广东省广州市番禺区桥兴中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市番禺区桥兴中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了下列图形不是轴对称图形的有，点M等内容，欢迎下载使用。
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
2．下列图形不是轴对称图形的有（ ）
A．B．
C．D．
3．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
4．经常开窗通风，可以有效地利用阳光和空气中的紫外线杀死病菌，清除室内空气中的有害气体，如图，一扇窗户打开后，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ）
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
7．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
8．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
10．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．3＜AD＜5C．1＜AD＜4D．无法确定
二．填空题（共6小题）
11．如图，点B在AE上，AE平分∠CAD ，可证△ABC≌△ABD．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3cm，则点D到AB的距离为 cm．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠DBC＝60°，BC＝1 ．
14．如图，已知△ABC中，AC+BC＝24，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为 ．
16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D∠C；②当∠C＝60°时；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b△ABC＝ab．其中正确的是 ．
三．解答题（共8小题）
17．如图，点E，F在线段BC上，AF＝DE，∠B＝∠C＝90°
18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，求证：BD＝EC．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1（不要求写作法）；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PC的值最小，写出点P的坐标．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，AE和BD相交于点F，连接CF并延长
（1）求证：∠FAB＝∠FBA；
（2）求证：G为AB的中点．
22．如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连结BD，直线CE与y轴交于点A，AC＝4
23．阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，如图（1）所示，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AE＝AB，AC＝AF，求EF的长．
24．如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，﹣2），且CA＝AB．
（1）求点B的坐标；
（2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S△ABD＝S△CBD；
（3）连接DE，如图2，求证：BD﹣AE＝DE．
2023-2024学年广东省广州市番禺区桥兴中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，5，6D．2，3，6
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边．
A、1+2＝3＜4，故本选项错误；
B、4+6＝10＞8，故本选项正确；
C、5+5＝11＜12，故本选项错误；
D、2+3＝2＜6，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
2．下列图形不是轴对称图形的有（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D中的图形都能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
选项A中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（5，2）关于x轴对称点的坐标为 （1．
故选：D．
【点评】本题考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．经常开窗通风，可以有效地利用阳光和空气中的紫外线杀死病菌，清除室内空气中的有害气体，如图，一扇窗户打开后，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】由三角形的稳定性即可得出答案．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，加上窗钩AB构成了△AOB，而三角形具有稳定性是解题的关键．
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（ ）
A．三边中线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求多边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°＝360°×2
解得n＝2．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
7．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．AASD．ASA
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
8．如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠4＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠4＝360°﹣180°＝180°，
故选：D．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．
【解答】解：
连接AM、AN，
∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝＝8，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝
同理CF＝cm，
∴BM＝＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
10．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．3＜AD＜5C．1＜AD＜4D．无法确定
【分析】延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，可证明△EDB≌△ADC，得EB＝AC＝3，而AB＝5，根据三角形的三边关系得5﹣3＜2AD＜5+3，则1＜AD＜4，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AD到点E，使ED＝AD，则AE＝2AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△EDB和△ADC中，
，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴EB＝AC，
∵AB﹣EB＜AE＜AB+EB，且AB＝5，
∴6﹣3＜2AD＜8+3，
∴1＜AD＜4，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、不等式的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．如图，点B在AE上，AE平分∠CAD ∠C＝∠D（答案不唯一） ，可证△ABC≌△ABD．
【分析】根据全等三角形的判定定理加条件．
【解答】解：补充条件：∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（AAS），
故答案为：∠C＝∠D（答案不唯一）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3cm，则点D到AB的距离为 3 cm．
【分析】根据角平分线的性质定理得出CD＝DE，代入求出即可．
【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠DBC＝60°，BC＝1 2 ．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BDC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD＝2BC＝2，由三角形外角的性质可得∠A＝∠DBA＝15°，由等角对等边即可求解．
【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×8＝2，
∵∠BDC＝∠DBA+∠A＝30°，∠A＝15°，
∴∠A＝∠DBA＝15°，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
14．如图，已知△ABC中，AC+BC＝24，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M 24 ．
【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC＝24，利用等量代换即可求出△CMN的周长
【解答】解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN＝∠BAO，∠ABO＝∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON＝∠BAO，
∴AN＝ON，BM＝OM，
∵MN＝MO+ON，AC+BC＝24，
∴△CMN的周长＝MN+MC+NC＝AC+BC＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为 115°或65° ．
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D∠C；②当∠C＝60°时；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b△ABC＝ab．其中正确的是 ①、② ．
