江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2023-2024学年高一上学期十二月阳光测试数学试题

这是一份江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2023-2024学年高一上学期十二月阳光测试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知角终边经过点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．已知函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ）
A．5B．6C．8D．10
中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形（如图2）.记圆面面积为，扇形的面积为，把满足
且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作
而成的“完美扇面”，则弧的长为（ ）.
A．B．C．D．
8．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是；
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C．角为第四象限角的充要条件是；
D．若角的终边上一点的坐标为，则.
10．若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在为减函数D．函数在为增函数
11．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．函数的最小值为2D．若，则
12．已知函数是定义在上的偶函数，对于任意，都有成立．当时，，下列结论中正确的有（ ）
A．B．函数在上单调递增
C．直线是函数的一条对称轴D．关于的方程共有4个不等实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．定义在上的奇函数，当时，，当时，．
14．已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是．
15．如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径
画弧，两弧交于点，则由线段AB,弧AG,弧BG围成的阴影部分的面积为．
16．已知，，若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．求下列各式的值
(1)；
(2).
18．从①；②③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知集合__________，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
19．(1)求函数的值域；
(2)已知，，且，求的最小值．
已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
21．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
(2)2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知是偶函数，是奇函数．
(1)求，的值；
(2)用定义证明的在上单调递增；
(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】解一元二次不等式，根据对数函数单调性解对数不等式即可.
【详解】由题知，，解得，故，
又因为，
所以，
即.
故选：B
2．A
【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：A
3．C
【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.
【详解】因为角终边经过点，所以，所以，
解得.
故选：C
4．D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
5．B
【分析】首先判断函数的单调性，再比较指对数的大小，利用单调性可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
又， ，，
所以，
所以.
故选：B．
6．D
【解析】先由是上的奇函数，是上的偶函数，且，得到，求出和，再求
【详解】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，
则，故.
故选：D
【点睛】函数奇偶性的应用:
(1)一般用或;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
7．D
【分析】首先求出，设圆心角，圆的半径为，表示出，，根据求出，再根据弧长公式计算可得.
【详解】依题意，，即，即，
所以，则，
设圆心角，圆的半径为，则，，
所以，
因为，所以，即，解得，
所以弧的长为.
故选：D
8．D
【解析】由减函数可知在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出和的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．
【详解】是R上的单调递减函数，
在上单调递减，在上单调递减，
且在上的最小值大于或等于．
，解得，
作出和的函数草图如图所示：
恰有两个不相等的实数解，
，即，
综上，．
故选：D．
【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
9．AD
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；
易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.
故选：AD
10．AC
【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以设，
又的图像经过点，所以，所以，即，
所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
11．BD
【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，根据函数定义进行判断；C选项，利用基本不等式进行求解；D选项，先计算出，从而得到.
【详解】A选项，的定义域为，
而定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；
B选项，根据函数定义，可知的图象与直线可以无交点，也可以有1个交点，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确；
C选项，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，
的最小值不为2，C错误；
D选项，，则，
故，D正确.
故选：BD
12．AC
【分析】由，令可得，进而结合奇偶性即可判断A选项；由可得，可得函数是周期为4的偶函数，结合题设画出大致图象，结合图象可判断BC选项；进而画出函数的大致图象，即可判断D选项.
【详解】由，
令，则，即，
因为是定义在上的偶函数，所以，故A正确；
由A知，，则，
所以函数是周期为4的偶函数，结合时，，
画出大致图象如下：

结合图象可知，函数在上单调递减，直线是函数的一条对称轴，故B错误，C正确；
对于D，画出函数的大致图象如下：

结合图象可知，函数和有两个交点，
所以方程共有2个不等实根，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数是周期为4的偶函数，然后画出大致图象，结合图象即可求解.
13．
【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
14．
15．
【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
故答案为：.

16．
【分析】分析可知，，求出在上的最小值为，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】若对，总存在，使得成立，则，
当时，令，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，
故当时，，即对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，故.
故答案为：.
17．（1）2；（2）10.（只看答案5+5）
【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）按照对数的运算法则进行对数的运算即可．
【详解】（1）原式
；5
（2）原式
5
【点睛】本题主要考查了分数指数幂和对数的运算，考查了对数的换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18．1．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数，指数函数的性质或二次不等式解得，再求交集即可；
（2）结合（1）得，根据题意得，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：选①时：，解得：，即，
又因为，故，综上：.
选②时：，解得：，所以.
选③时：，解得：，所以.
A 3分
当时，
综上，. 3分
（2）因为，所以，
由第一问可知：选①时，
当时，，解得：，满足题意；2分
当时，要满足，解得：，3分（少条件不给分）
综上：实数的取值范围为
选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为.1分
19．【详解】（1）因为，所以
，
当且仅当，即时等号成立，2
因为，所以
，
当且仅当，即时等号成立，2
值域：2
（2）由，得，
所以
，3
当且仅当，即时等号成立，2
所以的最小值为．1
20．(1) (2)
【分析】（1）利用即可求解；
（2）由求得，继而算出，即可求得答案
【详解】（1）因为，所以，
因为，且，3
所以，所以 3
（2）将已知等式，
两边平方得：，
即，2
∴，
∵，∴，即，
∴，2
∴ 2
21．(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.
（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.
【详解】（1）依题意，销售收入万元，固定成本250万元，另投入成本万元，
因此，
所以2020年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是. 3+3
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，2
当时，，当且仅当，即时取等号，2
而，因此当时，，
所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 2
22．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围．
【详解】（1）解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得．
2（特殊值算 要检验奇偶性，否则每个扣1分）
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；2
此时，则，符合题意；
（2）设任意的且， 1
则
， 2
因为，所以，所以，则，
所以，
即的在上单调递增. 1
（3）解：由（2）知单调递增，
则不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，1
则，
设，，因为、、在定义域上单调递增，
所以在上单调递增， 2
∴，
则，
所以实数的取值范围是．