（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案4.4《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
2．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找的五个特征点，如下表所示
3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))的振幅为__________，周期为________，初相为________．
2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．
二、易错点练清
1．为了得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
2．函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________________．
3．已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为________．
考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
[典例] 已知函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
(1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
(2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
(3)φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[针对训练]
1．若把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得到的图象与函数y＝ cs ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(1,2)
2．将函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
考点二 由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[典例] (多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x)) C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
[方法技巧]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
[针对训练]
1.设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(10π,9) B.eq \f(7π,6) C.eq \f(4π,3) D．eq \f(3π,2)
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0， |φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))上单调递减 B．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))上单调递增
C．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，\f(13π,12)))上单调递减 D．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))上单调递增
考点三 三角函数图象与性质的综合问题
[典例] 已知函数f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,6))＋1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)＝0，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))，求x的值；
(3)将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，求函数h(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))的值域．
[方法技巧]
三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
[针对训练]
1.(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的周期为π
B．函数f(x)图象的一条对称轴方程为x＝eq \f(5π,12)
C．函数f(x)的递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))，k∈Z
D．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))时，函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,0＜ω＜6，|φ|＜eq \f(π,2))，x＝eq \f(π,3)是函数f(x)的零点，x＝eq \f(π,12)是函数f(x)图象的对称轴，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上有两个零点，求m的取值范围．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，eq \f(π,4) C．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,8) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,8)
2．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))上单调递增 B．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))上单调递减
C．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))上单调递增 D．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))上单调递减
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3) C．1 D．eq \r(3)
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－eq \f(π,2)<φA．－eq \f(π,3) B．eq \f(π,3) C．－eq \f(π,6) D．eq \f(π,6)
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为_______℃.
6．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则φ的最小值为________．
二、综合练——练思维敏锐度
1．(多选)要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向右平行移动eq \f(π,5)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍
B．向右平行移动eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍
C．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，再把所得各点向右平行移动eq \f(π,5)个单位长度
D．横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，再把所得各点向右平行移动eq \f(π,10)个单位长度
2．在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin(3x＋eq \f(π,4))的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D．eq \f(π,12)
3.函数f(x)＝cs(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数g(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(fx－\f(3,π)φ))的最小正周期为( )
A．π B．2π C．4π D．eq \f(π,2)
4．(多选)将函数f(x)＝cs 2x的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
B．为奇函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增
C．为偶函数，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))上单调递增
D．周期为π，图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
5．将函数f(x)＝tan(ωx＋eq \f(π,3))(0<ω<10)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝( )
A．9 B．6 C．4 D．8
6．(多选)将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调增函数，则实数ω可能的取值为( )
A.eq \f(2,3) B．1 C.eq \f(6,5) D．2
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)))的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝eq \f(5,2)，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2cs eq \f(π,3)x B．g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(2π,3)))
C．g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)x＋\f(π,3))) D．g(x)＝－2cs eq \f(π,3)x
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))取得最小值时，x的集合为______________________．
9．将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移eq \f(π,12)个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(a,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2a，\f(7π,6)))上单调递增，则实数a的取值范围是________．
10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，图象上与点P最近的一个最高点是Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，5)).
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))＝a有实数解，求a的取值范围．
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
eq \a\vs4\al(φ)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
eq \a\vs4\al(A)
0
－A
0