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专题04图形的运动单元提优专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版）
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这是一份专题04图形的运动单元提优专练-2023-2024学年七年级数学专题复习训练（沪教版），文件包含专题04图形的运动单元提优专练原卷版-七年级数学专题训练沪教版docx、专题04图形的运动单元提优专练解析版-七年级数学专题训练沪教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．
共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么点D的对应点D′的坐标是( )
A．(0，1)B．(6，1)C．(6，－1)D．(0，－1)
【答案】D
【详解】
解：∵D（3，2），
∴先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么点D的对应点D′的坐标（3﹣3，2﹣3），即（0，﹣1）．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】
分析：根据轴对称图形的性质来进行解答即可得出答案．
详解：根据轴对称性可得：△ABC≌△AB′C′；∠BAC′＝∠B′AC；直线l垂直平分CC′；直线BC和B′C′的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，故选B．
点睛：本题主要考查的是轴对称图形的性质，属于基础题型．轴对称图形的对应边和对应角都相等，对应点的连线被对称轴垂直平分．
4．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ）
A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01
【答案】C
【分析】
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点睛】
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
【答案】B
【分析】
根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK的最小值，然后求解即可．
【详解】
作点P关于BD的对称点P′,作P′Q⊥CD交BD于K,交CD于Q,
∵AB=4,∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4× =2，
∴PK+QK的最小值为2，
故选B.
【点睛】
此题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
6．在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB 得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．
【详解】
延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，
∵∠CAD=60°，∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∵∠CDB=2∠CDE，
∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，
∴∠CDB=2∠CDE=80°，
∵BF=AD，
∴BF=DE，
∵DE+BD=CE，
∴BF+BD=CE，即DF=CE，
∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，
∴AF=AC，
而∠BAC=60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF=AC，∠F=60°，
在△ACD和△FCB 中
，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=80°，
∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．
故选B．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于延长AB到F使BF=AD，构建△FCB与△ACD全等．
7．将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）.
A．15B．18C．21D．24
【答案】C
【分析】
根据图形可知：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，通过观察原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线：共有18条，故对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形.
【详解】
图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线：这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；
原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；
共得18＋3=21个菱形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是菱形的判定，找出图形的规律是解决此题的关键.
8．下列说法不正确的是（ ）.
A．中心对称图形一定是旋转对称图形；
B．轴对称图形一定是中心对称图形
C．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上
【答案】B
【分析】
如果一个图形绕某一点旋转180后能与自身完全重合，那么这图形就叫做中心对称图形；如果一个图形绕某一点旋转180后能与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.题中依据定义判断即可.
【详解】
中心对称图形是图形旋转180后得到的，因此中心对称图形一定是旋转对称图形，故A正确；
等腰梯形是轴对称图形，但是它不是中心对称图形，故B错误；
成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，故C正确；
平移图形可以沿着某条边所在的直线平移，此时，对应点所连的线段在一条直线上，故D正确.
故此题选择B.
【点睛】
此题主要考查成轴对称的图形的性质和轴对称图形的性质，注意两者的区别，掌握图形的性质特点是解决此题的关键.
9．下列说法中，正确的是（ ）.
A．能够旋转重合的两个图形是中心对称图形
B．具有对称关系的两个图形沿着某一直线翻折后一定重合
C．一个角沿着它的角平分线翻折后，两部分完全重合，因此角平分线是它的对称轴
D．能够完全重合的两个图形一定构成对称关系或中心对称关系
【答案】D
【分析】
根据成轴对称的图形、中心对称图形的定义进行判断即可得到答案.
【详解】
中心对称图形是指一个图形，且必须旋转180后能与自身重合，因此A错误；
两个图形的对称关系可以是轴对称，也可以是中心对称，因此B错误；
图形的对称轴应是一条直线，而角平分线是射线，因此C错误；
能够完全重合的两个图形一定构成对称关系或中心对称关系,因此D正确.
故此题选D.
【点睛】
此题考查轴对称的对称关系，掌握：成轴对称关系的是两个图形，而中心对称图形是形状特殊的一个图形，对称轴应是一条直线，这些是判断此题的依据.
10．如图，一块等边三角形木板的边长为1，现将木板沿水平线翻转（绕一个点旋转），那么点从开始到结束所走的路径长度为（ ）.
A．4B．2π
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意点A每次旋转的角度是120，运动的路线是半径为1的圆弧形的弧线，即圆周长的三分之一，共旋转了两次，再依据圆的周长公式计算即可.
【详解】
，故此题选D.
【点睛】
此题考查旋转的实际应用，根据图形旋转得到旋转的角度，所走的路线特点是圆弧形的弧线，再利用圆周长公式求值计算.
11．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2RB．RC．RD．R
【答案】B
【详解】
试题分析：连接DC′，
根据题意以及垂径定理，
得弧C′D的度数是120°，
则∠C′OD=120度．
作OE⊥C′D于E，
则∠DOE=60°，则
DE=R，
C′D=R．
故选B．
考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．轴对称-最短路线问题．
12．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤
【答案】A
【解析】
试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选A．
13．如图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内不同于O的另一点，△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( )．(提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
①△O′BO为等边三角形，且A′、O′、O、C在一条直线上．
②A′O′＋O′O＝AO＋BO． ③A′P′＋P′P＝PA＋PB．
④PA＋PB＋PC>AO＋BO＋CO．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
解：连PP′，如图，∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故选D．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．
二、填空题
14．如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，是直线上的一点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，然后根据题意可知，梯形为等腰梯形，从而判断出直线MN即为梯形的对称轴，由此可知此时，即的最小值为AC的长，根据已知条件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC.
【详解】
解：连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，理由如下
∵梯形中，，
∴梯形为等腰梯形，
∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD
∵、分别是、的中点，
∴直线MN即为梯形的对称轴
由对称可知：DP=AP
∴此时，根据两点之间，线段最短，即可得：此时的最小且最小值为AC的长，
∵，∠B＋∠BAD=180°
∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°
∵
∴∠DAC=∠DCA=
∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°
在Rt△CAB中，
BC=2AB=2，根据勾股定理可得：AC=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是等腰梯形的性质、轴对称的性质和最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.
15．如图，一块含有角（）的直角三角板，在水平的桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，点、、在一直线上，那么旋转角是______.
【答案】
【分析】
由点、、在一直线上得，将代入即可求得旋转角的度数.
【详解】
由题意得，
∵，
∴
【点睛】
此题考查旋转角度的确定，图形旋转前后对应点与旋转中心的连线构成的夹角即是旋转角，即图中的(或)，根据题意找到关系式求值即可.
16．如图所示，在正方形网格中，图①经过______变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______.（填“”或“”或“”）
【答案】平移
【分析】
图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】
根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
【点睛】
此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
17．如图，是直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，那么是______三角形.
【答案】等腰直角
【分析】
旋转前后的两个图形是全等的，由全等得到对应的等量关系式， ，再依据∠BAC是直角求得即可判断的形状.
