【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 03第三章 函数的概念与性质-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6399" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc147996536 \h 错误！未定义书签。
\l "_Tc16471" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc16471 \h 4
\l "_Tc3652" 考点一：函数的概念 PAGEREF _Tc3652 \h 4
\l "_Tc31178" 考点二：函数的表示 PAGEREF _Tc31178 \h 5
\l "_Tc5059" 考点三：函数的单调性与最大（小）值 PAGEREF _Tc5059 \h 7
\l "_Tc23271" 考点四：函数的奇偶性 PAGEREF _Tc23271 \h 8
\l "_Tc1598" 考点五：幂函数 PAGEREF _Tc1598 \h 10
\l "_Tc547" 考点六：函数的应用（一） PAGEREF _Tc547 \h 10
\l "_Tc3751" 函数的概念与性质实战训练 PAGEREF _Tc3751 \h 12
1、函数的概念
设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域
与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
4、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
5、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
6、函数的奇偶性
7、函数对称性
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
8、幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
9、五种常见幂函数
10、常见几类函数模型
考点一：函数的概念
真题讲解
例题1．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．且B．C．D．且
例题2．（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
例题4．（2023·河北·高三学业考试）已知，则的最大值是（ ）
A．8B．2C．1D．0
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·高二统考学业考试）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为 ．
5．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）函数，的值域是 .
考点二：函数的表示
真题讲解
例题1．（2023·广东·高二统考学业考试）已知 则的值等于（ ）
A．-2B．4C．2D．-4
例题2．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示该学生离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）设函数f(x)满足f ＝1＋x，则f(x)的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023·广东·高三统考学业考试）设函数，若，则实数a的值为（ ）
A．±2或±4B．±2或－4C．2或4D．2或－4
真题演练
1．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知函数，若，则（ ）
A．0B．2C．D．2或3
2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知函数，则的值为（ ）.
A．－2B．6C．1D．0
4．（2023·河北·高三学业考试）已知，则 ．
5．（2023·上海·高三统考学业考试）已知函数，则实数a=
考点三：函数的单调性与最大（小）值
真题讲解
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）下列函数中，对任意且，同时满足性质：（1）；（2）的函数是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·上海·高三统考学业考试）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·河北·高三学业考试）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
真题演练
1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A．9B．8C．3D．
2．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河北·高三学业考试）若函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是 .
5．（2023·河北·高三学业考试）已知函数f(x)＝.
（1）证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
（2）求函数f(x)在区间[1,17]上的最大值和最小值．
考点四：函数的奇偶性
真题讲解
例题1．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知偶函数，当时，，则（ ）
A．3B．C．D．5
例题2．（2023·河北·高三学业考试）若函数是奇函数，则实数（ ）
A．B．C．1D．
例题3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）是定义在上单调递增的奇函数，则 ；若，则x的取值范围为 .
例题4．（2023·山西·高二统考学业考试）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
真题演练
1．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则 .
2．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ＝ ；
3．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，则的值是
4．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式.
考点五：幂函数
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．
C．2D．3
例题2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）当时，幂函数为减函数，则 ．
例题3．（2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则 ，若，则实数的取值范围是 ．
真题演练
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
3．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则 ．
考点六：函数的应用（一）
真题讲解
例题1．（2022·湖南娄底·高二统考学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(0例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N*，x≤40)本，则总费用与x的函数关系式为 (代金券相当于等价金额).
真题演练
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北保定·高一保定市第三中学校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川凉山·高一宁南中学校考期末）根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）
A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)
4．（多选）（2023秋·全国·高一随堂练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点
函数的概念与性质实战训练
一、单选题
1．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．1B．－1C．5D．－5
4．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）设为定义上奇函数，当时，（b为常数），则（ ）
A．3B．C．－1D．－3
6．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12B．12C．9D．－9
7．（2023春·河北·高三统考学业考试）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·上海·高三统考学业考试）若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023春·河北·高二统考学业考试）已知函数，若f(x)满足，则f（6）＝（ ）
A．－6B．0C．6D．12
10．（2023·河北·高三学业考试）函数在上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，，则 .
12．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时， ．
13．（2023·上海·高三统考学业考试）已知函数，则方程的解为 .
14．（2023·广东·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则当时， .
15．（2023·广东·高三学业考试）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 .
16．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，，则 .
三、解答题
17．（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知函数．
(1)当时，求值；
(2)若是偶函数，求的最大值．
18．（2023春·天津河北·高二学业考试）已知函数为上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求在的最大值.
19．（2023秋·新疆昌吉·高三校考学业考试）已知函数，且.
(1)求实数的值并判断该函数的奇偶性；
(2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.
20．（2023·河北·高三学业考试）已知函数是定义域上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
21．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象经过点.
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
22．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数,其中为非零实数, ,.
（1）判断函数的奇偶性,并求的值；
（2）用定义证明在上是增函数.
解析法（最常用）
图象法（解题助手）
列表法
就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.
就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.
就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(，为常数，)
二次函数模型
(，，为常数，)
分段函数模型
幂函数模型
(，，为常数，)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋2
1
2
3
4
5