山西省阳泉市平定县第二中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山西省阳泉市平定县第二中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．无实数解
4．下列配方中，变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
6．等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．7B．8C．7或8D．不能确定
7．已知抛物线经过和两点，则m的值为（ ）
A．2B．C．3D．
8．抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，琪琪错误B．琪琪正确，嘉嘉错误
C．他们说的都正确D．他们说的都不正确
9．已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（ ）
A．1B．C．4D．
10．要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
11．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，则这个两位数是（ ）
A．24B．13C．46D．35
12．如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．当时，y随x的增大而增大D．
13．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知二次函数，对于任意的x值，恒成立，则a的值可以是（ ）
A．0B．C．D．1
15．把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a米，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分，18～19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）
17．已知抛物线的对称轴是，若关于x的方程的一个根是3，那么该方程的另一个根是 ．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ，若方程两根a，b满足，则 ．
19．如图，已知抛物线．

（1）抛物线与y轴的交点B的坐标为 ；
（2）P是抛物线在第四象限上的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点A、C，则四边形周长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
(1)
(2)
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设，是方程的两个根，且，求m的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于，两点．

(1)求这个二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)当时，求y的取值范围．
23．如图，一位篮球运动员跳起投篮，篮球的运动路线是抛物线的一部分，若这次投篮正好命中篮筐中心，已知篮筐的中心离地面的距离为．

(1)他的脚底与篮筐中心正下方的距离l是多少？
(2)若对方一名球员想对此球进行成功盖帽，已知该球员的弹跳高度可达，那么他应该在离投篮运动员多远的地方起跳？
24．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25m，位置的墙最大可用长度为21m），另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长50m．

(1)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长；
(2)小芳说：“饲养场的面积最多能达到．”若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．
25．某水果店购进一批水果，进价为10元/千克，售价不低于16元/千克，且不超过35元/千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的关系满足下表所示的一次函数关系．
(1)若某天这种水果售价为28元/千克，求当天该水果的销售量；
(2)设某天销售这种水果获利W元，写出W与售价x之间的函数关系式；如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？
26．如图，已知抛物线L：与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．

