2023-2024学年安徽省合肥四十五中橡树湾校区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥四十五中橡树湾校区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．3，5，10D．4，4，8
3．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
4．如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（ ）
A．40°B．32°C．24°D．16°
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数a，b满足a2＝b2，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7．下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．一次函数y＝mx﹣n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为
D．慢车的速度为125km/h
10．已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限．设S＝a+2b，则（ ）
A．S有最大值B．S有最小值
C．S有最大值6D．S有最小值6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．点P（﹣3，4）到y轴的距离是 ．
12．函数中自变量x的取值范围是 ．
13．在△ABC中，∠A＝40°，BD为AC边上的高，若∠CBD＝10°，则∠ABC的度数为 ．
14．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数y1＝﹣x+2，y2＝kx﹣k+1．
（1）若k＝1，则y1、y2的图象与x轴围成的区域内（包括边界）有 个整点；
（2）若y1、y2的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知一次函数的图象过（3，5）和（﹣4，﹣9）两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）试判断点（﹣1，﹣3）是否在此一次函数的图象上．
16．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为B（﹣4，3），顶点C的坐标为C（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）若点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知y﹣1与x+1成正比例，且x＝1时y＝﹣3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜3时，求x的取值范围．
20．在等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分．
（1）求AB和BC的长；
（2）若AB＜BC，且点D到BC边的距离为4，求点D到AB边的距离．
六、解答题（本题满分12分）
21．如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）．
（1）求直线l1与l2的解析式；
（2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积；
（3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集．
七、解答题（本题满分12分）
22．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
八、解答题（本题满分14分）
23．某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表：
设该种农作物每千克单价x（元），已知3≤x≤4，施肥前每亩产量为300kg．
（1）若施甲种化肥每亩利润为y1（元），施乙种化肥每亩利润为y2（元），求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）选用哪种化肥合算？
（3）为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．
解：∵点（2，﹣1）的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴点（2，﹣1）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．
2．以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．3，5，10D．4，4，8
【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长之和大于最长的边即可．
解：A.1+2＝3，故不能组成三角形，故选项不符合题意；
B.3+4＞5，故能组成三角形，故选项符合题意；
C.3+5＜10，故不能组成三角形，故选项不符合题意；
D.4+4＝8，故不能组成三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．掌握判断能否组成三角形的方法：较小的两个边长的和是否大于第三边的长是解决问题的关键．
3．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能比较
【分析】分别把点A（﹣4，y1）和点（2，y2）代入直线y＝﹣x+2，求出y1，y2的值，再比较出其大小即可．
解：∵点A（﹣4，y1）和点（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，
∴y1＝4+2＝6，y2＝﹣2+2＝0，
∵6＞0，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4．如图，AB∥CD，且∠A＝40°，∠D＝24°，则∠E等于（ ）
A．40°B．32°C．24°D．16°
【分析】由AB∥CD，得∠ACD＝∠A＝40°，而∠D＝24°，故∠E＝16°．
解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，
∴40°＝24°+∠E，
∴∠E＝16°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数a，b满足a2＝b2，则a＝b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判定及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③平行于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④若正数a，b满足a2＝b2，则a＝b，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
6．一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于如图点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
解：把P（m，4）代入y＝x+2得，
m+2＝4，
解得m＝2，
所以P点坐标为（2，4），
所以关于x，y的二元一次方程组的解是，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】依据三角形内角和等于180°，即可得到∠C或∠A+∠B的度数，进而得出结论．
解：①若∠A+∠B＝∠C，则∠C＝＝90°，能确定△ABC是直角三角形；
②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝180°×＝90°，能确定△ABC是直角三角形；