【详解】
由旋转得△ABP≌△,
∴,.
∵是直角三角形，
∴∠BAC=90，
∴∠PAC+=∠PAC+∠BAP=90，
∴是等腰直角三角形.
故填等腰直角.
【点睛】
此题考查旋转的应用，由旋转可得到全等的三角形，由此可证得对应相等的线段及角，这是解此题的关键.
18．如图，把大小相等的两个长方形拼成形图案，则______.
【答案】
【分析】
根据题意得△AFG≌△ACD，得到AF=AC，∠GAF=∠DAC，再证得△FAC是等腰直角三角形，由此求得∠FCA的度数.
【详解】
由题意得△AFG≌△ACD，
∴AF=AC，∠GAF=∠DAC，
∵∠GAE=90，
∴∠GAF+∠FAE=90,
∴∠DAC+∠FAE=90,
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠FCA=45.
故此题填
【点睛】
此题中大小相等的两个长方形拼成形图案可以理解为长方形ABCD绕点A逆时针旋转90得到长方形AEFG，所以△AFG≌△ACD，得到AF=AC，∠GAF=∠DAC，这是解此题的关键，再证得△FAC是等腰直角三角形，由此求得∠FCA的度数.
19．如图，为等边三角形内的一点，将绕点逆时针旋转后能与重合，如果，那么______.
【答案】3
【分析】
根据题意可得到△ABP≌,继而得出， ，再根据∠BAC=60证出，由此证出是等边三角形，求出
【详解】
由题意得△ABP≌,则， ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60,
∴,
∴是等边三角形，
∴.
故填3.
【点睛】
此题考查旋转的性质，旋转重合的两个三角形全等，根据全等得到， ，再证由此得出是等边三角形，再求得.
20．已知：如图，在正方形中，点在边上，将绕点按顺时针方向旋转，与重合，那么旋转角等于______.
【答案】
【分析】
由题意可得∠ADC=90, 将绕点按顺时针方向旋转，与重合,可得∠ADC是旋转角，继而求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD在正方形，
∴∠ADC=90,
将绕点按顺时针方向旋转，与重合,可得∠ADC是旋转角，
∴旋转角等于.
故答案为.
【点睛】
此题考查旋转角的确定，确定旋转前后的对应点，它们与旋转中心连线的夹角即为旋转角，再根据题意求出度数，即可正确解答.
21．将一矩形纸片按如图方式折叠，、为折痕，折叠后与在同一条直线上，则的度数______.
【答案】等于
【分析】
由题意知，根据翻折得， ，继而求出，由此得到的度数.
【详解】
由题意得： ，
∵，
∴，
即的度数等于.
故答案是等于.
【点睛】
此题考查的是翻折的性质，掌握翻折前后的对应角相等是解此题的关键.
22．对于下列图形：①等边三角形； ②矩形； ③平行四边形； ④菱形； ⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____．（填写图形的相应编号）
【答案】②④⑤⑥．
【解析】
解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为②④⑤⑥．
23．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
【答案】2．
【分析】
根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】
解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
24．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为2 016，则n的值为__________．
【答案】402．
【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1−A1A2=6−5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴ABn=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
25．已知点P(2a-4，6-3b)，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在x轴的负半轴上，则a、b应为_____．
【答案】a＜3；b=1
【解析】根据平移的规律：上加下减，左减右加，可知平移后点的横坐标为：2a-4-2=2a-6；纵坐标为：6-3b-3=3-3b；再由落在x轴的负半轴上，得到2a-6＜0，3-3b=0，解得a＜3，b=1．
故答案为：a＜3，b=1.
点睛：此题主要考查了坐标的平移，关键是利用平移的规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．在x轴的负半轴上的点的横坐标＜0，纵坐标为0．
26．关于点O成中心对称的两个四边形ABCD和DEFG，AD、BE、CF、DG都过______
【答案】点O
【解析】对应点的连线经过对称中心.
故答案：点O.
【方法点睛】本题目是一道考查成中心对称图形的性质，每对对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分.
27．如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为_____度．
【答案】30°
【解析】
分析：设A′D′与CD的交点为E，连接BE；由于A′B=BC，易证得△A′BE≌△CBE，因此两者的面积相等，即可根据△CBE的面积求得CE的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．
详解：设A′D′与CD的交点为E，连接BE．
∵A′B=BC，BE=BE，
∴Rt△A′BE≌Rt△CBE．（HL）
∴∠A′BE=∠EBC，且S△BA′E=S△BCE=．
在Rt△BCE中，BC=2，则：
S△BCE=×2×CE=，
∴CE=．
∴tan∠EBC=，即∠EBC=30°．
∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°-∠A′BC=30°．
故旋转的角度为30°．
点睛：此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．
28．如图，在直角梯形中，，，，将直角梯形沿方向平移2个单位得到直角梯形，与交于点，且，则图中阴影部分面积为______.
【答案】9
【分析】
由平移得到直角梯形与直角梯形全等，所以它们的面积相等，都减去直角梯形BMHE的面积，得到阴影部分的面积等于直角梯形FGMB的面积，再根据已知条件求得BM、BF、GF的长度，代入梯形面积的公式即可求得结果.
【详解】
由平移得直角梯形与直角梯形全等，
∴S梯形ABCD=S梯形EFGH，
∴S阴影=S梯形FGMB，
∵GF=BC=5，CM=1，
∴BM=4，
∵BF=2，
∴S阴影= .
故此题填9.
【点睛】
此题考查平移的性质，图形平移前后的面积不变，因此将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，降到了难度，这是解此题的关键.
29．如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______.
【答案】1
【分析】
作如图的辅助线，根据旋转和三角形全等，证得EG=CF=1，然后得出三角形ADE的面积.
【详解】
过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，过点D作DF⊥BC于点F，
则∠G=∠DFC=∠DFB=90，
∵,
∴∠GDF=∠DFB=90,
由旋转得∠EDC=90，DE=DC,
∴∠EDC-∠GDC=∠GDF-∠GDC,
即∠EDG=∠CDF，
∴△CDF≌△EDG，
∴EG=CF
∵，,
∴EG=CF=3-2=1，
∴的面积=.
【点睛】
此题考查旋转的性质，利用全等三角形、直角梯形的性质求出的高EG=CF是解题的关键.