(1)小华同学在研究了抛物线L的解析式后，得出下面的结论：因为m是任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即点C可以在y轴任意位置上，你认为他的结论有道理吗？说说你的想法．
(2)若，，
①求m的值；
②若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G，当时，求n的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】首先把每一个函数式整理为一般形式，进而利用二次函数定义分析得出即可．
【详解】解：A、，故是二次函数，不合题意；
B、，故不是二次函数，符合题意；
C、，故是二次函数，不合题意；
D、，故是二次函数，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（a、b、c为常数，）的函数叫二次函数．
2．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可。
【详解】解：A、，故方程有实数根，故本选项不符合题意；
B、，故方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，故方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、，故方程没有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
3．C
【分析】先移项，再提取公因式分解因式，最后求解方程．
【详解】解：原方程变形，得，
解得，；
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
4．C
【分析】用配方法，通过式子变形把不是完全平方式的多项式变成完全平方式与一个数的和的形式．
【详解】解：
，
故A错误，不合题意；
．
故B错误，不合题意；
．
故C正确，符合题意；
故D错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查配方法，熟悉完全平方式的式子特点，加上一个数然后再减去一个相同的数式子不变是配方的关键．
5．B
【分析】根据抛物线的形状，开口方向和抛物线的值有关，利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标，开口方向和大小与抛物线相同，
这个二次函数的解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．
6．C
【分析】利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．
【详解】解：方程分解得：，
解得：，，
若2为底，3为腰，三角形三边为3，3，2，周长为；
若2为腰，3为底，三角形三边为2，2，3，周长为．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
7．B
【分析】由抛物线经过和可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：抛物线经过和，
抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
8．C
【分析】先根据题意确定抛物线的开口和对称轴，然后根据横坐标的取值范围确定点，相对于对称轴的位置，最后利用函数的增减性得解．
【详解】解：的对称轴，
的对称轴为轴，且开口向上，
，
，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
；
，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，包括抛物线的开口、对称轴以及函数的增减性，根据函数解析式确定对称轴是解题的关键．
9．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵x的方程的两根分别为，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键．
10．B
【分析】化成顶点式，根据平移规律判断，可得答案．
【详解】解：，
根据“左加右减，上加下减”规律：
向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的图象．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移规律是关键．
11．D
【分析】设个位数字为x，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，列出方程，解之取合适的解即可．
【详解】解：设个位数字为x，
由题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴这个两位数是，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握两位数的表示方法，正确列出方程．
12．D
【分析】根据二次函数图象和对称轴可判断出的符号，以及C选项，再把对称轴代入即可判断出B选项，再根据的符号与关系即可判断出D选项．
【详解】解：图象开口向上，
，
图象与y轴交于负半轴，
，
对称轴为，
，A选项错误；
当 ，由图象可知：，
把代入，
，B选项错误；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，C选项错误；
，D选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
13．A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
14．C
【分析】根据二次函数的性质，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：二次函数，对于任意的x值，恒成立，
，
，
解得，，
的值可以是．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于．
15．C
【分析】由题意可得方程，存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故，即可求出相应的范围．
【详解】解：由题意得方程，有两个不相等的实根
，即
又
∴当时，，
所以a的取值范围为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．
16．D
【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，则，如图所示
当运动时间为秒时，，，，
依题意得：，
即，
解得：，．
∴当时，t的值为秒或秒，
故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．1
【分析】先确定抛物线的对称轴是直线，由于抛物线与轴的一个交点坐标为，然后利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
即，
抛物线的对称轴是直线，
关于的方程的一个根是3，
即抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，即，
即关于的方程的另一个根为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18． 或
【分析】根据一元二次方程判别式，然后解不等式即可；根据根与系数的关系，，代入解答即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得：；
方程两根a，b满足，即，，，
，即，
，
解得：，．
故答案为：，或．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，，是方程的两根时，则，．
19．
【分析】（1）时，，于是得到．
（2）设，则，于是四边形周长，根据二次函数性质求解．
【详解】解：（1），
当时，，
∴．
故答案为：
（2）设，则，
∴令四边形周长为，，
∵，
∴时，取最大值，为．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数解析式，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2），
，
或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—因式分解法，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查根的判别式，以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）观察图象知抛物线经过，，把两点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式，继而得出顶点坐标；
（2）当时，当时，当时的函数值，观察图象可得的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线经过，，
，
解得：，
二次函数的表达式为，
∴顶点坐标为．
（2）当时，，
当时，，
当时，，
观察图象可知当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．
23．(1)4米
(2)米
【分析】（1）令，求出x值，取正值即可；
（2）令，求出x值，根据无法在对称轴右侧盖帽，得出，继而计算距离．
【详解】（1）解：在中，令，
则，
解得：或（舍），
∴，即他的脚底与篮筐中心正下方的距离l是4米；
（2）在中，令，
则，
解得：或，
由于无法在对称轴右侧盖帽，
∴，
∴他应该在离投篮运动员米的地方起跳．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，将实际情况与函数图象相结合是解决本题的关键．
24．(1)边的长为20m
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设边的长为m，得到的长为m，利用面积公式，列出一元二次方程进行计算即可；
（2）列出一元二次方程，求解后，进行判断即可．
【详解】（1）解：设边的长为m，则的长为m，由题意，得：
，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴边的长为20m；
（2）不能，理由如下：
由题意，得：，整理得：，
∴，
∴，
当时，，不符合题意；
∴饲养场的面积不能达到．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，正确的识图，列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)22千克
(2)30元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出该水果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元千克）之间的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可；
（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以写出获利与售价之间的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可，注意的取值范围．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
，
解得，
即一次函数的解析式为，
当时，，
答：这种水果售价为28元千克时，当天这种水果的销售量为22千克；
（2）由题意可得：，
当时，，
解得，
，
符合题意，
则这天水果的售价为30元．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的方程．
26．(1)没有道理，想法见解析；
(2)①，；②．
【分析】（1）点C在y轴上的任意位置，则横坐标为零，可得，无论m取何值点C不可能小于．
（2）①因为点A是抛物线与x轴的交点，将其代入可求得抛物线方程中m的值；②根据抛物线方程求的点C，利用待定系数法可求得直线方程为：，再根据求得、、的长度，又因为点P在抛物线上可求得其纵坐标，利用题干已知的比例解得，进一步求得的长，从而解得 n的值．
【详解】（1）没有道理，因为点C在y轴上，所以点C的纵坐标为，则点C的纵坐标大于等于，即无论m取何值点C不能到达以下位置．
（2）①将点代入抛物线，得，
，
解得，，；
②抛物线L：，则点C，
由点B、点C得直线方程为：，
∵
∴，，
又∵为过点N作x轴的垂线，
∴，
则，
又∵点P在抛物线上，得点，
∴，
又∵
∴，
∴，
则解得，，
∵
∴（舍去）
故
【点睛】本题为二次函数的综合应用，考查二次函数的性质，利用待定系数法求解直线方程式，等腰直角三角形的性质和利用坐标值求线段的长度，求解本题要熟练掌握二次函数性质、坐标值为负求线段情况．
销售量y（千克）
…
32
30
26
24
…
售价x（元/千克）
…
18
20
24
26
…