江苏省南京市玄武区南京外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省南京市玄武区南京外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了已知二次函数，下列说法正确的是，下列函数等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．在比例尺为的南京市地图上，太平北路的长度约为，它的实际长度约为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称轴为直线B．图像的顶点坐标为
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
4．下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数：①；②；③；④，其中随的增大而增大的函数是（ ）
A．①③B．③④C．②④D．②③
6．已知二次函数，其中，则该函数的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，则图中相似三角形共有（ ）
第7题
A．2对B．3对C．4对D．5对
8．抛物线上有两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．或D．以上都不对
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
9．若，且是、的比例中项，则______．
10．若关于的二次函数的图像经过点，则______．
11．已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为______．
12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为______．
13．若二次函数的图像上有且只有三个点到轴的距离等于4，则的值为______．
14．如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、与相交于点，且，则的值为______．
第14题
15．如图，是的的中点，弦为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数关系式为______．
第15题
16．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与它到轴的距离始终相等．若点的坐标为是抛物线上的一个动点，则周长的最小值是______．
17．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，上述结论正确的序号为______．
第17题
18．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为相反点．已知二次函数的图像上有且只有一个相反点，且当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是______．
三．解答题（共9小题，满分84分）
19．已知、、分别是的三边长，满足，且，请探索的形状．
20．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧）．
（1）如图①，若抛物线的对称轴为直线．
①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
②由①得抛物线的函数表达式为______；
（2）将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______．
20．如图，抛物线经过两点，且其对称轴为直线．
（1）求此抛物线及直线的函数表达式；
（2）若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点），若的面积为6，求出此时点的坐标．
22．如图，在中，，点从点开始沿边向点以秒的速度移动，点从点开始沿边向点以秒的速度移动，如果分别从同时出发，经几秒钟与相似?
23．如图，在Rt中，是的中点，，垂足为．
（1）证明：；
（2）证明：．
24．已知函数（为常数）．
（1）试判断该函数的图像与轴的公共点的个数；
（2）不论为何值，函数图像都会经过定点，定点坐标为______；
（3）求证：不论为何值，该函数的图像的顶点都在函数的图像上．
25．足球场上守门员在的正上方踢出一高球，球从距离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己的正上方达到最高点，距地面4米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线的形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）足球第一次落地点距守门员多少米?
（3）运动员乙要抢先到达第二个落地点，他应再向前跑大约多少米?
（结果保留整数，其中）
26．某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件25元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（为所学过的一次函数）：
（1）写出与的函数表达式为______；
（2）统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元；
①求该店每天利润的最大值；
②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第5天获得的利润最大（高于其它天的利润），则的取值范围为______．
27．已知二次函数的图像与轴交于两点，其中点为，与轴负半轴交于点，其对称轴是直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）圆为的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积；
（3）在（2）的条件下，轴上存在点，使得以为顶点的三角形与相似，则点坐标为______
0
0.5
1.5
1.75
第天
1
2
3
4
…
每件进价（单位：元）
12
12.5
13
13.5
…