三、解答题
30．如图所示，张三打算在院落种上蔬菜．已知院落为东西长为32米，南北宽为20米的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽度的三条小路，东西两条，南北一条，余下的部分种上各类蔬菜．若每条小路的宽均为1米．
（1）求蔬菜的种植面积；
（2）若每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元，这个院落每季的产值是多少？
【答案】（1）558平方米（2）1116元．
【分析】
（1）利用平移得出蔬菜的种植面积即可；
（2）利用（1）所求，进而结合每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元得出即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
蔬菜的种植面积为：（32-1）×（20-2）=558（平方米）；
（2）根据题意可得：
这个院落每季的产值是：558×（3-1）=1116（元），
答：这个院落每季的产值是1116元．
【点睛】
此题主要考查了生活中平移现象，正确平移道路是解题关键．
31．请你把下面这个图形补画成中心对称图形，并且用点O表示对称中心（最少画三个） ．
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质，绕某一个点旋转180°能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，即可画出．
【详解】
如图所示，
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的画法，正确根据中心对称图形的性质画出图象是解决问题的关键．
32．请你用两条线段、两个圆、两个三角形拼成一个有意义的图案，画出你的图案，并给你的图案起个名字．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
解答本题需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．
【详解】
如图所示：
【点睛】
本题考查了轴对称设计图案的知识，属于开放型，同学们要充分发挥想象力及语言表达能力．
33．指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
【答案】详见解析
【分析】
根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【详解】
如图：
【点睛】
此题考查生活中的轴对称现象，解题关键在于掌握其定义.
34．已知：ABC平移后得出△A1B1C1，点A（﹣1，3）平移后得A1（﹣4，2），又已知B1（﹣2，3），C1（1，﹣1），求B、C坐标，画图并说明经过了怎样的平移．
【答案】点B坐标为：（1，4），点C坐标为（4，0），由点A平移前的坐标为（﹣1，3），平移后的坐标为（﹣4，2），可得平移的规律是：向左平移3个单位，向下平移1个单位
【分析】
根据平移前后对应点连线互相平行（或在同一条直线上）且相等，可找到B、C的位置，继而得出B、C的坐标，根据点A平移前后的坐标，可得出平移的规律．
【详解】
解：所作图形如下所示：
．
点B坐标为：（1，4），点C坐标为（4，0），
由点A平移前的坐标为（﹣1，3），平移后的坐标为（﹣4，2），
可得平移的规律是：向左平移3个单位，向下平移1个单位
【点睛】
此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则.
35．如图，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，E、F、P、H分别为四边的中点，请分别在图1、2、3中画一个以A、B、C、D、E、F、P、H中的三点为顶点的三角形，所画三角形要求与△APH成轴对称（三个三角形的位置要有区别）.
【答案】详见解析
【分析】
利用轴对称图形的性质结合正方形的性质得出符合题意的图形即可．
【详解】
解：如图所示：
【点睛】
此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则.
36．如图所示：
（1）直接写出点A的坐标，点A关于x轴的对称点B的坐标，点B关于y轴的对称点C的坐标.
（2）画出将线段BC向右平移2个单位，再向上平移4个单位后的线段B′C′，并直接写出B′的坐标．
【答案】(1) （-1，2），（-1，-2），（1，-2）；（2）B'（1，2）.
【分析】
（1）根据A点坐标结合关于x轴以及y轴对称点的性质得出各点坐标；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：点A的坐标为（-1，2）；
点A关于x轴的对称点B的坐标为（-1，-2）；
点B关于y轴的对称点C的坐标为：（1，-2）；
故答案为（-1，2），（-1，-2），（1，-2）；
（2）如图所示：B′C′即为所求，B'（1，2）.
【点睛】
此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
37．河岸同侧的两个居民小区、到河岸的距离分别为，（如图（1）），即，.现欲在河岸边建一个长度为的绿化带（宽度不计），使到小区的距离与到小区的距离之和最小.在图（2）中画出绿化带的位置，并写出画图过程.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由CD的长为固定值sm,若使AC＋BD最短, 作线段，使，且点在点的右侧,此时可转化为轴对称:最短路径问题画图即可.
【详解】
画法：
①作线段，使，且点在点的右侧；
②作点关于直线的对称点，连结交于点；
③在上点左侧截取，则就是所要求的绿化带位置.
简要说明:由于,,故四边形ACDP为平行四边形,故AC=PD,由轴对称的性质可知: D=PD,所以此时AC＋BD= PD＋BD=D＋BD=B,根据两点之间线段最短即可得出此时AC＋BD的值最小.
【点睛】
此题考查的是轴对称:最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.
38．如图，在直角三角形中，，，现将沿方向平移到的位置，平移的距离为4.
（1）求与的重叠部分的面积；
（2）若平移距离，与的重叠部分的面积为，则与有怎样的关系式？
【答案】（1） ；（ 2）
【分析】
根据已知条件可证△ABC是等腰直角三角形，由平移知重叠部分是等腰直角三角形，根据题意求出BC’=3，利用面积公式即可求出重叠部分的面积；（2）平移距离为7,时，BC’=7-x，根据（1）代入面积公式即可.
【详解】
（1）如图，设AB交A’C’于点O,
∵∠C=90，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45，
∵是由平移得到的，
∴≌，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵BC=7， ，
∴，
∴S=.
（2）根据（1）可知重叠部分是等腰直角三角形，
∵，BC=7，
∴,
∴.
【点睛】
此题考查平移的性质，图形平移后角的度数不变，得到等腰直角三角形，求出边长BC’的长度即可求出面积.
39．如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）
【分析】
(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【详解】
(1)∵和都是等边三角形，
∴和是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【点睛】
此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
40．利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）
画图：
（1）把向右平移4单位，再向下平移3个单位；
（2）绕点顺时针旋转；
（3）作出平移后的三角形绕点顺时针旋转的图形.
【答案】图见解析
【分析】
(1)根据平移找到点A、B、C的对应点后，顺次连线即可；（2）根据对应点与旋转中心的夹角等于即可确定；（3）依据旋转后的点与对应点在一条直线上，到对应点的距离相等来确定即可.
【详解】
（1）
（2）
(3)
【点睛】
此题考查平移、旋转图形的画法，分别依据平移、旋转的性质找到三个特殊的点即三角形的三个顶点，即可画出图形
41．如图、是正方形内一点，将绕点顺时针旋转能与重合.
（1）若，那么等于______.
（2）与相等的角是______.
（3）是______三角形.
【答案】（1）12；（2） ；（ 3）等腰直角
【分析】
(1) 根据旋转可以证得≌,得到CE=AP，即可得出，
（2）根据（1）的全等即可得到=；
（3）根据（1）的全等得BP=BE，∠ABP=∠CBE，继而证得∠PBE=90，确定是等腰直角三角形.
【详解】
（1）由旋转得≌，
∴CE=AP=12cm，
故填12；
（2）∵≌，
∴=，
故填；
（3）∵≌，
∴BP=BE，∠ABP=∠CBE，
∵∠ABP+∠PBC=90,
∴∠CBE+∠PBC=90,
即∠PBE=90,
∴是等腰直角三角形.
故填等腰直角.
【点睛】
此题考查旋转的应用，由旋转证得三角形全等，从而得到边及角的等量关系，从而证得结论.
42．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题.
（1）先画出三角形关于直线对称的三角形，再画出三角形关于点对称的三角形；
（2）请描述1中所画的三角形与三角形的位置关系；
（3） 面积是多少平方单位.
