种B．90种
C．60种D．30种
7．[2023·河北沧州模拟]用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为( )
A．10B．20
C．30D．40
8.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)－1))eq \s\up12(5)的展开式中x的系数为( )
A．－35B．－15
C．5D．25
9．[2023·河北邯郸模拟]如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前30项的和为( )
A．680B．679C．816D．815
10．[2023·湖北襄阳模拟]已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第( )
A．7项B．8项C．9项D．10项
二、多项选择题
11．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有( )
A．展开式共有7项B．所有二项式系数和为128
C．二项式系数最大的项是第4项D．展开式的有理项共有4项
12．[2023·河北沧州模拟]关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式，下列结论正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母x的项为－20y3
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母x的项为－eq \f(5,2)y3
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母y的项为eq \f(15,16x4)
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母y的项为eq \f(15,16x2)
[答题区]
三、填空题
13．[2023·河南新乡模拟]为了参加学校组织的4×100米接力赛，某班挑选甲、乙、丙、丁4名同学进行训练，现要求甲、乙必须安排交接棒，但甲、丙不能安排交接棒，则不同的交接棒顺序有________种．
14．[2022·新高考Ⅰ卷]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
15．[2023·河北保定模拟]某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为________．
16．[2023·山东潍坊模拟]已知(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a2＋a4＋a6＝________．(用数字作答)
命题点18 排列、组合与二项式定理(小题突破)
1．解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为eq \f(400,200)＝eq \f(2,1)，所以抽取的60名学生中初中部应有60×eq \f(2,3)＝40(人)，高中部应有60×eq \f(1,3)＝20(人)，所以不同的抽样结果共有C eq \\al(\s\up1(40),\s\d1(400)) ·C eq \\al(\s\up1(20),\s\d1(200)) 种，故选D.
答案：D
2．解析：不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，
假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝12种方法，
同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60种．故选B.
答案：B
3．解析：首先确定相同的读物，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种，
根据分步乘法公式则共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝120种，故选C.
答案：C
4．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (2x)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝(－1)r25－rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) x5－2r，
令5－2r＝1得r＝2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中x的系数为(－1)225－2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝80.故选D.
答案：D
5．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＝24(种)不同的排列方式．故选B.
答案：B
6．解析：先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) 种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种选法，由分步乘法计数原理知，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝60(种)不同的安排方法．故选C.
答案：C
7．解析：由s有2个，t有3个，则将这5个字母看成不同时的排列为A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ，故其排列个数为eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) )＝10.故选A.
答案：A
8．解析：由题意，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)－1))eq \s\up12(5)＝eq \f(（x－2）5（x＋1）5,x5)，
要求展开式中的x的系数，只需(x－2)5(x＋1)5展开式中x6的系数，
又由(x－2)5(x＋1)5展开式的通项为C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) x5－r(－2)r×C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x5－k·1k＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) x10－(r＋k)，
其中r，k∈{0，1，2，3，4，5}，
令10－(r＋k)＝6，可得r＋k＝4，
当r＝0时，可得k＝4，则x6的系数(－2)0C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＝5；
当r＝1时，可得k＝3，则x6的系数(－2)1C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝－100；
当r＝2时，可得k＝2，则x6的系数(－2)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝400；
当r＝3时，可得k＝1，则x6的系数(－2)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝－400；
当r＝4时，可得k＝0，则x6的系数(－2)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) ＝80，
所以展开式中x的系数为5－100＋400－400＋80＝－15.故选B.
答案：B
9．解析：根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＋…，
因此，此数列的前30项和为：
S30＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(16)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(16))
＝(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) )＋(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) )＋(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) )＋(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) )＋…＋(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(16)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(16)) )
＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(17))
＝(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) )＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(17)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3))
＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(17)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3))
＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(17)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3))
＝…＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(18)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3))
＝816－1＝815.故选D.
答案：D
10．解析：(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数和为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝1＋n＋eq \f(n（n－1）,2)＝79，
整理可得n2＋n－156＝0，∵n≥2且n∈N*，解得n＝12，
(1＋3x)12的展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) ·(3x)k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) ·3kxk(k＝0，1，2，…，12)，
设展开式中第k＋1项的系数最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) ·3k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(12)) ·3k＋1,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) ·3k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(12)) ·3k－1))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(12！,k！·（12－k）！)·3k≥\f(12！,（k＋1）！·（11－k）！)·3k＋1,\f(12！,k！·（12－k）！)·3k≥\f(12！,（k－1）！·（13－k）！)·3k－1))，解得eq \f(35,4)≤k≤eq \f(39,4)，
因为k∈N，故k＝9，因此，展开式中系数最大的项为第10项．故选D.
答案：D
11．解析：因为二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中各项系数之和是128，所以令x＝1，可得2n＝128，n＝7，因为n＝7，所以展开式共有8项，故A不正确；
因为n＝7，所以所有二项式系数和为27＝128，故B正确；
因为n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，故C不正确；
设展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(7)) ·(－1)k37－k·xeq \s\up6(\f(7－3k,2))，k＝0，1，2，…，7，当k＝1，3，5，7时，对应的eq \f(7－3k,2)是整数，即对应项为有理项，故D正确．故选BD.
答案：BD
12．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母x的项为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) (xy2)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2xy)))eq \s\up12(3)＝－eq \f(5,2)y3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy2－\f(1,2xy)))eq \s\up12(6)的展开式中不含字母y的项为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) (xy2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2xy)))eq \s\up12(4)＝eq \f(15,16x2).故选BD.
答案：BD
13．解析：若甲第一棒，则乙必须第二棒，此时有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种交接棒顺序；
若甲第二棒，则乙必须第一棒或者第三棒，此时丙只能在第四棒，所以有2种交接棒顺序；
若甲第三棒，则乙必须第二棒或者第四棒，此时丙只能在第一棒，所以有2种交接棒顺序；
若甲第四棒，则乙必须第三棒，此时有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种交接棒顺序．
故共有8种不同的交接棒顺序．
答案：8
14．解析：(1－eq \f(y,x))(x＋y)8＝(x＋y)8－eq \f(y,x)(x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) －C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＝－28.
答案：－28
15．解析：由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝6种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝4种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝12种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
6×(12＋4)＝96种情况．
答案：96
16．解析：因为(3x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.
令x＝0，得a0＝－1；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64①；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝0②；
①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝25＝32，
所以a2＋a4＋a6＝25－a0＝33.
答案：33
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案