③若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，能确定△ABC是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝90°，能确定△ABC是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
8．一次函数y＝mx﹣n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，从而可以解答本题．
解：当m＞0，n＞0时，一次函数y＝mx﹣n的图象经过第一、三、四象限，一次函数y＝mnx的图象经过第一、三象限，故选项B正确，选项C错误；
当m＞0，n＜0时，一次函数y＝mx﹣n的图象经过第一、二、三象限，一次函数y＝mnx的图象经过第二、四象限，故选项A正确；
当m＜0，n＜0时，一次函数y＝mx﹣n的图象经过第一、二、四象限，一次函数y＝mnx的图象经过第一、三象限，故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（ ）
A．B点表示此时快车到达乙地
B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地
C．快车的速度为
D．慢车的速度为125km/h
【分析】A、根据B点的纵坐标的意义回答问题；
B、B﹣C﹣D段表示两车的车距与时间的关系；
C、快车的速度＝﹣；
D、慢车的速度＝．
解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误；
B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地；故本选项错误；
C、快车的速度＝﹣＝（km/h）；故本选项正确；
D、慢车的速度＝＝（km/h）；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10．已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限．设S＝a+2b，则（ ）
A．S有最大值B．S有最小值
C．S有最大值6D．S有最小值6
【分析】根据题意得出a＞0，b≥0，即可推出当b＝0时，S＝a+2b有最小值，S的最小值为a，当b＝0时，直线y＝ax，把点（2，3）代入即可求得a的值，从而求得S的最小值．
解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，
∴当b＝0时，S＝a+2b有最小值为S＝a，
此时y＝ax，
把（2，3）代入得3＝2a，解得a＝，
∴S有最小值，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，得出当b＝0时，S＝a+2b有最小值是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．点P（﹣3，4）到y轴的距离是 3 ．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可．
解：点P（﹣3，4）到y轴的距离是|﹣3|＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．
12．函数中自变量x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据这一点就可以求出x的范围．
解：根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．在△ABC中，∠A＝40°，BD为AC边上的高，若∠CBD＝10°，则∠ABC的度数为 40°或60° ．
【分析】由BD⊥AC，可得出∠BDA＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠ABD的度数，再将其代入∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD及∠ABC＝∠ABD+∠CBD中，即可求出∠ABC的度数．
解：依照题意画出图形，如图所示．
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝50°﹣10°＝40°或∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+10°＝60°．
故答案为：40°或60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出∠ABD的度数是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数y1＝﹣x+2，y2＝kx﹣k+1．
（1）若k＝1，则y1、y2的图象与x轴围成的区域内（包括边界）有 4 个整点；
（2）若y1、y2的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，则k的取值范围是 ＜k≤或﹣＜k≤﹣ ．
【分析】（1）求出直线y1＝﹣x+2与直线y2＝x交于（1，1），再画出图形可得答案；
（2）分两种情况，画出图形可得答案．
解：（1）k＝1时，y2＝x，如图：
直线y1＝﹣x+2与直线y2＝x交于（1，1），
由图可知，直线y1＝﹣x+2，直线y2＝x与x轴围成的区域内（包括边界）有4个整点；
故答案为：4；
（2）当k＞0时，如图：
直线y1＝﹣x+2和y2＝kx﹣k+1交于（1，1），
由图可知当直线y2＝kx﹣k+1与x轴交点在（﹣2，0）和（﹣3，0）之间时，y1、y2的图象与x轴围成的区域内恰有6个整点，包括（﹣2，0），不包括（﹣3，0），
把（﹣2，0）代入y2＝kx﹣k+1得：0＝﹣2k﹣k+1，解得k＝；
把（﹣3，0）代入y2＝kx﹣k+1得：0＝﹣3k﹣k+1，解得k＝；
∴＜k≤；
当k＜0时，如图：
同理可得﹣＜k≤﹣；
综上所述，＜k≤或﹣＜k≤﹣．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是画出图形，利用数形结合思想解决问题．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知一次函数的图象过（3，5）和（﹣4，﹣9）两点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）试判断点（﹣1，﹣3）是否在此一次函数的图象上．
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把（3，5）和（﹣4，﹣9）两点代入即可求出kb的值，进而得出结论；
（2）把点（﹣1，﹣3）代入（1）中所求一次函数的解析式，看是否适合即可．
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把（3，5）和（﹣4，﹣9）两点代入得，
，
解得，
故此一次函数的解析式为：y＝2x﹣1；
（2）∵由（1）可知，一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣3）是在此一次函数的图象上．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数．
【分析】在△ACD中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；在△BFD中，利用三角形的内角和定理计算即可．
解：在△ACD中，
∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A
＝62°+35°
＝97°；
在△BDF中，
∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠BDC
＝180°﹣20°﹣97°
＝63°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为B（﹣4，3），顶点C的坐标为C（﹣3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′；
