河南省漯河市郾城区2023-2024学年八年级上册期中数学试题(含解析)
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这是一份河南省漯河市郾城区2023-2024学年八年级上册期中数学试题(含解析),共19页。试卷主要包含了填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分,共30分)下列各题有四个选项,其中只有一个选项是正确的。
1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是()
A.3,5,7B.4,4,7C.7,4,1D.5,5,5
3.已知ABC中,若∠A=∠B+∠C,则此三角形是( )
A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形
4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为( )
A.50°B.80°C.65°或80°D.50°或80°
5.如图,在中,,平分,若,,则的度数为( )
A.B.C.D.
6.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )
A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED
7.如图,在中,,AD平分,,,,则AC的长为( )
A.9B.8C.6D.7
8.如图三角形纸片中,,,,沿过点B的直线折叠这个三角形,使点落在边上的点处,折痕为,则的周长为( )
A.B.C.D.
9.如图,在中,,,于E,于D,若,,则的长为( )
A.B.C.D.
10.如图,在平面直角坐标中,的顶点均在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上,已知点,如果在x轴的下方存在一点D,使得与全等,那么点D的坐标为( )
A.B.C.或D.或
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.已知的周长为15,的三边长分别为3,,,若这两个三角形全等,则x为 .
12.若一个多边形外角和与内角和相等,则这个多边形是 .
13.如图,是的外角,平分平分,且交于点D.若,则的度数为 .
14.如图,在中,,和的平分线分别交于点、,若,,求 .
15.已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止当t= 时,△PBQ是直角三角形.
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.根据图形计算x的值.
(1)
(2)
17.如图,在平面直角坐标系中,有四个格点三角形,分别记作A、B、C、D,请根据你的观察情况,解决下列问题:
(1)这四个三角形是否全等,请把全等三角形所代表的字母写出来______________;
(2)关于y轴对称的三角形是_________(用字母写出来);
(3)三角形B能否通过平移或轴对称变换成三角形D?请你把它们的变换过程叙述出来.
18.如图,已知,请根据下列要求进行尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
(1)求作,使,你的依据是________;(填“SSS、SAS、ASA或AAS”)
(2)分别求作和的平分线,两平分线交于点O;
(3)在(2)的条件下,若,则的度数为________.(直接写出结果)
19.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,且AD=CD,
(1)求证:△ABD≌△CFD;
(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长.
20.如图,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.
(1)求证:BF=CE;
(2)若△ACE的面积为4,△CED的面积为3,求△ABF的面积.
21.如图,的外角的平分线交边的垂直平分线于P点,于点D,于点E,连接.
(1)试探究线段与线段的数量关系,并给出理由;
(2)若,,求的度数.
22.如图,为等边三角形,,,相交于点E.
(1)求证:垂直平分;
(2)求的长;
(3)若点F为的中点,点P在上,则的最小值为______.(直接写出结果).
23.在等边三角形中,点E在直线上,点D在直线上,且,请根据下列题组情境进行解答:
(1)如下图,当点E为的中点时,下列结论中正确的是______;(填序号)
① ② ③ ④
(2)当点E不为的中点时,(1)中哪个正确的结论仍成立?请结合下图进行证明;
(3)若的边长为3,,请直接写出的长.
参考答案与解析
1.D
【分析】本题考查了轴对称图形的定义,熟记定义是解题关键.根据轴对称图形的定义“平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,那么就称这个图形为轴对称图形”逐项判断即可.
【详解】解:A、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D、不是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选:D.
2.C
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
利用三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边进行分析即可.
【详解】解:A、,能构成三角形,故此选项不符合题意;
B、,能构成三角形,故此选项不符合题意;
C、,不能构成三角形,故此选项符合题意;
D、,能构成三角形,故此选项不符合题意;
故选:C.
3.D
【分析】由三角形内角和定理可求得∠A的度数,可得出答案.
【详解】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,且∠A=∠B+∠C,
∴2∠A=180°,
∴∠A=90°,
∴ABC为直角三角形,
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理,求得角的大小是判定三角形形状的关键.
4.D
【分析】由的角是顶角或底角,依据三角形内角和计算得出顶角的度数.
【详解】当的角为顶角时,它的顶角为,
当的角为底角时,它的顶角为,
∴它的顶角为或,
故选:D.
【点睛】此题考查等腰三角形等边对等角的性质,三角形内角和定理,熟记等边对等角的性质是解题的关键.
5.A
【分析】本题考查了角平分线的定义,三角形的内角和定理,先利用角平分线的定义求得,在利用直角三角形的两锐角互余求得,最后在中利用三角形的内角和即可求解.
