江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2022-2023学年高一上学期12月第二次阶段检测数学试题及答案

江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2022-2023学年高一上学期12月第二次阶段检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．“角小于”是“角是第一象限角”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知角的终边上一点，则（    ）

A． B．

C． D．以上答案都不对

3．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数则方程的解集为（    ）

A． B． C． D．

5．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )

A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27

6．已知,,,则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．9

7．函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

8．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知实数a，b，c满足，则（    ）

A． B． C． D．

10．以下四个命题，其中是真命题的有（    ）．

A．命题“”的否定是“”

B．若，则

C．函数且的图象过定点

D．若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则

11．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（    ）

A．函数的定义域为，且是偶函数

B．对于任意的，都有

C．对于任意的a，，都有

D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足

三、填空题

13．请写出一个满足的增函数______.

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为常数），则=_________.

15．已知，且，则______.

16．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．

四、解答题

17．设函数的定义域为集合的定义域为集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

18．（1）化简：；

（2）利用（1）中的函数图像，解不等式：；

（3）已知关于的方程的两根为和，. 求实数以及的值.

19．已知函数

(1)求的最小值及对应的的集合；

(2)求在上的单调递减区间；

(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.

20．设m为实数，己知函数

(1)判断的奇偶性，并给出证明；

(2)设函数，当时，求的最大值；

(3)若函数的最小值为，求m的值.

21．设为正整数，已知函数.

(1)判断函数的单调性，并用定义证明；

(2)求关于x不等式的解集；

(3)若函数在区间单调递减，比较与的大小关系，并说明理由.

22．对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．

(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；

(2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；

(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若角小于，取，此时，角不是第一象限角，

即“角小于”“角是第一象限角”；

若角是第一象限角，取，此时，，

即“角小于”“角是第一象限角”.

因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2．C

【分析】可由题意，利用坐标分别表示出，然后再计算即可得到答案.

【详解】因为角的终边上一点，所以，，所以.

故选：C.

3．D

【分析】由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.

【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的性质，可得且，即，

由三角函数的诱导公式，可得，

所以.

故选：D.

4．B

【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案.

【详解】当时，，故，解得或（舍去）；

当时，，故，解得或（舍去）.

综上所述：或.

故选：B

5．C

【解析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.

【详解】根据题意可得：

可得，解得，

根据参考公式可得，

故与最接近的是.

故选：C.

【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.

6．A

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开后利用基本不等式可得解.

【详解】,,,

所以,即,

则,

当且仅当且即,时取等号,

则的最小值是3.

故选：A

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.

7．D

【分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论．

【详解】，为偶函数，排除BC，

又时，，时，，排除A，

故选：D．

8．A

【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.

【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；

时，且递减；时，且递增；

∴的图象如下：有四个实数根，，，且，

由图知：时有四个实数根，且，又，

由对数函数的性质：，可得，

∴令，且，

由在上单增，可知，

所以

故选：A

9．AC

【分析】根据幂函数，对数函数，指数函数的性质判断．

【详解】∵，由在上是增函数，，故A正确；

由对数函数性质是减函数，，∴，，即，故B错误；

由是减函数得，故C正确；

，，故D错误；

故选：AC

10．ACD

【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.

【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；

对于B，若，则，根据的单调性，可知，故B不正确；

对于C，当时，，故其过定点，故C正确；

对于D，设扇形的半径为，弧长为，则有，

又，故D正确.

故选：ACD

11．AD

【分析】对于A，由已知等式可判断，从而可判断出的范围，对于BC，由已知条件结合可求出，从而可求出的值，对于D，将的值代入计算即可.

【详解】对于A，由题设，故A正确；

对于BC，因为，，

所以，化简得，

解得或，

当时，，则

当时，，则，

所以B，C错误；

对于D，由前面的解析可知，当时，，

当时，，

综上，所以D正确，

故选：AD.