【答案】（1）图见解析；（2）关于成轴对称 ；（3）3.5
【分析】
（1）根据对称点到对称轴的距离相等找到对应点，在顺次连线得到三角形，关于原点对称的图形对应点连线经过点O，且到点O的距离相等，依此找到对应点后连线得到三角形；
（2）根据图形观察可知，线段AA2、BB2、CC2都被直线b垂直平分，所以得出两个三角形关于b成轴对称；
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积求得即可.
【详解】
(1)如图
(2)根据图形观察可知，线段AA2、BB2、CC2都被直线b垂直平分，
∴两个三角形关于b成轴对称；
(3)面积=.
【点睛】
此题考查轴对称、中心对称图形的画法，熟记性质特点才能正确画图，（2）中根据图形的位置确定对称点是关键，确定对称点的连线被直线b平分，由此得到两个三角形是成轴对称.
43．
在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.
【答案】图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由见解析；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’，理由见解析.
【详解】
试题分析：图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．
试题解析：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中，
，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=OA，OD=OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′=AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质．
44．如图所示，在平面内有四个点，它们的坐标分别是A(－1，0)，B(2＋，0)，C(2，1)，D(0，1)．
(1)依次连接A，B，C，D围成的四边形是一个_____________形；
(2)求这个四边形的面积；
(3)将这个四边形向左平移个单位长度，四个顶点的坐标分别为多少？
【答案】（1）梯（2）（3）平移后四个顶点A，B，C，D对应点的坐标为(－1－，0)，(2，0)，(2－，1)，(－，1)
【详解】
试题分析：（1）根据连接作图的结果得出是梯形；
（2）利用梯形的面积公式计算即可；
（3）根据平移的规律：左减右加，上加下减，直接求出新坐标的横纵坐标即可.
试题解析：（1）梯
（2）∵A(－1，0)，
B(2＋，0)，C(2，1)，D(0，1)，
∴AB＝3＋，CD＝2.
∴四边形ABCD的面积＝(AB＋CD)·OD＝(3＋＋2)×1＝.
（3）平移后四个顶点A，B，C，D对应点的坐标为(－1－，0)，(2，0)，(2－，1)，(－，1)．
45．已知：在直角坐标系中，有点 A (3，0)，B(0，4)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标．(不要求 写计算过程)
【答案】见解析
【详解】
试题分析：
与直角边OA公共，且与Rt△ABO全等的三角形有3个，与直角边OB公共，且与Rt△ABO全等的三角形有3个，根据轴对称的性质求出这些直角三角形的顶点坐标.
试题解析：
根据两个三角形全等及有一条公共边，可利用轴对称得到满足这些条件的直角三角形共有6个．如图所示：
①Rt△OO1A，②Rt△OBO1，③Rt△A2BO，④Rt△A1BO，⑤Rt△OB1A，⑥Rt△OAB2，这些三角形各个顶点坐标分别为①(0，0)，(3，4)，(3，0)；②(0，0)，(0，4)，(3，4)；③(－3，4)，(0，4)，(0，0)；④(－3，0)，(0，4)，(0，0)；⑤(0，0)，(0，－4)，(3，0)；⑥(0，0)，(3，0)，(3，－4)
46．如图①，已知△ABC与△ADE关于点A成中心对称，∠B=50°，△ABC的面积为24，BC边上的高为5，若将△ADE向下折叠，如图②点D落在BC的G点处，点E落在CB的延长线的H点处，且BH=4，则∠BAG是多少度，△ABG的面积是多少．
【答案】∠BAG=80°，面积是14
【详解】
试题分析：根据中心对称的性质和折叠的性质计算即可，同时运用了三角形的面积公式．
试题解析：依题意有AD=AB=AG，AE=AH=AC．
又∠B=50°，则∠BAG=180°-50°×2=80°；
作AD⊥BC于D，根据三角形的面积公式得到BC=9.6．
根据等腰三角形的三线合一，
可以证明CG=BH=4，则BG=5.6．
根据三角形的面积公式得△ABG的面积是14．
47．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
求证：BE=DG
【答案】见解答过程．
【解析】
试题分析：根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG.
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质与平移的基本性质（①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）．
48．如图，三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，已知三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0－6，y0－2)．
(1)已知A(2，6)，B(1，3)，C(5，3)，Q(3，5)，请写出A1，B1，C1，Q1的坐标；
(2)试说明三角形A1B1C1是如何由三角形ABC得到的？
【答案】(1)A1(－4，4)，B1(－5，1)，C1(－1，1)，Q1(－3，3) (2)△A1B1C1是由△ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 .
【解析】
试题分析：（1）根据题意中的平移，由平移的规律：上加下减，左减右加，可知直接求解；
（2）根据图形中三角形的位置，由其中一个点确定其平移的规律即可.
试题解析：（1）由题意知，三角形向左平移了6个单位，向下平移了2个单位，
因此A1(－4，4)，B1(－5，1)，C1(－1，1)，Q1(－3，3)
（2）△A1B1C1是由△ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 .
点睛：本题主要考查了平移的基本概念及平移规律. 根据平移的图形中，一个点的变化规律，确定整个图形的变化．
49．如图，一圆的直径为等腰直角三角形的一直角边的长，若将圆平移到直角三角形中使成为圆的直径，已知，求圆与三角形重叠部分的面积.
【答案】
【分析】
先根据题意画出图形，再将重合部分图形进行分割，将几部分面积相加即可求得重叠部分的面积.
【详解】
根据题意作出示意图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45，
∵OB=OD,
∴∠BDO=45,
∴∠BOD=90，
∵BC=2，
∴BO=OC=1，
∴， ，
∴圆与三角形重叠部分的面积=.
【点睛】
此题考查平移知识的理解，利用平移求不规则图形的面积，通常有补形法、分割法和求差法，根据具体的图形选择适合的方法求解是关键的一步.
50．如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且、、与点的距离相等.
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）这两个等边三角形组成的整体图形是不是旋转对称图形，如是，求出它的最小旋转角；
（3）这两个等边三角形组成的整体图形是不是轴对称图形，如是，画出所有的对称轴.
【答案】（1）图见解析；（2）是， ；（3 ）是，图见解析.
【分析】
（1）成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，且被对称中心所平分，依此延长AO、BO、CO，并分别延长等长的线段，得到对应点，依次连线即可；（2）观察图形的顶点到中心点O的距离相等，由此得到是旋转对称图形，最小旋转角是；（3）图形是轴对称图形，对称轴是每个角的角平分线所在的直线.
【详解】
（1）
（2）观察图形得，这两个等边三角形组成的整体图形是旋转对称图形，最小旋转角是；
（3）是，
【点睛】
此题考查旋转的知识，注意中心对称是将图形旋转180，图形的对称轴是直线.
