【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 09第九章 概率-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22729" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc22729 \h 1
\l "_Tc28978" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc28978 \h 2
\l "_Tc8201" 考点一：随机事件与概率 PAGEREF _Tc8201 \h 2
\l "_Tc30848" 考点二：事件的相互独立性 PAGEREF _Tc30848 \h 4
\l "_Tc6298" 考点三：频率与概率 PAGEREF _Tc6298 \h 6
概率实战训练 \l "_Tc21016" PAGEREF _Tc21016 \h 8
1、概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.
2、古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
5、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
6、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
7、相互独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
考点一：随机事件与概率
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次均未中靶B．只有两次中靶
C．只有一次中靶D．三次都中靶
例题2．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（多选）（2023秋·福建·高二统考学业考试）袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ）
A．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件
例题5．（2023·天津·高二学业考试）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
真题演练
1．（2023春·天津南开·高一学业考试）口袋中有个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为，则摸出黑球的概率为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023春·福建·高二统考学业考试）“敬骅号”列车一排共有A、B、C、D、F五个座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·高三统考学业考试）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·新疆·高二统考学业考试）从3名男生和2名女生中随机选出2人参加社区志愿者活动，每人被选到的可能性相同．
(1)写出试验的样本空间；
(2)设M为事件“选出的 2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M发生的概率．
考点二：事件的相互独立性
真题讲解
例题1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ）
A．两人都中靶的概率为0.63B．两人都中靶的概率为0.70
C．两人都中靶的概率为0.72D．两人都中靶的概率为0.74
例题2．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
例题3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球， 事件B：一个白球一个黑球.
是互斥事件的是 .（将正确答案的序号都填上）
例题4．（2023春·浙江·高二统考学业考试）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为和.第二道工序成功的概率分别为和.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立.
(1)求两种芯片都开发成功的概率；
(2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.
例题5．（2023·云南·高二统考学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为.
(1)求甲､乙都成功破译密码的概率；
(2)求至少有一人成功破译密码的概率.
真题演练
1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）甲、乙两人进行射击比赛，若甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.3，甲、乙射击是否中靶相互独立，则至少有一人中靶的概率为（ ）
A．0.9B．0.72
C．0.28D．0.18
2．（2023春·河北·高二统考学业考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西·高二统考学业考试）某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为．
(1)求p的值；
(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．
4．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙投中与否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率
(1)两人都投中；
(2)甲、乙两人有且只有1人投中.
5．（2023·河北·高三学业考试）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件为“任选一灯谜，甲猜对”，事件为“任选一灯谜，乙猜对”．
（1）任选一道灯谜，记事件为“恰有一个人猜对”，求事件发生的概率；
（2）任选一道灯谜，记事件为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件发生的概率．
考点三：频率与概率
真题讲解
例题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）王老师对本班40名学生报名参与课外兴趣小组（每位学生限报一个项目）的情况进行了统计，列出如下的统计表，则本班报名参加科技小组的人数是（ ）
A．10人B．9人C．8人
例题2．（2023·河北·高三学业考试）下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
例题3．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在[10，40)上的频率为 .
例题4．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21
(1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数；
(2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率.
真题演练
1．（2023·山西·高二统考学业考试）某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
2．（2023春·天津河北·高二学业考试）对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为 ( )

A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45
3．（2023·河北·高三学业考试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4
4．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上．将这些成绩分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．

(1)求抽出的60名学生中分数在内的人数；
(2)若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．
第九章 概率实战训练
一、单选题
1．（2023春·湖南·高二统考学业考试）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A．至多有1次中靶B．2次都中靶
C．2次都不中靶D．只有1次中靶
3．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰有1名男生”与“全是男生”
B．“至少有1名男生”与“全是女生”
C．“至少有1名男生”与“全是男生”
D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
4．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）已知，，如果，那么（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球
6．（2023·广东·高三统考学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
7．（2023·河北·高二统考学业考试）某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
9．（2023春·河北·高三统考学业考试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·河北·高二统考学业考试）从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（ ）
A．18000B．15000C．12000D．10000
11．（2023·广东·高三统考学业考试）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·广东·高三统考学业考试）从一批产品中取出三件，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）.
A．A与C互斥B．B与C互斥C．任两个均互斥D．任两个均不互斥
13．（2023·重庆·高二统考学业考试）袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·广东·高三统考学业考试）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为
A．B．C．D．
二、填空题
15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为 ．
16．（2023·河北·高三学业考试）一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记{摸出黑球}，{摸出白球}，{摸出绿球}，{摸出红球}，则 ； ； .
17．（2023春·天津南开·高一学业考试）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，，则甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率 ．
三、解答题
18．（2023春·湖南·高二统考学业考试）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.

(1)请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
(2)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；
(3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
19．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）某校高二（5）班在一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在分的学生数有14人.
(1)求总人数和分数在的人数；
(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？
(3)现在从分数在分的学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率.
20．（2023·广东·高三学业考试）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：
（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；
（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；
（3）试比较该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．
组别
数学小组
写作小组
体育小组
音乐小组
科技小组
频率
0.1
0.2
0.3
0.15
0.25
组别
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
阅读名著的本数
1
2
3
4
5
男生人数
3
1
2
1
3
女生人数
1
3
3
1
2