【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可知∠AOB＝90°+，得①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，通过ASA证明△HAO≌△FAO，得AH＝AF，可得②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，通过面积法可判断③错误．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴∠OBA＝，，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180
＝180°﹣
＝90°+，
故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA＝＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO与△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO与△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AH＝AF，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，
故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝7b，
∴S+
＝
＝ab，
故③错误，
故答案为：①、②．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．如图，点E，F在线段BC上，AF＝DE，∠B＝∠C＝90°
【分析】由BE＝CF，得到BF＝CE，由HL即可证明问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴FB＝EC，
在Rt△ABF和△Rt△DCE中，
，
∴△RtABF≌△RtDCE（HL）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形；
（2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝6x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°．
【点评】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，求证：BD＝EC．
【分析】作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF
∴BD＝EC
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高与顶角的平分线三线合一．
20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1（不要求写作法）；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PC的值最小，写出点P的坐标．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求．
（2）由图可得，A1（2，6），B1（4，6），C1（5，7）．
（3）如图，取点A关于x轴的对称点A'，交x轴于点P，
此时PA+PC的值最小，
∴点P的坐标为（﹣3，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，AE和BD相交于点F，连接CF并延长
（1）求证：∠FAB＝∠FBA；
（2）求证：G为AB的中点．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠FAB＝∠FBA；
（2）判断出△AFC≌△BFC，根据全等三角形的性质得出∠ACF＝∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．
【解答】证明：（1）∵CA＝CB
∴∠CAB＝∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG
∴AF＝BF．
∴∠FAB＝∠FBA，
（2））∵CA＝CB
∴∠CAB＝∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG
∴AF＝BF．
在△ACF和△BCF中，
，
∴△AFC≌△BFC（SSS），
∴∠ACF＝∠BCF
∴AG＝BG（三线合一）
∴G为AB的中点
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．
22．如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，点D为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连结BD，直线CE与y轴交于点A，AC＝4
【分析】根据等边三角形的性质得到BO＝BC，BD＝BE，∠OBC＝∠DBE＝∠BCO＝60°，进而求得∠OBD＝∠CBE，利用SAS证明△OBD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出∠BCE＝∠BOD＝60°，根据平角的定义求出∠OCA＝60°，解直角三角形求解即可．
【解答】解：∵△OBC，△BDE为等边三角形，
∴BO＝BC，BD＝BE，
∴∠OBD＝∠CBE，
在△OBD和△CBE中，
，
∴△OBD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BOD＝60°，
∴∠OCA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠COA＝90°，
∴∠OAC＝30°，
∴，
∵AC＝8，
∴OC＝2
即C点坐标为：（2，6）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△OBD≌△CBE是解题的关键．
23．阅读以下材料，完成以下两个问题．
[阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．
结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，如图（1）所示，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
，
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF＝CG，∠DFE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴CG＝AC．
∴∠G＝∠CAE．
∴∠DFE＝∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在△ABC中，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AE＝AB，AC＝AF，求EF的长．
【分析】问题1：延长AE至G，使EG＝AE，连接DG，先证△ACE≌△GDE（SAS）．得AC＝GD，∠CAE＝∠G．再证DG＝DF，得∠DFG＝∠G，则∠DFG＝∠CAE，然后由平行线的性质得∠DFG＝∠BAE，即可得出结论；
问题2：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，先证△GBD≌△ACD（SAS），得GB＝AC，∠G＝∠CAD，再证△AEF≌△BAG（SAS），得EF＝AG，进而得出答案．
【解答】问题1：
证明：延长AE至G，使EG＝AE，如图（2）所示：
在△ACE和△GDE中，
，
∴△ACE≌△GDE（SAS）．
∴AC＝GD，∠CAE＝∠G．
∵DF＝AC，
∴DG＝DF，
∴∠DFG＝∠G，
∴∠DFG＝∠CAE，
∵DF∥AB，
∴∠DFG＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AE平分∠BAC．
问题2：
解：延长AD至G，使DG＝AD，如图（3）所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAD，
∴BG∥AC，
∴∠ABG+∠BAC＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∵AC＝AF，
∴AF＝GB，
在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG（SAS），
∴EF＝AG，
∵AG＝7AD＝2×3＝4，
∴EF＝6．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质以及角平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24．如图1，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，﹣2），且CA＝AB．
（1）求点B的坐标；
（2）CA、CB分别交坐标轴于D、E，求证：S△ABD＝S△CBD；
（3）连接DE，如图2，求证：BD﹣AE＝DE．
【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM＝CN＝2，证△BAO≌△ACM，推出AO＝CM＝2，OB＝AM＝4，即可得出答案；
（2）求出AO＝CN＝2，根据相似求出AD＝DC，根据三角形面积公式求出即可；
（3）在BD上截取BF＝AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案．
【解答】解：（1）作CM⊥x轴于M，
∵C（2，﹣2），
∴CM＝2，CN＝2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM，
在△BAO和△ACM中
∴△BAO≌△ACM（AAS），
∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝8+2＝4，
∴B（2，4）．
（2）证明：如图1，作CN⊥y轴于N，
∵AO＝2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝CN，
∴BD＝BD，
∴根据等底（BD＝BD）等高的三角形面积相等得
出：S△ABD＝S△CBD；
（3）证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△ABF和△ACE中
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ECD，
在△AFD和△CED中
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD﹣AE＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形面积，坐标与图形性质的应用，主要考查学生的推理能力．