2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6
C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b2
4．如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）
A．11B．9C．7D．5
5．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A．AB＝CDB．∠B＝∠DC．AD＝CBD．∠BAC＝∠DCA
7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
8．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）
A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）
C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．
10．要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
11．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．
13．如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t＝ ．
14．有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．
15．数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC 使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：
（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）
①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；
②画直线BF；
③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；
④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；
⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．
（2）∠ABC＝90°的理由是 ．
16．在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：
①存在无数个△MNP是等腰三角形；
②存在无数个△MNP是等边三角形；
③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；
④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．
所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）
17．（24分）（1）计算：；
（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；
（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；
（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；
（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；
（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．
18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．
19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．
（1）画出△ABC 关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；
（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．
21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
22．（7分）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
23．（6分）阅读下列材料：
对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2+x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．
又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．
于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．
24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．
（1）当0°＜2α＜60°时，
①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）
②求证：CE+BE＝CF；
（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．
第二部分附加题（共10分）
25．（5分）找规律．
第1组：，42+32＝52；
第2组：，82+152＝172；
第3组：，122+352＝372；
……
（1）请写出第4组等式 ， ；
（2）请写出第n组等式 ， ；
（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．
26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A＜B，只需要证明A﹣B＜0．
例如：
小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：
证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．
（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：
若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．
（2）若a1≥a2≥……≥an≥0，b1≥b2≥……≥bn≥0，
且a1+a2+……+an＝b1+b2+……+bn＝1，
求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（an﹣bn）2的最大值．
2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，
故选：A．
3．解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；
B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；
C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；
D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．
故选：D．
4．解：在△ABC中，AC+BC＞AB，
∵AB＝6，
∴AC+BC＞6，
∴AC+BC的值不可能是5，
故选：D．
5．解：原式＝﹣＝，
故选：D．
6．解：添加的条件是AD＝CB，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故选：C．
7．解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
8．解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，
∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；
B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，
∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；
C、∵2×60°+90°+150°＝360°，
∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；
D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，
∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．解：（π﹣3.14）0＝1；
＝．
故答案为：0；﹣．
10．解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3．
故答案为：x≠3．
11．解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
故多边形是十二边形．
12．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．
故答案为：70°或110°．
13．解：分两种情况：
①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP＝，
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，
∴t＝；
②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP'＝6，
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，
∴t＝6，
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，
故答案为：或6．
14．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，
所以a2+b2＝11，
故答案为：11．
15．解：（1）⑤①③②④，
故答案为：⑤①③②④；
（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；
故答案为：等腰三角形的三线合一．
16．解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．
如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．
故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．
故答案为①②③．
二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）
17．解：（1）原式＝﹣6a3b2；
（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）
＝20222﹣（20222﹣22）
＝20222﹣20222+22
＝4；
（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y；
（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2；
（5）（x+m）2﹣（x+n）2
＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）
＝（2x+m+n）（m﹣n）；
（6）3ax2+6axy+3ay2
＝3a（x2+2xy+y2）
＝3a（x+y）2．
18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△CDE；
∴AC＝CE，AB＝CD，
∴AB+CE＝CD+AC＝AD．
19．解：
＝
＝．
∵x≠±2且x≠0，
∴x＝﹣1时，．
20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）；
（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，
∴m＝3或﹣5，
∴P（0，3）或（0，﹣5）．
故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．
21．解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．
（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．
理由：连接DF，EG，
则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，
即△BDF和△BEG均为等边三角形，
∴∠DBF＝∠EBG＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．
22．解：（1）△DBC和△EAC会全等
证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD
∴∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
（2）∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC
（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°
∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∵∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC．
23．解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，
所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，
即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．
故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；
（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，
所以x3﹣7x+6
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．
24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠ACE＝2α，
∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
故答案为：30°﹣α；
②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，
∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，
∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，
∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，
∴△CMD≌△CEB（SAS），
∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，
∴∠DEB＝∠DMF，
∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，
∴∠DMF＝120°﹣2α，
∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，
∴∠F＝∠MDF，
∴DM＝MF，
∴BE＝MF，
∴CF＝CM+MF＝CE+BE；
（2）解：补全图形如下：
在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，
同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），
∴∠CNB＝∠CFD，
∴∠BNE＝∠BFD，
∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，
∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，
∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，
∴∠CNB＝150°﹣α，
∴∠BNE＝30°+α，
∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，
∴∠BNE＝∠NBE，
∴BE＝NE，
∴CE＝NC+NE＝CF+BE．
故答案为：CE＝CF+BE．
第二部分附加题（共10分）
25．解：∵第1组：，42+32＝52；
第2组：，82+152＝172；
第3组：，122+352＝372；
∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；
故答案为：，
（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；
故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；
（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），
设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，
解得x＝97，k＝196，
故答案为：196．
26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2
＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2
＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）
＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）
＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）
＝2b（x﹣a﹣y）．
∵a，b，x，y≥0，且a≥x，
∴x﹣a≤0，﹣y≤0．
∴x﹣a﹣y≤0．
∴2b（x﹣a﹣y）≤0．
∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．
∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．
（2）解：设a1≥b1，
∵b1≥b2≥……≥bn≥0，b1+b2+……+bn＝1，
∴b1≥．
又++……+≤+b1b2+……+b1bn＝b1（b1+b2+……+bn）＝b1，
∴b1（a1+a2+……+an）＝a1b1+b1（a2+……+an）≤a1b1+a1（a2+……+an）≤a1b1+a2b2+…+anbn+a1a2+a2a3+……+an﹣1an．
∴a1b1+a2b2+…+anbn≥b1（a2+……+an）﹣（a1a2+a2a3+……+an﹣1an）．
∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（an﹣bn）2
＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+anbn）+（++……+）
≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+an）+2（a1a2+a2a3+……+an﹣1an）+b1
＝（a1+a2+……+an）2﹣2b1+b1
＝1﹣2b1+b1
＝1﹣b1
≤1﹣＝．
∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（an﹣bn）2的最大值为．

所以，Rt△ABC为所求作的三角形．
原文
释义
甲乙丙为定直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；
乙与己及庚相连作线．
如图2，∠ABC为直角，
以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与交于点F；
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与交于点G；
作射线BF，BG．