一、单选题
1．下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．
共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么点D的对应点D′的坐标是( )
A．(0，1)B．(6，1)C．(6，－1)D．(0，－1)
【答案】D
【详解】
解：∵D（3，2），
∴先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，那么点D的对应点D′的坐标（3﹣3，2﹣3），即（0，﹣1）．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△AB′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】
分析：根据轴对称图形的性质来进行解答即可得出答案．
详解：根据轴对称性可得：△ABC≌△AB′C′；∠BAC′＝∠B′AC；直线l垂直平分CC′；直线BC和B′C′的交点一定在l上，故正确的有①、②、③，故选B．
点睛：本题主要考查的是轴对称图形的性质，属于基础题型．轴对称图形的对应边和对应角都相等，对应点的连线被对称轴垂直平分．
4．小明从镜子中看到对面电子钟示数如图所示，这时的时刻应是（ ）
A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01
【答案】C
【分析】
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：51成轴对称，
所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点睛】
本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
【答案】B
【分析】
根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK的最小值，然后求解即可．
【详解】
作点P关于BD的对称点P′,作P′Q⊥CD交BD于K,交CD于Q,
∵AB=4,∠A=120°，
∴点P′到CD的距离为4× =2，
∴PK+QK的最小值为2，
故选B.
【点睛】
此题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
6．在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB 得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠DCB的度数．
【详解】
延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，
∵∠CAD=60°，∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∵∠CDB=2∠CDE，
∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，
∴∠CDB=2∠CDE=80°，
∵BF=AD，
∴BF=DE，
∵DE+BD=CE，
∴BF+BD=CE，即DF=CE，
∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，
∴AF=AC，
而∠BAC=60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF=AC，∠F=60°，
在△ACD和△FCB 中
，
∴△ACD≌△FCB （SAS），
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=80°，
∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．
故选B．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于延长AB到F使BF=AD，构建△FCB与△ACD全等．
7．将正三角形每条边四等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）.
A．15B．18C．21D．24
【答案】C
【分析】
根据图形可知：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，通过观察原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线：共有18条，故对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形.
【详解】
图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线：这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；
原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；
共得18＋3=21个菱形.
故选C.
【点睛】
此题考查的是菱形的判定，找出图形的规律是解决此题的关键.
8．下列说法不正确的是（ ）.
A．中心对称图形一定是旋转对称图形；
B．轴对称图形一定是中心对称图形
C．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上
【答案】B
【分析】
如果一个图形绕某一点旋转180后能与自身完全重合，那么这图形就叫做中心对称图形；如果一个图形绕某一点旋转180后能与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.题中依据定义判断即可.
【详解】
中心对称图形是图形旋转180后得到的，因此中心对称图形一定是旋转对称图形，故A正确；
等腰梯形是轴对称图形，但是它不是中心对称图形，故B错误；
成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，故C正确；
平移图形可以沿着某条边所在的直线平移，此时，对应点所连的线段在一条直线上，故D正确.
故此题选择B.
【点睛】
此题主要考查成轴对称的图形的性质和轴对称图形的性质，注意两者的区别，掌握图形的性质特点是解决此题的关键.
9．下列说法中，正确的是（ ）.
A．能够旋转重合的两个图形是中心对称图形
B．具有对称关系的两个图形沿着某一直线翻折后一定重合
C．一个角沿着它的角平分线翻折后，两部分完全重合，因此角平分线是它的对称轴
D．能够完全重合的两个图形一定构成对称关系或中心对称关系
【答案】D
【分析】
根据成轴对称的图形、中心对称图形的定义进行判断即可得到答案.
【详解】
中心对称图形是指一个图形，且必须旋转180后能与自身重合，因此A错误；
两个图形的对称关系可以是轴对称，也可以是中心对称，因此B错误；
图形的对称轴应是一条直线，而角平分线是射线，因此C错误；
能够完全重合的两个图形一定构成对称关系或中心对称关系,因此D正确.
故此题选D.
【点睛】
此题考查轴对称的对称关系，掌握：成轴对称关系的是两个图形，而中心对称图形是形状特殊的一个图形，对称轴应是一条直线，这些是判断此题的依据.
10．如图，一块等边三角形木板的边长为1，现将木板沿水平线翻转（绕一个点旋转），那么点从开始到结束所走的路径长度为（ ）.
A．4B．2π
C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意点A每次旋转的角度是120，运动的路线是半径为1的圆弧形的弧线，即圆周长的三分之一，共旋转了两次，再依据圆的周长公式计算即可.
【详解】
，故此题选D.
【点睛】
此题考查旋转的实际应用，根据图形旋转得到旋转的角度，所走的路线特点是圆弧形的弧线，再利用圆周长公式求值计算.
11．如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（ ）
A．2RB．RC．RD．R
【答案】B
【详解】
试题分析：连接DC′，
根据题意以及垂径定理，
得弧C′D的度数是120°，
则∠C′OD=120度．
作OE⊥C′D于E，
则∠DOE=60°，则
DE=R，
C′D=R．
故选B．
考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．轴对称-最短路线问题．
12．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤
【答案】A
【解析】
试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选A．
13．如图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内不同于O的另一点，△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有( )．(提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
①△O′BO为等边三角形，且A′、O′、O、C在一条直线上．
②A′O′＋O′O＝AO＋BO． ③A′P′＋P′P＝PA＋PB．
④PA＋PB＋PC>AO＋BO＋CO．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
解：连PP′，如图，∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故选D．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．
二、填空题
14．如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，是直线上的一点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，然后根据题意可知，梯形为等腰梯形，从而判断出直线MN即为梯形的对称轴，由此可知此时，即的最小值为AC的长，根据已知条件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC.
【详解】
解：连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，理由如下
∵梯形中，，
∴梯形为等腰梯形，
∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD
∵、分别是、的中点，
∴直线MN即为梯形的对称轴
由对称可知：DP=AP
∴此时，根据两点之间，线段最短，即可得：此时的最小且最小值为AC的长，
∵，∠B＋∠BAD=180°
∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°
∵
∴∠DAC=∠DCA=
∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°
在Rt△CAB中，
BC=2AB=2，根据勾股定理可得：AC=
故答案为：
【点睛】
此题考查的是等腰梯形的性质、轴对称的性质和最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.
15．如图，一块含有角（）的直角三角板，在水平的桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，点、、在一直线上，那么旋转角是______.
【答案】
【分析】
由点、、在一直线上得，将代入即可求得旋转角的度数.
【详解】
由题意得，
∵，
∴
【点睛】
此题考查旋转角度的确定，图形旋转前后对应点与旋转中心的连线构成的夹角即是旋转角，即图中的(或)，根据题意找到关系式求值即可.
16．如图所示，在正方形网格中，图①经过______变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______.（填“”或“”或“”）
【答案】平移
【分析】
图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】
根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
【点睛】
此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
17．如图，是直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，那么是______三角形.
【答案】等腰直角
【分析】
旋转前后的两个图形是全等的，由全等得到对应的等量关系式， ，再依据∠BAC是直角求得即可判断的形状.
【详解】
由旋转得△ABP≌△,
∴,.
∵是直角三角形，
∴∠BAC=90，
∴∠PAC+=∠PAC+∠BAP=90，
∴是等腰直角三角形.
