山东省日照市岚山区2023年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省日照市岚山区2023年九年级上册期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（每题3分共36分）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．﹣2
3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝42°，则∠ABD的大小为（ ）
A．68°B．58°C．48°D．21°
4．若关于的方程有实根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
5．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，D．二次函数的最小值是
6．南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已知长与宽的和为60步，问长比宽多几步？设矩形的长为x步，则可列出方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，线段绕点B旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A．或B．C．D．或
8．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．9B．6C．3D．0
9．如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径车弧，得到，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．C．D．
10．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤
12．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；⑥关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题4分，共16分）
13．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
15．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为
16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是．若将绕点O顺时针方向依次旋转45°后得到，，，…，可得，，，…则的坐标是 ．
三、解答题（共68分）
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
(3)
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．
19．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
20．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
21．为扶持大学生自主创业， 市政府提供了100万元的无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该电子产品的生产成本为每件40元，公司每月要支付其他费用15万元．该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系：
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少元时，该公司每月销售利润最大．
（3）若相关部门要求该电子产品的销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过25%，则该公司最早用几个月可以还清无息贷款？
22．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，，记旋转角为．
(1)如图①，当时，求点的坐标；
(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；
(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

参考答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．B
【分析】直接把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0求解即可．
【详解】把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0得（﹣2）2﹣2k﹣2＝0，
解得k＝1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键．
3．C
【分析】如图，连接AD，由AB是直径可得∠ADB=90°，根据圆周角定理可求出∠A=∠BCD，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠ABD的度数．
【详解】如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，∠BCD＝42°，
∴∠A=∠BCD=42°，
∴∠ABD=90°－∠A=48°．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90°（直角）；熟练掌握圆周角定理是解题关键．
4．C
【分析】分1−k＝0和1−k≠0两种情况考虑，当原方程为一元一次方程时，可求出x的值，从而得出k＝1符合题意；当原方程为一元二次方程时，利用根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上即可得出结论．
【详解】当1−k＝0，即k＝1时，原方程为−2x−1＝0，
解得：x＝− ，
∴k＝1时，方程有实数根；
当1−k≠0，即k≠1时，△＝（−2）2−4×（−1）（1−k）＝8−4k≥0，
解得：k≤2且k≠1．
综上所述：k的取值范围为k≤2．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解一元一次不等式，分1−k＝0和1−k≠0两种情况考虑是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【详解】解：将点代入到二次函数中，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
A． ，抛物线开口向上，A不正确；
B． ，当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C．抛物线过点且开口向上，所以当时，，故C正确；
D． ，二次函数的最小值是，D不正确．
故选：C．
6．B
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形田地的长为步，矩形田地的长与宽的和为60步，
∴矩形田地的宽为步，
根据题意可得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意找到等量关系．
7．D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出的长度时解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，由顺时针旋转的性质可得出：，再结合点C的位置即可得出点C的坐标．同理可得逆时针时的坐标．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，；
当时，，
∴点B的坐标为，，
将绕点B顺时针旋转得到，如图所示：

由旋转可知：，
∴点C的坐标为，
将绕点B逆时针旋转得到，如图所示．
由旋转可知：，
∴点的坐标为．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，得出，，，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：A．
9．A
【分析】根据图形我们分析可得出阴影部分的面积等于圆的面积的一半加上正方形面积的一半再减去扇形的面积．
【详解】解：连接BD，
∵在的内接四边形是正方形，，
∴
∴BD是的直径
∴
∴的半径为BO=1
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点有勾股定理、圆的面积公式、扇形的面积公式，根据图形将求不规则图形面积转化为求我们所熟悉的图形面积是解此题的关键．
10．A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
11．D
【详解】①∵AB是O的直径，

∴AD⊥BD；
②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角，
∴∠AOC≠∠AEC；
③
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴CB平分∠ABD；
④∵AB是O的直径，




∵点O为圆心，
∴AF=DF；
⑤由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等．
故选D．
12．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
即，
故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，
且，
∴，
故③错误；
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
又∵，
∴，
故④错误；
由函数图象可知，
当时，函数取得最大值，
∴当时的函数值小于时的函数值，
即，
∴，
故⑤正确；
方程的解可看成函数和直线交点的横坐标，
∵两个函数的图象有四个不同的交点，如下图：
∴方程有四个根；
又∵点A和点D，点B和点C关于直线对称，
∴，，
即，
∴，
即方程的四个根之和为4，
故⑥正确．
故选：B．
13．
【分析】根据方程的解，得到，整体代入代数式，进行计算即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
14．6.
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ．
15．6
【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=-2（x-1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．
【详解】解：∵y=﹣x2+x+2，
∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x=1时，C最大值=6．
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征．设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．最后根据根据二次函数的性质来求最值是关键．
16．
【分析】本题主要考查了图形的旋转，点坐标的规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意求出：，，，，，的坐标，推导出每旋转8次为一个循环，再由，求出对应的点坐标即可．
【详解】解：根据题意得：，，，，，，，， …，
∴可推导一般性规律：点坐标的变化每旋转8次为一个循环，
∵ ，
∴的坐标是 ．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，；
(3)，；
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程；
（3）利用公式法解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，
，；
18．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；
（3）根据题意可以求得的长，从而可以求得线段在旋转过程中扫过的面积．
【详解】（1）解：如图所示，点的坐标是；
（2）解：如图所示，点的坐标是；
（3）解：点，
，
线段在旋转过程中扫过的面积是：．
【点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．(1)见解析
(2)的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，是原方程的两根，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
的值为1；
（3）解：．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以，
解得，
当时，，
所以该函数图像始终过定点．
20．（1）AF与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）AC=．
【详解】解：（1）连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF==5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=，
∴AC=2AE=．
21．（1）；（2） 60元；（3）7个月
【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式；
（2）计算利润W＝销量×每件的利润−支付的费用，化为顶点式，可得结论；
（3）先得出每月利润的最大值，即可求解．
【详解】（1）设每月销售量 y与 x的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0） ，
把（60，2）和（70，1）代入得： ，
解得 ，
故；
（2）设当销售单价定为 x元时，该公司每月销售利润为W万元，
则 W＝（x﹣40）（+8）﹣15＝x2+12x-335＝(x﹣60)2+25，
则当销售单价定为 60元时，该公司每月销售利润最大；
（3）由题意得： ，
解得：40≤x≤50，
∵W＝(x﹣60)2+25，
∴抛物线开口向下，当 x＜60时，W随 x的值增大而增大，
∴当 x＝50时，每月有最大利润为：W＝×(50-60)2+25＝15（万元），
100÷15＝＝，
答：则该公司最早用 7个月可以还清无息贷款．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，于，则则，，由勾股定理得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：过点作轴于，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）解：连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
23．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，
即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，
解得，或（舍去），
当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
x
…
0
…
y
…
4
0
0
4
…