12．BC

【分析】利用对数的性质求定义域，由定义判断奇偶性可知A的正误；将等式两边函数中自变量代入解析式化简整理判断B、C的正误；应用特殊值：取，代入判断即可．

【详解】A：由，解得，故的定义域为．

又，

∴为奇函数，故错误．

B：由，，故正确．

C：，

，

∴，故正确．

D：取，，则，，

∴，故错误．

故选：BC．

13．（答案不唯一）.

【分析】根据已知条件可结合对数函数的性质得答案.

【详解】由题意可知函数满足条件，

证明：因为，

所以满足，

函数在上为增函数，

所以符合条件，

故答案为：（答案不唯一）.

14．

【分析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.

【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，，

则，解得，则，

所以，因此.

故答案为：.

15．

【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】，

又，

所以，

又，

所以，

所以为负值，

所以.

故答案为：.

16．或

【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

【详解】令，记的零点为，

因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，

则，或或

当时，得，，满足题意；

当时，得，，满足题意；

当时，，解得.

综上，t的取值范围为或.

故答案为：或

17．(1)

(2)

【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；

（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.

【详解】（1）由，解得或，

所以．

．

当时，由，即，解得，

所以．所以．

（2）由（1）知，．

由，即，解得，

所以．

因为“”是“”的必要条件，

所以．所以，解得．

所以实数的取值范围是．

18．（1）；（2）；（3），.

【分析】（1）根据诱导公式，计算可得答案.

（2）根据正弦函数的图像性质，可得的范围.

（3）根据韦达定理，以及三角函数的平方关系，可列方程求得答案.

【详解】（1）；

（2），，得，

根据正弦函数的图像性质，得到；

（3）由，两根为和，可得，，得，得，可得，；

又由，得，故，而，则.

19．(1)；

(2)；

(3)；

【分析】（1）由已知，可根据已知的函数解析式直接求解最小值，以及令求解出的最小值及对应的的集合；

（2）可令，将原函数转化为，先求解函数的单调递减区间，然后再令，从而求得函数的单调递减区间；

（3）由已知函数解析式，可画出图像，根据图像可直接求解实数的取值范围.

【详解】（1）由已知，函数，

所以当时，即时，

函数取得最小值，最小值为，

所以，当函数取得最小值对应的的集合为.

（2）因为函数，

令，因为，所以，

函数变为，

因此，函数当时单调递减区间是，

所以，即，

所以函数在上的单调递减区间是.

（3）由已知，画出函数的图像，如下图所示，

方程在上有两个不同的实数解，此时实数的取值范围为.

20．(1)为偶函数，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.

（2）利用基本不等式即可求得最值.

（3）借助换元法即可求得m的值.

【详解】（1）由已知定义域为，定义域关于原点对称，

，即为偶函数

（2），当且仅当时，取到等号，即的最大值为

（3）令，则

，令

所以与有相同的最小值

当时，，解得

当时，，解得，舍去

综上所述，m的值为

21．(1)在单调递减，在单调递减，证明见解析

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤即可证明（2）根据函数在是单调递减的，即可解不等式；（3）首先计算出的表达式，利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】（1）为奇函数，定义域为

设任意，且，则，，

，

所以；

即在单调递减，又为奇函数，所以在单调递减.

（2）由可得

又因为，且在单调递减；

所以，即

所以，不等式的解集为

（3）在上单调递减，即

又因为，所以

即.

22．(1)，不具有性质；,具有性质

(2)

(3)具有性质，理由见解析

【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；

（2）根据已知条件有对任意恒成立，再根据基本不等式即可得参数范围；

（3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质.

【详解】（1），，

所以，则，故，不具有性质；

，

恒成立，故,具有性质.

（2）由，则对任意恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号.故，即，解得，又为非负实数，故

（3）因为具有性质，所以，

因为函数的值域为，所以，

则，，

，

，

，

所以，即具有性质.

【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、、，进而有，结合对数函数的单调性判断结论.