【详解】解:∵平分,,
∴,
∵,,
∴,
∴在中,
,
故选:A.
6.B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.
【详解】解:∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
故A,C,D选项错误,B选项正确,
故选:B.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
7.B
【分析】根据角平分线的性质可得到,然后由可知,从而得到,所以是等边三角形,由,即可得出答案.
【详解】解:∵,AD平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴
故选:B.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质,熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键,属于基础综合题.
8.B
【分析】本题主要考查了折叠的性质,根据折叠的性质可得,,进而得到,求解即可,理清折叠前后重叠的线段相等是解本题关键.
【详解】解:由题意得,,,
,,,
的周长为7cm,
故选:B.
9.A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是推出,注意:全等三角形的对应边相等.根据判断出,根据推出,根据全等三角形的性质得出,,即可推出答案.
【详解】证明:∵,,
∴,
∴,
∴,
在与中,
,
∴;
∴,,
∴,
∵,,
∴.
故选:A.
10.D
【分析】本题考查了全等三角形的判定,点的坐标,理解没有用“”表示两三角形全等时,对应点不确定,以此进行分类讨论是解题的关键.
【详解】解:如图,
当时,
由图得:,
当时,
由图得:,
在x轴的下方的坐标为或,
使得与全等;
故选:D.
11.3
【分析】本题考查全等三角形的性质,掌握全等三角形周长相等是解题的关键.根据全等三角形周长相等可列方程,求解即可得出答案.
【详解】解:两个三角形全等,
两三角形的周长相等,
,
解得:.
故答案为:3.
12.四边形
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程,然后解方程即可求出多边形的边数:
【详解】解:设这个多边形的边数是n,则
(n﹣2)•180°=360°,
解得n=4.
故答案为:四边形.
【点睛】本题考查了多边形内角和公式的应用,多边形的外角和,解题的关键是要能列出一元一次方程.
13.##35度
【分析】本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质,熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键.
根据角平分线的定义,由平分平分,得.根据三角形外角的性质,得,从而推断除.
【详解】解:∵平分平分,
∴.
∴.
∵,
∴.
故答案为:.
14.
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得,,根据等腰三角形的性质可得,,即可求解.
【详解】解:由题意可得:平分,平分
∴,
又∵
∴,
∴,
∴,
∴
故答案为:
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,解题的关键是熟练掌握相关基本性质.
15.1或2.
【详解】试题分析:根据题意得AP=cm,BQ=cm,△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,∴BP=()cm,△PBQ中,BP=,BQ=,若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,①当∠BQP=90°时,BQ=BP,即,(秒),②当∠BPQ=90°时,BP=BQ,,(秒),∴当t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.故答案为1或2.
考点:1.一元二次方程的应用;2.等边三角形的性质;3.勾股定理.
16.(1)50
(2)55
【分析】该题主要考查了三角形外角的性质以及四边形内角和,邻补角定义,解答的关键是熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和;
(1)根据三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和列方程解答即可;
(2)根据四边形内角和为以及邻补角列方程解答即可;
【详解】(1)根据题意得:,
解得:;
(2)根据题意得:,
解得:.
17.(1)A,B,D
(2)A与B
(3)将三角形B向右平移2个单位,再以x轴为对称轴,进行轴对称变换得到三角形D.(答案不唯一)
【分析】该题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定、平移以及轴对称变换,解题的关键是熟悉勾股定理及全等三角形判定方法;
(1)算出四个三角形的三边,三边分别相等的即为全等三角形;
(2)观察图像可得关于y轴对称;
(3)根据图象即可确定变换方法;
【详解】(1)三角形A的三边为:、三角形B的三边为:、三角形C的三边为:、三角形D的三边为:,
故全等的三角形为:A,B,D;
(2)由图可知A与B关于y轴对称;
(3)将三角形B向右平移2个单位,再以x轴为对称轴,进行轴对称变换得到三角形D.(答案不唯一)
18.(1)图形见解析,SSS
(2)图形见解析
(3)
【分析】本题考查了基本作图,角平分线的性质,三角形内角和定理:
(1)根据三条对应边相等可得到两个三角形全等, 据此可画出全等三角形;
(2)根据角平分线的性质可作出图形;
(3)根据角平线的性质以及三角形内角和可求出角度;
熟练掌握知识点是解题的关键.