故填等腰直角.
【点睛】
此题考查旋转的应用，由旋转可得到全等的三角形，由此可证得对应相等的线段及角，这是解此题的关键.
18．如图，把大小相等的两个长方形拼成形图案，则______.
【答案】
【分析】
根据题意得△AFG≌△ACD，得到AF=AC，∠GAF=∠DAC，再证得△FAC是等腰直角三角形，由此求得∠FCA的度数.
【详解】
由题意得△AFG≌△ACD，
∴AF=AC，∠GAF=∠DAC，
∵∠GAE=90，
∴∠GAF+∠FAE=90,
∴∠DAC+∠FAE=90,
∴△FAC是等腰直角三角形，
∴∠FCA=45.
故此题填
【点睛】
此题中大小相等的两个长方形拼成形图案可以理解为长方形ABCD绕点A逆时针旋转90得到长方形AEFG，所以△AFG≌△ACD，得到AF=AC，∠GAF=∠DAC，这是解此题的关键，再证得△FAC是等腰直角三角形，由此求得∠FCA的度数.
19．如图，为等边三角形内的一点，将绕点逆时针旋转后能与重合，如果，那么______.
【答案】3
【分析】
根据题意可得到△ABP≌,继而得出， ，再根据∠BAC=60证出，由此证出是等边三角形，求出
【详解】
由题意得△ABP≌,则， ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60,
∴,
∴是等边三角形，
∴.
故填3.
【点睛】
此题考查旋转的性质，旋转重合的两个三角形全等，根据全等得到， ，再证由此得出是等边三角形，再求得.
20．已知：如图，在正方形中，点在边上，将绕点按顺时针方向旋转，与重合，那么旋转角等于______.
【答案】
【分析】
由题意可得∠ADC=90, 将绕点按顺时针方向旋转，与重合,可得∠ADC是旋转角，继而求得答案.
【详解】
∵四边形ABCD在正方形，
∴∠ADC=90,
将绕点按顺时针方向旋转，与重合,可得∠ADC是旋转角，
∴旋转角等于.
故答案为.
【点睛】
此题考查旋转角的确定，确定旋转前后的对应点，它们与旋转中心连线的夹角即为旋转角，再根据题意求出度数，即可正确解答.
21．将一矩形纸片按如图方式折叠，、为折痕，折叠后与在同一条直线上，则的度数______.
【答案】等于
【分析】
由题意知，根据翻折得， ，继而求出，由此得到的度数.
【详解】
由题意得： ，
∵，
∴，
即的度数等于.
故答案是等于.
【点睛】
此题考查的是翻折的性质，掌握翻折前后的对应角相等是解此题的关键.
22．对于下列图形：①等边三角形； ②矩形； ③平行四边形； ④菱形； ⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____．（填写图形的相应编号）
【答案】②④⑤⑥．
【解析】
解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为②④⑤⑥．
23．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
【答案】2．
【分析】
根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】
解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
24．如图，长方形ABCD中，AB＝6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2，…，第n次平移长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为2 016，则n的值为__________．
【答案】402．
【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1−A1A2=6−5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴ABn=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
25．已知点P(2a-4，6-3b)，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，恰好落在x轴的负半轴上，则a、b应为_____．
【答案】a＜3；b=1
【解析】根据平移的规律：上加下减，左减右加，可知平移后点的横坐标为：2a-4-2=2a-6；纵坐标为：6-3b-3=3-3b；再由落在x轴的负半轴上，得到2a-6＜0，3-3b=0，解得a＜3，b=1．
故答案为：a＜3，b=1.
点睛：此题主要考查了坐标的平移，关键是利用平移的规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．在x轴的负半轴上的点的横坐标＜0，纵坐标为0．
26．关于点O成中心对称的两个四边形ABCD和DEFG，AD、BE、CF、DG都过______
【答案】点O
【解析】对应点的连线经过对称中心.
故答案：点O.
【方法点睛】本题目是一道考查成中心对称图形的性质，每对对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分.
27．如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为_____度．
【答案】30°
【解析】
分析：设A′D′与CD的交点为E，连接BE；由于A′B=BC，易证得△A′BE≌△CBE，因此两者的面积相等，即可根据△CBE的面积求得CE的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．
详解：设A′D′与CD的交点为E，连接BE．
∵A′B=BC，BE=BE，
∴Rt△A′BE≌Rt△CBE．（HL）
∴∠A′BE=∠EBC，且S△BA′E=S△BCE=．
在Rt△BCE中，BC=2，则：
S△BCE=×2×CE=，
∴CE=．
∴tan∠EBC=，即∠EBC=30°．
∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°-∠A′BC=30°．
故旋转的角度为30°．
点睛：此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．
28．如图，在直角梯形中，，，，将直角梯形沿方向平移2个单位得到直角梯形，与交于点，且，则图中阴影部分面积为______.
【答案】9
【分析】
由平移得到直角梯形与直角梯形全等，所以它们的面积相等，都减去直角梯形BMHE的面积，得到阴影部分的面积等于直角梯形FGMB的面积，再根据已知条件求得BM、BF、GF的长度，代入梯形面积的公式即可求得结果.
【详解】
由平移得直角梯形与直角梯形全等，
∴S梯形ABCD=S梯形EFGH，
∴S阴影=S梯形FGMB，
∵GF=BC=5，CM=1，
∴BM=4，
∵BF=2，
∴S阴影= .
故此题填9.
【点睛】
此题考查平移的性质，图形平移前后的面积不变，因此将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积，降到了难度，这是解此题的关键.
29．如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______.
【答案】1
【分析】
作如图的辅助线，根据旋转和三角形全等，证得EG=CF=1，然后得出三角形ADE的面积.
【详解】
过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，过点D作DF⊥BC于点F，
则∠G=∠DFC=∠DFB=90，
∵,
∴∠GDF=∠DFB=90,
由旋转得∠EDC=90，DE=DC,
∴∠EDC-∠GDC=∠GDF-∠GDC,
即∠EDG=∠CDF，
∴△CDF≌△EDG，
∴EG=CF
∵，,
∴EG=CF=3-2=1，
∴的面积=.
【点睛】
此题考查旋转的性质，利用全等三角形、直角梯形的性质求出的高EG=CF是解题的关键.