（2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）若点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为 （m﹣5，n+4） ．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）根据图形得出坐标即可；
（3）根据三角形的平移方法可得答案．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求：
（2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）；
（3）点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为（m﹣5，n+4）；
故答案为：（m﹣5，n+4）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是确定组成图形的关键点平移后的位置．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知y﹣1与x+1成正比例，且x＝1时y＝﹣3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜3时，求x的取值范围．
【分析】（1）设y﹣1＝k（x+1），根据x＝1时y＝﹣3，可得k＝﹣2，故y﹣1＝﹣2（x+1），y＝﹣2x﹣1；
（2）由y＜3，得﹣2x﹣1＜3，即可解得x的取值范围是x＞﹣2．
解：（1）设y﹣1＝k（x+1），
∵x＝1时y＝﹣3，
∴﹣3﹣1＝2k，
解得k＝﹣2，
∴y﹣1＝﹣2（x+1），
∴y＝﹣2x﹣1；
（2）∵y＜3，
∴﹣2x﹣1＜3，
解得x＞﹣2．
∴x的取值范围是x＞﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握成正比例的意义，用待定系数法求出函数关系式．
20．在等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分．
（1）求AB和BC的长；
（2）若AB＜BC，且点D到BC边的距离为4，求点D到AB边的距离．
【分析】（1）分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质列出方程即可解决问题；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
解：（1）∵AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分
∴当AB+AD＝AC+AC＝15时，解得AC＝10＝AB，
∴底边BC＝17﹣×10＝12，
∵10，10，12能构成三角形，
∴AB和BC的长分别为10，12；
当AB+AD＝AC+AC＝17时，解得AC＝＝AB，
∴底边BC＝15﹣×＝，
∵，，能构成三角形，
∴AB和BC的长分别为，；
综上，AB的长为10或，BC的长为12或；
（2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N，
∵AB＜BC，
∴AB＝10，BC＝12，
∵BD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△BCD，
∴•AB•DN＝BC•DM，
∵点D到BC边的距离DM为4，
∴点D到AB边的距离DN＝＝．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21．如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）．
（1）求直线l1与l2的解析式；
（2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积；
（3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集．
【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可；
（2）利用直线解析式求得D、E的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得；
（3）根据图象即可求解．
解：（1）∵直线l1：y＝mx+4经过点A（1，2），
∴2＝m+4，
解得：m＝﹣2，
∴l1：y＝﹣2x+4；
∴直线l1：y＝mx+4与x轴交点B（2，0），
∴点C（﹣2，0），
∵l2：y＝kx+b经过点A（1，2），C（﹣2，0），
∴
解得：，
∴l2：y＝x+；
（2）令x＝0，则y＝﹣2x+4＝4，y＝x+＝，
∴E（0，4），D（0，），
∴DE＝4﹣＝，
∴△ADE的面积S＝＝；
（3）观察图象，0≤mx+4＜kx+b的解集为1＜x≤2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与一元出不等式，熟知待定系数法，数形结合是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 125 度，∠PBC+∠PCB＝ 90 度，∠ABP+∠ACP＝ 35 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可．
解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，
∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，
∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
八、解答题（本题满分14分）
23．某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表：
设该种农作物每千克单价x（元），已知3≤x≤4，施肥前每亩产量为300kg．
（1）若施甲种化肥每亩利润为y1（元），施乙种化肥每亩利润为y2（元），求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）选用哪种化肥合算？
（3）为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为 0.45 ．
【分析】（1）根据售价﹣成本＝利润分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）分y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2三种情况讨论即可；
（3）根据让利后施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥列出不等式，得出a≥﹣0.75x+2.7，进而求出≥﹣0.75x+2.7的最大值即可．
解：（1）根据题意得：
y1＝（300+150）x﹣5.2×40＝450x﹣208，
y2＝（300+120）x﹣40×2.5＝420x﹣100，
∴y1与x之间的函数表达式为y1＝450x﹣208，y2与x之间的函数表达式为y2＝420x﹣100；
（2）①当y1＞y2时，即450x﹣208＞420x﹣100，
解得x＞3.6；
②当y1＝y2时，即450x﹣208＝420x﹣100，
解得x＝3.6；
③当y1＜y2时，即450x﹣208＜420x﹣100，
解得x＜3.6；
综上所述，当3≤x＜3.6时，选择乙化肥更合适；当x＝3.6时，选择甲、乙化肥一样合适；当3.6＜x≤4时，选择甲化肥更合适；
（3）根据题意得：（300+150）x﹣40×（5.2﹣a）≥（300+120）x﹣40×2.5，
整理得：a≥﹣0.75x+2.7，
∵﹣1＜0，3≤x≤4，
∴当x＝3时，a取最小值0.45．
故答案为：0.45．
【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是求出函数解析式．
化肥种类
化肥单价元/kg
所需化肥数量kg/亩
每亩地增产kg
甲
5.2
40
150
乙
2.5
40
120
化肥种类
化肥单价元/kg
所需化肥数量kg/亩
每亩地增产kg
甲
5.2
40
150
乙
2.5
40
120