【详解】(1)解:图形如下:
,
首先根据的长度确定,
然后以点为圆心,的长为半径,画圆,以点为圆心,的长为半径画圆,两个圆的交点为一点,此时三角形的三条对应边分别相等,两个三角形全等,
∴故答案为:SSS;
(2)解:如图所示:
,
以点B为圆心,以定长为半径画圆,交分别于点M、N,
再分别以点M、N为圆心,以大于长为半径画圆,交点为一点Q,连接并延长,
用同样的方法可求出点P,连接并延长,此时的延长线与的延长线交于一点O,即为所求;
(3)解:∵,
∴,
由(2)可得分别是的角平分线,
∴,
∴,
故答案为:.
19.(1)证明见解析;(2)3.
【分析】(1)利用ASA,可证△ABD≌△CFD;
(2)由△ABD≌△CFD,得BD=DF,所以BD=BC﹣CD=2,所以AF=AD﹣DF=5﹣2.
【详解】(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°,
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°,
∴∠BAD=∠ECD,
在△ABD和CFD中,
,
∴△ABD≌△CFD(AAS),
(2)∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF,
∵BC=7,AD=DC=5,
∴BD=BC﹣CD=2,
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键点证明两个三角形全等.
20.(1)见解析;
(2)
【分析】(1)根据垂线的性质得到∠CED=∠BFD=90°,根据中线的性质得到BD=CD,从而利用全等三角形的判定定理推出△CED≌△BFD,进而根据全等三角形的性质进行证明即可;
(2)根据三角形中线的性质得到S△ABD=S△ACD,再由全等三角形的性质得到S△BDF=S△CED,从而结合图形利用三角形面积之间的关系求解即可.
【详解】(1)(1)∵CE⊥AD,BF⊥AF,
∴∠CED=∠BFD=90°,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
在△CED和△BFD中,
∴△CED≌△BFD(AAS),
∴BF=CE
(2)(2)∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=S△ACD,
∵S△ACE=4,S△CED=3,
∴S△ACD=S△ABD=7,
∵△BFD≌△CED,
∴S△BDF=S△CED=3,
∴S△ABF=S△ABD+S△BDF=7+3=10
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,应熟练掌握全等三角形的判定定理及其相关性质,注意运用数形结合的思想方法,从图形中寻找等量关系,与此同时结合三角形中线的性质进行求解.
21.(1),理由见解析
(2)
【分析】(1)根据线段垂直平分线性质可得,根据角平分线性质可得,然后利用证明和全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)根据全等三角形对应角相等可得,设,根据列出方程,然后解方程即可.
【详解】(1)解:,理由如下:
点在的垂直平分线上,
,
是的平分线,,
,
在和中,
,
,
;
(2)解:,平分,
,
,
,
,
,
,
,
设,则:
,
,
,
解得:,
.
【点睛】本题考查了角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质及三角形外角性质,熟记性质是解题的关键.
22.(1)证明见解析
(2)
(3)6
【分析】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握等边三角形的性质,三角形全等的判定及性质,线段垂直平分线的性质是解题的关键.
(1)先证明,再证明,即可求证;
(2)求出,利用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半即可求解;
(3)连接交于点,连接的最小值为,求出即可.
【详解】(1)证明:∵是等边三角形,
∴;
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴垂直平分;
(2)解:∵,
∴平分,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
(3)解:连接交于点,连接,
∵是的垂直平分线,
∴、关于对称,
的最小值为
是的中点,
故答案为:6.
23.(1)①②③
(2)证明见解析
(3)2或4
【分析】(1)根据等边三角形的三线合一可以判断①;同时得到,再根据等边对等角得到,依次判断②③④;
(2)过作交于点,由题意可得是等边三角形,可得,可利用“”证明 可得;
(3)分点在上和在的延长线上,类似(2)证得全等,再利用平行得到所求线段的长.
【详解】(1)解:∵是等边三角形,点E为的中点,
∴,,故①正确;
又∵,
∴,
又∵是等边三角形,
∴,
∴,
∴,故②正确;
∵,,
∴,故③正确;
∵,
∴,故④错误;
∴正确的有①②③,
故答案为:①②③;
(2)解:当E为边上任意一点时,仍成立;
证明:如图1,过E作交于点F.
∵是等边三角形,
∴,,
∴,,
即,
∴是等边三角形,
∴.
∵,
∴,.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:因为,的边长为,所以点可能在线段上,也可能在的延长线上,
当点在时,由 可知,则;
当点在的延长线上时,如图,过点作,交的延长线于点,
∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,,,
∴,是等边三角形,
∴,
在和中,
,
∴,
∴ ,
∴,
∴ .
故答案为:或.
【点睛】本题是三角形综合题,考查全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质和判定,平行线的性质等知识,利用全等得到,再找和的关系是解题的关键.
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