三、解答题
30．如图所示，张三打算在院落种上蔬菜．已知院落为东西长为32米，南北宽为20米的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽度的三条小路，东西两条，南北一条，余下的部分种上各类蔬菜．若每条小路的宽均为1米．
（1）求蔬菜的种植面积；
（2）若每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元，这个院落每季的产值是多少？
【答案】（1）558平方米（2）1116元．
【分析】
（1）利用平移得出蔬菜的种植面积即可；
（2）利用（1）所求，进而结合每平方米的每季蔬菜的值为3元，成本为1元得出即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
蔬菜的种植面积为：（32-1）×（20-2）=558（平方米）；
（2）根据题意可得：
这个院落每季的产值是：558×（3-1）=1116（元），
答：这个院落每季的产值是1116元．
【点睛】
此题主要考查了生活中平移现象，正确平移道路是解题关键．
31．请你把下面这个图形补画成中心对称图形，并且用点O表示对称中心（最少画三个） ．
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的性质，绕某一个点旋转180°能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，即可画出．
【详解】
如图所示，
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的画法，正确根据中心对称图形的性质画出图象是解决问题的关键．
32．请你用两条线段、两个圆、两个三角形拼成一个有意义的图案，画出你的图案，并给你的图案起个名字．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
解答本题需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．
【详解】
如图所示：
【点睛】
本题考查了轴对称设计图案的知识，属于开放型，同学们要充分发挥想象力及语言表达能力．
33．指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
【答案】详见解析
【分析】
根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．
【详解】
如图：
【点睛】
此题考查生活中的轴对称现象，解题关键在于掌握其定义.
34．已知：ABC平移后得出△A1B1C1，点A（﹣1，3）平移后得A1（﹣4，2），又已知B1（﹣2，3），C1（1，﹣1），求B、C坐标，画图并说明经过了怎样的平移．
【答案】点B坐标为：（1，4），点C坐标为（4，0），由点A平移前的坐标为（﹣1，3），平移后的坐标为（﹣4，2），可得平移的规律是：向左平移3个单位，向下平移1个单位
【分析】
根据平移前后对应点连线互相平行（或在同一条直线上）且相等，可找到B、C的位置，继而得出B、C的坐标，根据点A平移前后的坐标，可得出平移的规律．
【详解】
解：所作图形如下所示：
．
点B坐标为：（1，4），点C坐标为（4，0），
由点A平移前的坐标为（﹣1，3），平移后的坐标为（﹣4，2），
可得平移的规律是：向左平移3个单位，向下平移1个单位
【点睛】
此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则.
35．如图，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，E、F、P、H分别为四边的中点，请分别在图1、2、3中画一个以A、B、C、D、E、F、P、H中的三点为顶点的三角形，所画三角形要求与△APH成轴对称（三个三角形的位置要有区别）.
【答案】详见解析
【分析】
利用轴对称图形的性质结合正方形的性质得出符合题意的图形即可．
【详解】
解：如图所示：
【点睛】
此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则.
36．如图所示：
（1）直接写出点A的坐标，点A关于x轴的对称点B的坐标，点B关于y轴的对称点C的坐标.
（2）画出将线段BC向右平移2个单位，再向上平移4个单位后的线段B′C′，并直接写出B′的坐标．
【答案】(1) （-1，2），（-1，-2），（1，-2）；（2）B'（1，2）.
【分析】
（1）根据A点坐标结合关于x轴以及y轴对称点的性质得出各点坐标；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：点A的坐标为（-1，2）；
点A关于x轴的对称点B的坐标为（-1，-2）；
点B关于y轴的对称点C的坐标为：（1，-2）；
故答案为（-1，2），（-1，-2），（1，-2）；
（2）如图所示：B′C′即为所求，B'（1，2）.
【点睛】
此题主要考查了关于x，y轴对称点的性质以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
37．河岸同侧的两个居民小区、到河岸的距离分别为，（如图（1）），即，.现欲在河岸边建一个长度为的绿化带（宽度不计），使到小区的距离与到小区的距离之和最小.在图（2）中画出绿化带的位置，并写出画图过程.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
由CD的长为固定值sm,若使AC＋BD最短, 作线段，使，且点在点的右侧,此时可转化为轴对称:最短路径问题画图即可.
【详解】
画法：
①作线段，使，且点在点的右侧；
②作点关于直线的对称点，连结交于点；
③在上点左侧截取，则就是所要求的绿化带位置.
简要说明:由于,,故四边形ACDP为平行四边形,故AC=PD,由轴对称的性质可知: D=PD,所以此时AC＋BD= PD＋BD=D＋BD=B,根据两点之间线段最短即可得出此时AC＋BD的值最小.
【点睛】
此题考查的是轴对称:最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.
38．如图，在直角三角形中，，，现将沿方向平移到的位置，平移的距离为4.
（1）求与的重叠部分的面积；
（2）若平移距离，与的重叠部分的面积为，则与有怎样的关系式？
【答案】（1） ；（ 2）
【分析】
根据已知条件可证△ABC是等腰直角三角形，由平移知重叠部分是等腰直角三角形，根据题意求出BC’=3，利用面积公式即可求出重叠部分的面积；（2）平移距离为7,时，BC’=7-x，根据（1）代入面积公式即可.
【详解】
（1）如图，设AB交A’C’于点O,
∵∠C=90，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45，
∵是由平移得到的，
∴≌，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵BC=7， ，
∴，
∴S=.
（2）根据（1）可知重叠部分是等腰直角三角形，
∵，BC=7，
∴,
∴.
【点睛】
此题考查平移的性质，图形平移后角的度数不变，得到等腰直角三角形，求出边长BC’的长度即可求出面积.
39．如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）
【分析】
(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【详解】
(1)∵和都是等边三角形，
∴和是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【点睛】
此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
40．利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）
画图：
（1）把向右平移4单位，再向下平移3个单位；
（2）绕点顺时针旋转；
（3）作出平移后的三角形绕点顺时针旋转的图形.
【答案】图见解析
【分析】
(1)根据平移找到点A、B、C的对应点后，顺次连线即可；（2）根据对应点与旋转中心的夹角等于即可确定；（3）依据旋转后的点与对应点在一条直线上，到对应点的距离相等来确定即可.
【详解】
（1）
（2）
(3)
【点睛】
此题考查平移、旋转图形的画法，分别依据平移、旋转的性质找到三个特殊的点即三角形的三个顶点，即可画出图形
41．如图、是正方形内一点，将绕点顺时针旋转能与重合.
（1）若，那么等于______.
（2）与相等的角是______.
（3）是______三角形.
【答案】（1）12；（2） ；（ 3）等腰直角
【分析】
(1) 根据旋转可以证得≌,得到CE=AP，即可得出，
（2）根据（1）的全等即可得到=；
（3）根据（1）的全等得BP=BE，∠ABP=∠CBE，继而证得∠PBE=90，确定是等腰直角三角形.
【详解】
（1）由旋转得≌，
∴CE=AP=12cm，
故填12；
（2）∵≌，
∴=，
故填；
（3）∵≌，
∴BP=BE，∠ABP=∠CBE，
∵∠ABP+∠PBC=90,
∴∠CBE+∠PBC=90,
即∠PBE=90,
∴是等腰直角三角形.
故填等腰直角.
【点睛】
此题考查旋转的应用，由旋转证得三角形全等，从而得到边及角的等量关系，从而证得结论.
42．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题.
（1）先画出三角形关于直线对称的三角形，再画出三角形关于点对称的三角形；
（2）请描述1中所画的三角形与三角形的位置关系；
（3） 面积是多少平方单位.
