人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品当堂达标检测题，文件包含人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题17空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题17空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。


1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
3．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
4．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
5．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
6．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
【题型1 求空间点的坐标】
【方法点拨】
(1)求某点M的坐标的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在
z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．
(2)空间点对称问题的解题策略：
①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
【例1】（2022春•溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则点A1的坐标为（ ）
A．（0，4，7）B．（﹣2，0，1）C．（2，0，﹣1）D．（2，0，1）
【变式1-1】（2021秋•蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若，则点B的坐标为（ ）
A．（1，0，﹣2）B．（3，2，0）C．（1，0，2）D．（3，﹣2，0）
【变式1-2】（2020秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（1，2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（1，2，3）
【变式1-3】（2021秋•新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【方法点拨】
空间向量坐标运算的规律及注意点:
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．
【例2】（2021秋•河池期末）已知（1，2，3），（0，﹣1，4），则23等于（ ）
A．（﹣4，6，14）B．（﹣4，0，6）C．（﹣4，3，6）D．（2，1，18）
【变式2-1】（2021秋•柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量，，则向量（ ）
A．（0，1，10）B．（﹣4，7，0）
C．（4，﹣7，0）D．（﹣4，﹣12，25）
【变式2-2】（2021秋•乌兰察布月考）已知向量（2，3，﹣4），（﹣4，﹣3，﹣2），2，则（ ）
A．（0，3，﹣6）B．（0，6，﹣20）C．（0，6，﹣6）D．（6，6，﹣6）
【变式2-3】（2021秋•和平区期末）已知（2，﹣3，1），（2，0，3），（0，1，﹣2），则43等于（ ）
A．（4，﹣4，6）B．（﹣6，﹣6，﹣5）C．（10，0，7）D．（10，﹣6，19）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2021秋•黄陵县校级期末）已知，，则（ ）
A．﹣5B．﹣7C．3D．
【变式3-1】（2022春•厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则（ ）
A．﹣11B．3C．4D．15
【变式3-2】（2020秋•泉州期末）已知，，，则x的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣∞，10）C．（﹣4，+∞）D．（10，+∞）
【变式3-3】（2021秋•无锡期末）（理科）若向量、的坐标满足，，则•等于（ ）
A．﹣1B．﹣5C．5D．7
【题型4 空间向量的模与两点间的距离】
【方法点拨】
求空间中两点间的距离的步骤:
(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A( SKIPIF 1 < 0 )，B( SKIPIF 1 < 0 )；
(2)利用公式|AB|= | SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 求A、B间的距离.
【例4】（2021秋•临沂期末）若（﹣1，2，3），（1，﹣1，﹣5），则（ ）
A．B．C．5D．10
【变式4-1】（2022春•古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（ ）
A．2B．2C．2D．
【变式4-2】（2022•湛江校级模拟）已知向量（0，﹣1，1），（4，1，0），|λ|且λ＞0，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【变式4-3】（2022春•盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（ ）
A．B．C．D．
【题型5 空间向量夹角问题】
【方法点拨】
建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦
值公式进行求解即可.
【例5】（2022春•内江期末）已知，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【变式5-1】（2021秋•禅城区校级期中）已知向量，（k，2，0），若与夹角为，则k的值为（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【变式5-2】（2021秋•渭滨区期末）已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（2021秋•广东期中）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，2，t）的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．
C．D．
【题型6 空间向量的平行与垂直】
【方法点拨】
(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明
其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.
(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量
积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【例6】（2021秋•迎江区校级月考）已知向量，，若⊥，则实数λ的值为（ ）
A．1B．1或﹣2C．﹣2D．2
【变式6-1】（2021秋•安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若∥，则y﹣2z＝（ ）
A．﹣20B．﹣17C．11D．4
【变式6-2】（2021秋•庆安县校级期末）已知（1，5，﹣2），（3，1，z），若，则实数z的值为（ ）
A．5B．2C．3D．4
【变式6-3】（2021秋•屯溪区校级期中）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，2），且k与2互相平行，则k＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3