【答案】（1）图见解析；（2）关于成轴对称 ；（3）3.5
【分析】
（1）根据对称点到对称轴的距离相等找到对应点，在顺次连线得到三角形，关于原点对称的图形对应点连线经过点O，且到点O的距离相等，依此找到对应点后连线得到三角形；
（2）根据图形观察可知，线段AA2、BB2、CC2都被直线b垂直平分，所以得出两个三角形关于b成轴对称；
（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积求得即可.
【详解】
(1)如图
(2)根据图形观察可知，线段AA2、BB2、CC2都被直线b垂直平分，
∴两个三角形关于b成轴对称；
(3)面积=.
【点睛】
此题考查轴对称、中心对称图形的画法，熟记性质特点才能正确画图，（2）中根据图形的位置确定对称点是关键，确定对称点的连线被直线b平分，由此得到两个三角形是成轴对称.
43．
在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC’与BD’有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC’与BD’又有什么关系？写出结论并证明.
【答案】图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由见解析；图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’，理由见解析.
【详解】
试题分析：图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=AC′，于是得到结论．
试题解析：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中，
，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′=AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=OA，OD=OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′=AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质．
44．如图所示，在平面内有四个点，它们的坐标分别是A(－1，0)，B(2＋，0)，C(2，1)，D(0，1)．
(1)依次连接A，B，C，D围成的四边形是一个_____________形；
(2)求这个四边形的面积；
(3)将这个四边形向左平移个单位长度，四个顶点的坐标分别为多少？
【答案】（1）梯（2）（3）平移后四个顶点A，B，C，D对应点的坐标为(－1－，0)，(2，0)，(2－，1)，(－，1)
【详解】
试题分析：（1）根据连接作图的结果得出是梯形；
（2）利用梯形的面积公式计算即可；
（3）根据平移的规律：左减右加，上加下减，直接求出新坐标的横纵坐标即可.
试题解析：（1）梯
（2）∵A(－1，0)，
B(2＋，0)，C(2，1)，D(0，1)，
∴AB＝3＋，CD＝2.
∴四边形ABCD的面积＝(AB＋CD)·OD＝(3＋＋2)×1＝.
（3）平移后四个顶点A，B，C，D对应点的坐标为(－1－，0)，(2，0)，(2－，1)，(－，1)．
45．已知：在直角坐标系中，有点 A (3，0)，B(0，4)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标．(不要求 写计算过程)
【答案】见解析
【详解】
试题分析：
与直角边OA公共，且与Rt△ABO全等的三角形有3个，与直角边OB公共，且与Rt△ABO全等的三角形有3个，根据轴对称的性质求出这些直角三角形的顶点坐标.
试题解析：
根据两个三角形全等及有一条公共边，可利用轴对称得到满足这些条件的直角三角形共有6个．如图所示：
①Rt△OO1A，②Rt△OBO1，③Rt△A2BO，④Rt△A1BO，⑤Rt△OB1A，⑥Rt△OAB2，这些三角形各个顶点坐标分别为①(0，0)，(3，4)，(3，0)；②(0，0)，(0，4)，(3，4)；③(－3，4)，(0，4)，(0，0)；④(－3，0)，(0，4)，(0，0)；⑤(0，0)，(0，－4)，(3，0)；⑥(0，0)，(3，0)，(3，－4)
46．如图①，已知△ABC与△ADE关于点A成中心对称，∠B=50°，△ABC的面积为24，BC边上的高为5，若将△ADE向下折叠，如图②点D落在BC的G点处，点E落在CB的延长线的H点处，且BH=4，则∠BAG是多少度，△ABG的面积是多少．
【答案】∠BAG=80°，面积是14
【详解】
试题分析：根据中心对称的性质和折叠的性质计算即可，同时运用了三角形的面积公式．
试题解析：依题意有AD=AB=AG，AE=AH=AC．
又∠B=50°，则∠BAG=180°-50°×2=80°；
作AD⊥BC于D，根据三角形的面积公式得到BC=9.6．
根据等腰三角形的三线合一，
可以证明CG=BH=4，则BG=5.6．
根据三角形的面积公式得△ABG的面积是14．
47．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
求证：BE=DG
【答案】见解答过程．
【解析】
试题分析：根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG.
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质与平移的基本性质（①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）．
48．如图，三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，已知三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0－6，y0－2)．
(1)已知A(2，6)，B(1，3)，C(5，3)，Q(3，5)，请写出A1，B1，C1，Q1的坐标；
(2)试说明三角形A1B1C1是如何由三角形ABC得到的？
【答案】(1)A1(－4，4)，B1(－5，1)，C1(－1，1)，Q1(－3，3) (2)△A1B1C1是由△ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 .
【解析】
试题分析：（1）根据题意中的平移，由平移的规律：上加下减，左减右加，可知直接求解；
（2）根据图形中三角形的位置，由其中一个点确定其平移的规律即可.
试题解析：（1）由题意知，三角形向左平移了6个单位，向下平移了2个单位，
因此A1(－4，4)，B1(－5，1)，C1(－1，1)，Q1(－3，3)
（2）△A1B1C1是由△ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 .
点睛：本题主要考查了平移的基本概念及平移规律. 根据平移的图形中，一个点的变化规律，确定整个图形的变化．
49．如图，一圆的直径为等腰直角三角形的一直角边的长，若将圆平移到直角三角形中使成为圆的直径，已知，求圆与三角形重叠部分的面积.
【答案】
【分析】
先根据题意画出图形，再将重合部分图形进行分割，将几部分面积相加即可求得重叠部分的面积.
【详解】
根据题意作出示意图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45，
∵OB=OD,
∴∠BDO=45,
∴∠BOD=90，
∵BC=2，
∴BO=OC=1，
∴， ，
∴圆与三角形重叠部分的面积=.
【点睛】
此题考查平移知识的理解，利用平移求不规则图形的面积，通常有补形法、分割法和求差法，根据具体的图形选择适合的方法求解是关键的一步.
50．如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且、、与点的距离相等.
（1）画出关于点的中心对称图形；
（2）这两个等边三角形组成的整体图形是不是旋转对称图形，如是，求出它的最小旋转角；
（3）这两个等边三角形组成的整体图形是不是轴对称图形，如是，画出所有的对称轴.
【答案】（1）图见解析；（2）是， ；（3 ）是，图见解析.
【分析】
（1）成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，且被对称中心所平分，依此延长AO、BO、CO，并分别延长等长的线段，得到对应点，依次连线即可；（2）观察图形的顶点到中心点O的距离相等，由此得到是旋转对称图形，最小旋转角是；（3）图形是轴对称图形，对称轴是每个角的角平分线所在的直线.
【详解】
（1）
（2）观察图形得，这两个等边三角形组成的整体图形是旋转对称图形，最小旋转角是；
（3）是，
【点睛】
此题考查旋转的知识，注意中心对称是将图形旋转180，图形的对称轴是直线.
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